1、第 1 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,E,F 为对角线 AC 上两点,且 AE=CF,DFBE,AC 平分BAD.求证:四边形 ABCD 为菱形 .【答案】ABCD,BAE=DCF.DFBE,BEF=DFE,AEB=CFD.又 AE=CF,AEBCFD,AB=CD.ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形.AC 平分BAD,BAE=
2、DAF.又BAE=DCF,DAF=DCF,AD=CD,四边形 ABCD 是菱形.2. 如图，矩形 ABCD 中，点 O 为 AC 的中点， 过点 O 的直线分别与 AB，CD 交于点 E，F，连接BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO.若COB=60， FO=FC.求证:(1)四边形 EBFD 是菱形;【答案】连接 OD.点 O 为矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，B,D, O 三点共线且 BD=DO=CO=AO.在矩形 ABCD 中，AB DC，AB=DC，FCO=EAO.在CFO 和AEO 中，CFOAEO，FO=EO.又 BO=DO，四边形 BEFD 是平行四边形.BO=CO，
3、COB=60，COB 是等边三角形 .OCB=60.第 2 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.FCO=DCB-OCB=30.FO=FC，FOC=FCO=30.FOB=FOC+COB=90.EFBD.平行四边形 EBFD 是菱形.(2)MBOE=32.【答案】BO= BC，点 B 在线段 OC 的垂直平分线上.FO=FC，点 F 在线段 OC 的垂直平分线上.BF 是线段 OC 的垂直平分线.FMO=OMB=90.OBM=30.OF=BF.FOC=30，FM=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即 FO=EO，BMOE=
4、32.3. 如图,在ABC 中, ABC=90,BD 为 AC 边上的中线,过点 C 作 CEBD 于点 E,过点 A 作 BD的平行线,交 CE 的延长线于点 F,在 AF 的延长线上截取 FG=BD,连接 BG,DF.求证:四边形BGFD 是菱形.【答案】FGBD,BD =FG,四边形 BGFD 是平行四边形.CFBD,AGBD,CFAG.又 ABC=90,点 D 是 AC 的中点,BD=DF =AC,平行四边形 BGFD 是菱形.4. 如图,点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点 ,DEAC,CEBD,连接 OE.求证:OE= BC.【答案】DEAC,CEBD ,四边形 OCED 是平行
5、四边形 .四边形 ABCD 是菱形,ACBD,OB=OD,BOC=COD=90,第 3 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o四边形 OCED 是矩形,ODE=90,OB=OD,BOC=ODE=90,BC=,OE=,DE=OC.OE=BC.5. 2015兰州中考,25 (9 分)如图 ,四边形 ABCD 中,ABCD,AB CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC ;【答案】作 BMAC,BM 交 DC 的延长线于点 M,则
6、 ACD=BMD. 1 分ABCD,BMAC,四边形 ABMC 为平行四边形. 2 分AC=BM.BD=AC,BM=BD.BDM=BMD.BDC=ACD.在BDC 和ACD 中,BDCACD. 4 分BC=AD. 5 分(2)若 E,F,G,H 分别是 AB,CD,AC,BD 的中点.求证:线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分.【答案】连接 EG,GF,FH,HE. 6 分E,H 为 AB,BD 的中点,EH=AD.同理 FG=AD,EG=BC,FH=BC.BC=AD,EG=FG=FH=EH. 8 分四边形 EGFH 为菱形,EF 与 GH 互相垂直平分. 9 分第 4 页 共 19 页请不
7、要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.6. 2015长春中考,18 (7 分)如图 ,CE 是 ABC 外角ACD 的平分线,AFCD 交 CE 于点F,FGAC 交 CD 于点 G,求证:四边形 ACGF 是菱形.【答案】因为 AFCD,FGAC,所以四边形 ACGF 是平行四边形,又因为ACE= ECG,ECG=AFC,所以ACE=AFC,所以 AC=AF,由得四边形 ACGF 是菱形.7. 2010上海中考， 23已知梯形 ABCD 中，ADBC ，ABAD( 如图所示)，BAD 的平分线 AE交 BC 于点 E，连结 DE.(1)在图中，用尺
