1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍
2、、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）
3、：1太阳能小屋的设计摘 要本文针对不同情况下的太阳能小屋的光伏电池铺设问题，要求光伏电池的铺设要兼顾发电总量尽量大，单位发电量的费用尽量小。对于此多目标规划问题，这里转化为单目标问题求解，建立以最大利润为目标函数的单目标规划模型，解决了电池板铺设和逆变器的选取问题，并对模型的结果进行了合理性分析和讨论。针对问题 1，采用贴附安装方式，考虑到太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象等条件的影响，建立模型求解得到最优的铺设方案。结果表明如果小屋外表面全铺设光伏电池，只有屋顶是盈利的，而且盈利较多，其他墙面均不盈利。并且在全铺的情况下，35 年寿命期内的发电总量最大为5
4、57662.2KWh，单位发电量的最小费用为 0.38 元/KMh, 可获最大利润为 66814.7 元，投资的回收年限是 26 年。如果选择只在屋顶铺设，则 35 年寿命期内的发电总量最大为477470.47KWh，单位发电量的最小费用为 0.34 元/KMh, 可获得的最大利润为 75785.24元，投资的回收年限为 23 年，所以选择只在屋顶铺设比全部铺设效益好。针对问题 2，采用了架空安装方式，得到当光伏电池的倾角为 ，转向角为2675.41向西 时，电池对太阳能辐射量的利用率最大。在此基础上，只考虑屋顶、南8175.0面墙及西面墙的铺设，得到 35 年寿命期内的发电总量为 65657
5、7.2KWh，单位发电量的费用为 0.32 元/KMh，可获利 124495.7 元，投资回报年限为 22 年。针对问题 3，根据问题 2，结合小屋的建筑要求设计出小屋外形，见图 6。设定屋顶的倾斜角为 ，朝向为向西 ，光伏电池平铺，同样只考虑屋顶、南面675.418175.0墙及西面墙的铺设，得到 35 年寿命期内的最大发电总量为 779951.9KWh，单位发电量的费用为 0.32 元/KMh，可获利润为 143860.65 元，投资的回报年限为 22 年。本文最大的亮点是将多目标问题转化为单目标问题，并且在问题 1 中首先考虑全铺设的情况下，计算出四个墙面均亏损，从而合理的选择性铺设，为
6、后面的计算提供方案。关键词：0-1 规划；单目标规划；太阳能小屋；倾斜角21.问题重述在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。针对以下三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35 年寿命期内的发电总量、经济效益
7、（当前民用电价按 0.5 元/kWh 计算）及投资的回收年限。在求解每个问题时，都要配有图示，给出电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图和电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，不同型号的不可串联。在不同表面上，不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。问题 1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题 2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式
8、安装光伏电池，重新考虑问题 1。问题 3：根据给出的小屋建筑要求，重新设计一个小屋，并画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。2问题分析本题要求根据附件提供的数据，建立模型，在使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大而单位发电量的费用尽可能小的情况下分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，并给出连接方式图。最后结合光伏电池的铺设要求和分组连接方式重新设计小屋的外形。21 问题 1 的分析问题 1 要求在给定的小屋的设计基础上采用贴附安装方式选定光伏电池进行铺设，并选择合适的逆变器。本题是一个多目标优化问题，即要完成的目标为电池的铺
