1、第6章 方差分析,6.1 方差分析的基本思想和原理 6.2 单因素方差分析 6.3 双因素方差分析,方差分析是实验设计的重要统计分析方法。20世纪 20年代，英国著名统计学家费歇首次将方差分析应用于农业实验中。之后，方差分析得以充分发展，其内容更加丰富，应用也更为广泛，在工农业生产、科学实验、企业经营和管理等方面都有广泛应用。在实际生活中人们往往通过试验来了解各种因素对诸如产品的性能、产量、质量等试验指标的影响。不仅如此，还要在众多的影响因素中找出显著的因素以及它们在什么状态（水平）下对改进产品的性能、增加产量和提高质量最有利，从而选出最优的因素水平。为此，首先设计一个合适的实验方案，按照该实
2、验方案进行试验，然后对试验结果进行分析，方差分析就是解决这项工作的有效方法。,例:在教学中,希望能够找到一种有效的教学方法和手段,使教学效果最好,这就需要分析教学效果受到哪些因素的影响.有很多的因素会影响教学的效果,如不同的教学方法,不同的教材,学生接受知识的能力等,都会对教学效果产生一定的影响,如果可以知道在这些众多的影响因素中,哪些因素起了主要的作用,就可以采取有效的手段来提高教学水平。 在影响教学效果的因素中，有两类因素，一类是人为可控制变量，如不同的教学方法,不同的教材；另一类是随机变量，如学生接受知识的能力。 可以对几个普通班级的学生，采用几种不同的教学方法，一段时间后进行测试，就可
3、以得到不同教学方法对教学效果的影响。,方差分析按照影响试验指标的个数分为单因素试验的方差分析、双因素试验的方差分析和多因素试验的方差分析。本章着重介绍单因素试验的方差分析、双因素试验的方差分析.,什么是方差分析? （一个例子）,【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。,什么是方差分析? （例子的进一步分析）,检验饮料的颜色对销售量是否有影
4、响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析,6.1.2 方差分析的基本思想和原理(几个基本概念）,因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值,方差分析的基本思
5、想和原理 （几个基本概念）,4.试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验 5.总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总体 6.样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,方差分析的基本思想和原理 （两类误差）,随机误差 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差 系统误差 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，同一家超市，不同颜色饮料
6、的销售量也是不同的 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差,方差分析的基本思想和原理 （两类方差）,组内方差 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差 组间方差 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,方差分析的基本思想和原理 （方差的比较）,如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这
7、时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异,方差分析中的基本前提,每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 观察值是独立的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售
8、量独立,6.2 单因素方差分析,6.2.1 单因素方差分析的步骤 6.2.2 方差分析中的多重比较,单因素方差分析的数据结构,提出假设 构造检验统计量 统计决策,8.2.1 单因素方差分析的步骤,提出假设,一般提法 H0: m1 = m2 = mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ， ，mk不全相等 对前面的例子 H0: m1 = m2 = m3 = m4 颜色对销售量没有影响 H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 颜色对销售量有影响,构造检验的统计量 (前例计算结果 ),构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST),全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离
9、散状况 其计算公式为,前例的计算结果：SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.9295,构造检验的统计量 (计算组内离差平方和SSE),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为,前例的计算结果：SSE = 39.084,构造检验的统计量(计算组间平方和SSA),各组平均值 与总平均值 的离差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,前例的计算结果：SSA
10、 = 76.8455,构造检验的统计量 (三个平方和的关系),总离差平方和(SST)、组内离差平方和(SSE)、组间离差平方和 (SSA) 之间的关系,SST = SSE + SSA,构造检验的统计量 (计算方差MS),各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k,构造检验的统计量 (计算均方 MS),SSA的均方也称组间方差
11、，记为MSA，计算公式为,SSE的均方也称组内方差，记为MSE，计算公式为,构造检验的统计量,SST反映了全部数据总的误差程度；SSE反映了随机误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，即H1 H2 Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量,构造检验的统计量 (计算检验的统计量
12、F ),将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,构造检验的统计量 (F分布与拒绝域),如果均值相等，F=MSA/MSE1,统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，或者用P与比较,作出接受或拒绝原假设H0的决策 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若F=F ，或者 P 则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响,单因素方差分析 （一个例子）,【例】为了对几个行业的服务质量进行评
