1、排队论,张慧增,排队论的基本概念,在现实世界中，经常会发生为了获得某种服务而排队的现象 顾客到商店去买东西 病人到医院去看病 汽车去加油站加油 旅客到车站购票 当要求服务的对象的数量超过服务机构的容量就会出现排队现象。 出现排队现象的原因：顾客到达人数和服务时间的随机性。,排队论的基本概念,问题的解决： 增加服务设施能减少排队现象，但这样势必增加投资且可能出现因供大于求而使得设施经常闲置、导致浪费，这通常不是一个最经济的解决问题的办法。 作为管理人员来说，研究排队问题就是把排对的时间控制在一定的限度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。,排队论的基本概念,排队论的应用：
2、 广泛用于解决电话局的通信线路的占线问题； 车站、码头、机场等交通的枢纽的堵塞和疏导； 故障机器的停机待修； 水库的储存调节等有形无形的排队现象的问题。 本章内容 排队论的基本知识； 常见的排队模型； 讨论排队论系统的经济分析与最优化问题。,排队论的基本概念,排队过程的一般模式 各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构前排队等候接受服务； 某些顾客在看到等候队列的长度以后，决定不进入服务系统； 部分排在队列里的顾客，在排了一段时间队以后也变得不耐烦，在接受服务之前离开了队列，留在队列里的顾客得到的服务后变离去。,排队系统的组成,一般排队系统都有3个基本组成部分：输入过程、排队与服务规则和服务
3、机构。 输入过程：说明顾客按怎样的规律到达系统。要完全刻画一个输入过程，需要以下3个方面： 顾客总体数。可能是有限的，也可能是无限的。如车间内出现的故障待修的机器显然是有限的总体，而河流上游流入水库的水量可以认为是有限的。 顾客到达的方式。是单个到达还是成批到达。例如在一场球类比赛中，进入场地的团体单位的观众就是成批的。 顾客（单个或者成批）相继到达的间隔时间。可以是确定的，也可以是随机的。本章只研究最简单的模型，即顾客流的到达服从泊松分布为最简单流。,排队系统的组成,排队规则与服务规则 损失制：当顾客到达时，若所有的服务台均被占用，该顾客随即离去，这种排队规则也称为即时制； 等待制：当顾客到
4、达时，若所有服务台均被占用，顾客并不离去而是排队等待服务； 混合制：允许排队，但是不允许队列无限的长下去。 服务规则：（1）先到先服务； （2）后到先服务； （3）随机服务； （4）有优先权的服务；,排队系统的组成,服务机构 服务台的数量及结构的形式。从数量上来看，服务台有单台和多台之分。从结构上来看，服务台：（1）单队单服务台； （2）多队多服务台并列式； （3）单队多服务台并列式； （4）单队多服务台串联式；（5）多服务台混合式。 服务方式：在某一个时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。 服务时间：确定型和随机型。,排队系统的运行指标,研究排队系统的目的：通过了解系统的组成，对
5、系统进行调整和改进，使系统处于最优或者满意的运行状态。 为了此目的，必须判断用以判断服务系统运行优劣的主要数量指标，这些指标通常为： 绝对通过能力A，即单位时间内被服务顾客的数学期望。 相对通过能力Q，即被服务顾客的顾客数与请求服务的顾客数的比值。 系统损失概率P损，即服务系统满员的概率，或者说，服务员都忙着，排队位置满座的概率。,排队系统的运行指标,队长L系，即系统内顾客数的数学期望。 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望。 逗留时间W系，顾客在系统内逗留时间的数学期望。 排队时间W队，系统内顾客排队等待服务时间的数学期望。这里的逗留时间等于排队时间加服务时间。 计算上述指标的基础是系统状