9、设和逆变器的选择要尽量使发电总量大，而同时单位发电量的费用小。对于此多目标规划问题，这里可以化为单目标问题，即以太阳能小屋所获得的利润为目标函数。因此可以建立单目标规划模型，进而结合约束条件得到光伏电池的铺设和逆变器的选择的最佳方案。22 问题 2 的分析问题 2 中要求光伏电池的安装采用架空方式。经过查阅资料可知：当阳光垂直入射到光伏电池板表面时，此时的电池对辐射量的利用率最高。因此可以根据一年中每天的某一时刻的平均辐射量最高时的太阳高度角和方位角来确定光伏电池的安装朝向3和倾角，可以认为此时的光伏电池的工作效率最高。23 问题 3 的分析问题 3 要求重新设计小屋的的外形，因此可以在满足小
10、屋建筑要求的条件下，根据问题 2 中得到的光伏电池的朝向确定小屋以及墙面的朝向，根据光伏电池的倾角确定屋顶的倾斜角。最后求解出此时的铺设方案以及发电总量。3模型假设与符号说明31 模型假设1假设 A 单晶硅电池在太阳光辐射强度低于 200W/m2 时发电量忽略不计。2假设当辐照强度高于 1000W/m2 时，光伏电池的功率不在提高，即为额定功率。32 符号说明符号 表示含义W未来太阳能小屋所获得的利润F逆变器输出的总发电量C铺设光伏电池和逆变器所需的成本im第 种电池的个数ia第 种电池的价格is第 种电池的面积ijy第 种电池在第 组并联的个数jiI对于第 种电池的每一时段的有效辐射强度it
11、第 小时的辐射强度tkd第 种逆变器的个数kb第 种逆变器的价格kP逆变器的额定功率ip第 种光伏电池组件的额定功率ijU第 组第 种电池串联后的端电压jkV第 种逆变器允许输入的上限电压k第 种逆变器允许输入的下限电压k第 种逆变器的逆变效率nS某一面墙体的面积ijE第 种电池的短路电流ik第 种逆变器的额定输入电流k单位发电量的费用44模型的准备任意倾斜平面上的太阳辐射强度1. 倾斜平面上的太阳总辐射强度 ( 为斜面倾角) 1I（1）RdDI式中， 倾斜平面上太阳直射辐射强度；DI倾斜平面上太阳散射辐射强度；d倾斜平面上所获得的地面反射辐射强度；Ri入射光光伏电池倾斜面图 12. 表示倾斜
12、平面上太阳直射的辐射强度DI如图 1 所示，当阳光入射角为 i 时，对应的太阳时为 ，时角为 ，赤纬角为 ，st太阳高度角为 ，可以用如下方法求得 ：DI（2）125st（3）为 日 期 号n3684sin4.23如 1 月 1 号， ，3 月 22 号， 。n1（4）1.0cosisi 为 当 地 纬 度 ， 大 同 取由图 1 知： （5）90i（6）为 法 向 直 射 辐 射 强 度DNDNIIs3. 表示倾斜平面上所获得的地面反射辐射强度dI（7）为 水 平 面 散 射 辐 射 强 度dHdHII2cos4. 表示倾斜平面上太阳散射辐射强度RI（8）)平.0)(s1(G2G 辐 射 强
13、 度为为 地 面 的 平 均 反 射 率 ， HH I55模型的建立与求解51 问题 1 模型的建立与求解5.1.1 问题 1 模型的准备问题 1 要求仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，选配相应的逆变器的容量和数量。由问题 1 的分析可知，电池的铺设和逆变器的选择要使发电总量尽量大，而同时单位发电量的费用尽量小，即此问题属于多目标规划问题。即要使 尽量大，而F则尽量小。FCn因此可以作如下转化，由多目标问题转化为单目标问题。即目标函数是使 最大，W（9）CF105.则要使利润 尽可能大，则必须要使 尽可能大，而成本 要尽量小。5.1.2 问题 1 模型的建立（1）符号变量之间的关系当选用
14、6 种 A 单晶硅电池时，由假设可知 t 小时的辐射总量 满足：tI（10）102ttttiII 6,21i光伏电池的实际功率 与额定功率 之间的关系为：ipip（11）iii当考虑到上述关系时，全年的总发电量为：（12）kit iimpIF241870购买光伏电池和逆变器的总费用为：（13）18241kkiidbaC（2）小屋各面辐射强度的计算小屋各侧面的总辐射强度可由附件 4 得到，由附件 2 给出的小屋尺寸可以得到，屋顶角分别为 。屋顶南北侧面的总辐射强度可由式（1）（8）求出。42.3.1和（3）目标函数的构建以全年最大利润为目标函数建立优化模型，即为：（14）CFW10.max6建立