13、价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本，其中零售业抽取7家，旅游业抽取了6家，航空公司抽取5家、家电制造业抽取了5家，然后记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数，结果如表9.7。试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(0.05),单因素方差分析 （一个例子）,单因素方差分析 （计算结果）,解：设四个行业被投诉次数的均值分别为，m1、m2 、m3、m4 ，则需要检验如下假设H0: m1 = m2 = m3 = m4 (四个行业的服务质量无显著差异)H1: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 (有显著差异),用spss输出的结果,0.4520.05
14、, 具有方差齐性,满足方差分析的前提条件,0.0000.05,结论：拒绝H0 。四个行业的服务质量有显著差异,方差分析中的多重比较,多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异 多重比较方法有多种，常用的有： 1）在具有方差齐性时，用最小显著差异方法，简写为LSD 2）在不具有方差齐性时，用Tamhane T2方法,数据变换,当数据为偏态或方差不齐时，有时可通过数据转换的方法改善。常用方法有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。,1平方根反正弦变换医学上有许多指标是用百分数形式表示的，如白细胞分类的百分数、淋巴细胞转换率、畸变细胞出现率等，一般倾向于
15、二项分布，此时宜采用平方根反正弦变换 。,2平方根变换 平方根变换法适用于观测值为服从泊松分布的计数资料，如单位时间的放射粒子数目。,3对数变换对数变换适用于某些服从对数正态分布的资料。由于 0 和负值无对数，这时可改用 ，a为任意常数。,6.3 双因素方差分析,无重复试验的双因素方差分析 有重复试验的双因素方差分析,双因素方差分析 （概念要点）,分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响 如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析 如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因素B的搭配还会对销售量
16、产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析,无重复试验的双因素方差分析的数据结构 （此时每一水平组合下（ Ai， Bj）下只做一次试验,提出假设,对因素A提出的假设为 H0: m1 = m2 = = mi = = mk (mi为第i个水平的均值) H1: mi (i =1,2, , k) 不全相等 对因素B提出的假设为 H0: m1 = m2 = = mj = = mr (mj为第j个水平的均值) H1: mj (j =1,2,r) 不全相等,构造检验的统计量,为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 总离差平方和 水平项平方和 误差项平方和 均方,
17、构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST),全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 计算公式为,构造检验的统计量 (计算SSA、SSB和SSE),因素A的离差平方和SSA（行间变差）,因素B的离差平方和SSB（列间变差）,随机误差项平方和SSE,构造检验的统计量 (各平方和的关系), 总离差平方和(SST )、水平项离差平方和 (SSA和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系,SST = SSA +SSB+SSE,构造检验的统计量 (计算均方 MS),各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，
18、也称为方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 总离差平方和SST的自由度为 kr-1 因素A的离差平方和SSA的自由度为 k-1 因素B的离差平方和SSB的自由度为 r-1 随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)(r-1),构造检验的统计量 (计算均方 MS),因素A的均方，记为MSA，计算公式为,因素B的均方，记为MSB ，计算公式为,随机误差项的均方，记为MSE ，计算公式为,构造检验的统计量 (计算检验的统计量 F),为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量,为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量,统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平
19、的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值 F 若FA F ，PA ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素(A)对观察值有显著影响 若FB F ， PB 则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素(B)对观察值有显著影响,例子,【例】某公司在某地区用3种销售方案，对4种包装的该产品试销一个月，业绩见下表。试分析不同包装和不同销售方案对产品的销售量是否有显著影响？,用spss 输出的结果）,结论： PA =0.000 0.05，拒绝原假设H0，说明包装类型对销售量有显著影响PB =0.001 0.
20、05拒绝原假设H0，说明销售方案对销售量有显著影响,（二）考虑交互作用的双因素方差分析,1.理论 考虑交互作用的双因素试验可设双因素试验的一个因素为A，共有A1、A2、Ar等r个水平，另一个因素为B， 共有B1、B2、Bn等n个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排t次试验，其中A因素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x。,有重复试验的双因素方差分析的数据结构 （此时每一水平组合下（ Ai， Bj）下做t次试验,假设检验为 ：,SST=SSA+SSB+SSAB+SSE,服从F(r-1,rn(t-1)分布,服从 F(n-1,rn(t-1) )分布,服从 F(r-1)(n-1),rn(t-1)分布,统计决策, 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值 F 若FA F ，PA ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素(A)对观察值有显著影响 若FB F ， PB 则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素(B)对观察值有显著影响 若FAB F ， PAB 则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素A和B的交互作用显著不为零,