6、态的概率，这些状态概率的一般跟时刻t有关。用Pn(t)表示时刻t的系统状态为n（即系统内有n个顾客）的概率。一般说来，求出与t有关的瞬态概率Pn(t)是不容易的，即使求出也很难利用。而实际上很多系统运行一段时间后，系统的状态概率分布不再随时间变化，即当t充分大时， Pn(t)接近一个常数Pn，这时称系统到达稳定或者统计平衡状态，称Pn为稳定概率。本章只研究稳定状态。,排队系统的运行指标,1971年国际排队符号标准会上将排队模型的符号扩充为6项，记为X/Y/Z/A/B/C. X表示顾客到达流或者顾客到达间隔时间的分布率； Y表示服务时间的概率分布； Z表示并列的服务员的数目； A表示顾客排队的容
7、许长度或者系统内顾客的容量。A=0，表示损失制系统;A=，表示等待制;A为有限量时，为混合制。 B表示顾客源的数目； C表示服务规则。,损失制排队模型算法,多通道损失制系统 模型：设系统内有n个服务员，顾客来到服务系统时如果服务员正在忙，顾客不能立即得到服务，则顾客离去，另求服务。 多通道损失制系统的各项效率指标： 损失概率P损，其中/, 为单位时间来的顾客数即顾客流强度，为单位时间内一个服务台服务的顾客数即服务台能力,损失制排队模型算法,系统的相对通过能力Q=1- P损 系统的绝对通过能力A=Q 占用服务员的平均数KQ 通道的占用率k/n 实例：某电话总机有3条中继线，平均每分钟有0.8次呼
8、唤。如果每次通话时间平均为1.5分钟，试求：绝对通过能力、相对通过能力、损失概率、通道的占用率和占用通道的平均数。 解：n3, =0.8, =1/1.5=0.667编程得到为,损失制排队模型算法,损失制排队模型算法,损失制排队模型算法,单通道损失系统 单通道损失系统是多通道损失系统的一种特殊情况，即当n=1时，系统即为单通道损失制系统(M/M/1/0) 效率指标为： 损失概率系统的相对通过能力Q=1/(1+ ). 系统的绝对通过能力A=Q,损失制排队模型算法,实例：某电话总机有1条中继线，平均每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间平均为1.5分钟，试求：中继线的相对通过能力，绝对通过能力和损失
9、概率。 解：n1, =0.8, =1/1.5=0.667,损失制排队模型算法,练习,某电话总机有3条中继线，每小时平均60次呼唤，平均通话时间为2分钟，求系统运行效率指标。 电话总机有1条中继线，每分钟平均2次呼唤，平均通话时间为4min，求系统运行效率指标。,等待制排队模型算法,多通道等待制系统 模型：顾客到达流为泊松流，其强度为。系统内有n个服务员，服务员具有相同服务时间，该服务时间服从指数分布，其强度为。当顾客到达时，如果服务员忙着，顾客排队的等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。 效率指标：,等待制排队模型算法,系统损失概率P损0。 系统的相对通过能力Q=1. 系统的绝对通过能力A=
10、 系统内排队顾客的平均数顾客的平均排队时间,等待制排队模型算法,占用服务员的平均数k= 系统内顾客的平均数L系L队 单通道等待制系统的效率指标 P0=1- 系统内排队顾客的平均数L队2/(1-) 顾客排队的平均时间W队2/(1-) 系统内顾客的平均数L系L队 顾客在系统中平均逗留时间W系L系/.,等待制排队模型实例,某临时架设的公路简便桥，桥上不容许同时有两辆汽车通过。若汽车到达流为泊松流，其强度为2.1辆/分钟.通过时间是指数分布，平均每辆的通过时间为0.4分钟,试求系统的效率指标。 解： 2.1，1/0.4=2.5,/=2.5, m=1,等待制排队模型实例,某理发店有两个理发员，顾客平均到