15、了目标函数后，下面将分析约束条件的建立。（4）约束条件的构造光伏电池铺设面积的约束。光伏电池的铺设采用贴附式安装方式，由于小屋外墙可用面积有限，铺设面积要小于小屋外墙面积，即：（15）241i niSsm为了表示两组电池之间的并联关系，这里引入电池组关系变量 ，具体表示如下：ijY（16）组 电 池 不 并 联组 电 池 与 第第 组 电 池 并 联组 电 池 与 第第 jiYij0为了保证光伏组件正常工作，只允许相同型号的光伏组件进行串联。多个光伏组件串联后可以再进行并联，并且并联的光伏组件端电压相差不应超过 10%，即：（17）%10ijjiYU光伏阵列并联后接到逆变器，任意某个电池组的电
16、压与逆变器的输入电压都要满足下列关系：（18）kijkV光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量，同时考虑到逆变器的转换效率，则：（19）kiiPpm241考虑到并联的光伏电池的短路电流要小于逆变器的额定电流，则应有：（20）kiijEY241（5）建立规划模型在给出了目标函数和约束条件后，可以得到一个线性规划模型如下：（21） 18,2;4,12%10.5.0max241241 18241241870kPpmEYjiVUSsts dbampIWkiikiijijkijjiijni kkiiit kii75.1.3 问题 1 模型的求解假设某一面墙体只选用一种型号的光伏电池，下面讨论每一面墙
17、是否会在 35 年内回收光伏电池铺设的建设费用。对于不同的墙面，选用光伏电池的条件不同，可以认为在辐射强度很大的方向应该采用转化效率较高的光伏电池，反之，为保证不亏损，在辐射强度较小的方向可以采用转化效率较小的光伏电池。下表 1 列出了部分光伏电池的性价比（性价比=转化效率/ 单价）：表 1 部分不同型号光伏电池的性价比产品型号 功率 单价 转换效率 （%） 性价比A1 215 3203.5 0.1684 0.000053A3 200 2980 0.187 0.000063A4 270 4023 0.165 0.000041B3 210 2625 0.1598 0.000061B4 240 3
18、000 0.148 0.000049C1 100 480 0.0699 0.000146C6 4 19.2 0.0363 0.001891C7 4 19.2 0.0363 0.001891C10 12 57.6 0.0413 0.000717由可表 1 看出可以看出，在 A 单晶硅电池中，A3 性价比比较高；在 B 多晶硅电池中，B3 性价比比较高；在 C 薄膜电池中，C6、C7 的性价比比较高。所以可以认为在辐射强度较高的南立面和顶面应尽量采用 A3、 A1 型号的光伏电池；在辐射强度较小的北面可以采用 C6、C7 型号的光伏电池；在辐射强度相对均衡的东、西两面可以采用 B3 型号的光伏电池
19、。因此，不妨以小屋的南立面为例，设选择 A3 型号的电池的个数为 ，选用逆变3m器的总费用为 ，若忽略逆变器的逆变效率，则一年后的发电量为：kdb（22）ktmpIf38701335 年后的总发电量为：（23）wF%8095%铺设光伏电池的费用为：（24）kdbaC3则经计算得到 35 年后能获得的利润为：（25）kmW29由于 ，则 恒成立，即小屋南立面选用性价比最高的光伏电1,03mdbk 0池也不能在 35 年内收回建设成本。因此可以推知，对于任何一种或几种光伏电池铺设在南立面都不会在 35 年内收回铺设成本，即南立面只要铺设光伏电池就会亏损。同理，可以得到小屋的其他侧面以及屋顶采用性价比高的单一光伏电池在 35 年后能获得的利润如下表 2 所示：表 2 35 年后每个铺设面的所得利润表8铺设面 采用的单一光伏电池型号 所得利润东面墙 B3 kdbmW91.87西面墙 B3 62北面墙 C6 k1.3南屋顶 A1 350北屋顶 C1 kdb48.开始盈利是否输入电池型号是否逐一增加电池数目此时电池的选择小于墙体面积根据条件选择合适的逆变器选择亏损最小的方案是否确定光伏阵列的连接方式输出最佳方案结束