11、达的间隔时间为20min，每剃一个头需要25min，两种时间均服从负指数分布。试求理发店的经营效率。 某修理店只有一个修理工人；来修理的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟，试求系统的效率指标。,等待制排队模型练习,混合制排队模型算法,多通道混合制系统 模型：系统中有n个服务员。顾客按最简单流来到服务系统，其强度为。服务员相同的能力为，服务时间服从指数分布。系统内有m个位置供顾客排队。当顾客到达时，系统满员，顾客离去，另求服务。 系统的各项效率指标： 系统的损失概率 系统的相对通过能力 系统的绝对通过能力,混合制排队模型算法,占用服务员的平均数 排队顾
12、客的平均数 系统内顾客的平均数 顾客的平均排队时间 顾客在系统内中平均停留时间 单通道混合制系统,混合制排队模型实例,某修理站只有一个修理组,在修理站内最多只能停放3座机器，若超过3座，则请到别的修理战去。设修理机器的到达强度1座/天，并且服从泊松流。修理时间是指数分布，平均修理时间是1.25，试求系统的效率指标。 解： 1，1/1.25=0.8，m=3,混合制排队模型实例,混合制排队模型实例,某汽车自动加油站，设有两条加油管。汽车按最简单流到达，每分钟平均到达两辆。加油时间服从指数分布，每辆汽车的平均加油时间为2分钟。自动加油站上最多只能停3辆汽车。如果汽车到达时，系统满员，则汽车开到另外加
13、油站去，另求服务。求此系统的效率指标。 解：n=2, 2，1/2=0.5，m=3,混合制排队模型实例,混合制排队模型练习,某理发店只配置3把椅子，设顾客到达流服从参数为=2/h的最简单流，理发时间服从负指数分布，平均理发时间为20min,求店的经营效率。 某服务台有2个服务员，只有5个位置供等待，顾客到达流服从每分钟0.4的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均服务时间为10分钟，求该系统效率指标。,单通道混合制算法,模型：排队系统为单通道。顾客到达时，系统内已有n个顾客排队。这时顾客以n的概率参加排队。当n=0时，n1，即没有不耐烦的顾客，因为当时系统闲着，顾客一到，立即接受服务。顾客按简单
14、流到来，其强度为。服务时间服从指数分布，其强度为。,单通道混合制算法,系统内的顾客平均数L系 系统内排队顾客的平均数L队 系统损失概率P损 服务员的平均负荷L队,单通道混合制实例,某公用电话，每分钟平均有0.4个顾客到达。平均通话时间为4分钟。顾客按最简单流到达，服务时间服从指数分布。通过观察，当电话机前已经有两个人等待打电话时，有5的顾客自动离去，成为不耐烦的顾客。求顾客的效率指标。 解：n=3, =0.4, =0.25, n=0.95.,单通道混合制实例,单通道混合制习题,某售票窗口，每分钟平均有0.8个顾客到达，平均服务时间为2分钟。旅客按最简单流到达，服务时间按最简单流到达，服务时间服
15、从负指数分布。已知此窗口前的第11名旅客去另外窗口排队的概率为0.1，求此售票窗口的效率指标。,闭合式系统,多通道闭合式系统 模型：顾客源为有限数n.由于顾客源为有限数n，因此系统的最大状态为n,而且顾客的平均到达概率将依赖于已经有多少顾客在系统中，即不再是常数。这类系统在生产中，如机器的维修和管理等问题中得到应用。在机器的维修和管理中，就是共有m个修理工人，有n台机器，顾客到达就是机器出了故障，顾客到达率是指每台机器每单位运转时间出故障的次数期望值。而排队的顾客代表出了故障而由于修理员正在忙需要等待的机器。,多通道闭合式系统,例子：两个修理工人包干维修6台机器，机器平均每月出故障2次，一个修理工人修理一台机器平均需要5天，求系统的效率指标 解：n=6,m=2, =2, =6,多通道闭合式系统,单通道闭合式系统实例,一个修理工人负责维修3台大型机器，每台机器平均每月出2次故障，修理工人平均每月能够修理6台机器，试求服务的效率指标？,单通道闭合式系统实例,闭合式系统习题,2个道路维修队负责维修某地区的5条道路，道路每月损坏3处，每个道路维修队平均每月能抢修10处，求此闭合式系统的效率指标。 一名技术员负责维修其工作组的4台旧式计算机，每台计算机平均每月出4次大的故障，技术员每检修一台计算机需要2天，求维修效率指标。,