8、规作 BAD 的平分线 AE(保留作图痕迹， 不写作法)，并证明四边形 ABED 是菱形；【答案】BAEDAE ，DAEBEA，BAEBEA，ABBEAD，ADBE，四边形 ABED 的平行四边形，又 ABAD，四边形 ABED 为菱形(2)ABC60，EC2BE，求证 ：EDDC.【答案】过 D 作 DFAE，则 DFCF 1，C30，而 DEC60，EDC90， EDDC.第 5 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o8
9、. 2010沈阳中考， 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O，点 E，F 分别为边AB，AD 的中点 ，连接 EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形.【答案】点 E，F 分别为 AB，AD 的中点AEAB，AFAD(2 分)又 四边形 ABCD 是菱形ABADAEAF(4 分)又 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 OO 为 BD 的中点OE，OF 是ABD 的中位线(6 分)OEAD，OFAB四边形 AEOF 是平行四边形(8 分)第 6 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.
10、AEAF四边形 AEOF 是菱形(10 分)9. 2010安徽中考， 20如图，ADFE， 点 B,C 在 AD 上，1 2，BFBC .(1)求证：四边形 BCEF 是菱形；【答案】ADFE ，FEB 2.12，FEB1.BFEFBFBC，BC EF.四边形 BCEF 是平行四边形BFBC，四边形 BCEF 是菱形(5 分)(2)若 ABBCCD，求证：ACF BDE.【答案】EFBC，ABBCCD，ADFE，四边形 ABEF、四边形 CDEF 均为平行四边形， AFBE ，FCED.(8 分)又 AC2BCBD，(9 分)ACFBDE.(10 分)10. 2013长沙中考， 24如图，在A
11、BCD 中， M，N 分别是 AD，BC 的中点， AND90， 连接CM 交 DN 于点 O.(1)求证：ABNCDM；【答案】ABN CDM，ABCD，BNBCADDM，第 7 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.oABNCDM(SAS).(2)过点 C 作 CEMN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE1，12，求 AN 的长.【答案】M，O 分别为 AD，ND 的中点，ANMO 且 AN2MO，MODAND90 ，
12、即平行四边形 CDMN 是菱形，在 RtMOD 与 RtNEC 中，12，MDNC ，RtMODRtNEC，MONE.根据菱形的性质可知，MND CND，1CND，所以MND CND 230，所以在RtENP 中 NEPEtan30，即 AN2.11. 如图,在ABC 中, A=90,AHBC 于点 H,B 的平分线交 AC 于点 D,交 AH 于点 E,DFBC于点 F,求证:四边形 AEFD 是菱形.【答案】ABD= FBD,BD=BD,BAD=DFB=90,ABDFBD,AD=DF,AB=FB.又ABE=FBE,BE=BE,ABEFBE.BAE=BFE.又BAE=90-ABC= C,BF
13、E=C,EFAD.DFBC,AHBC,AEDF.四边形 AEFD 是平行四边形.又 AD=DF,四边形 AEFD 是菱形.12. 2012南宁中考,25如图,已知矩形纸片 ABCD,AD2,AB4,将纸片折叠,使顶点 A 与边 CD上的点 E 重合,折痕 FG 分别与 AB,CD 交于点 G,F,AE 与 FG 交于点 O.图 1 图 2(1)如图 1,求证 ：A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形；第 8 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.【答案】证法一：证明：在矩形 ABCD 中,CDAB13(1 分)由折叠可知：AGEG
14、, 1223EFEG(2 分)EFAG四边形 AGEF 是菱形(3 分)证法二：证明：连接 AF,由折叠可知OAOE,AG EG(1 分)在矩形 ABCD 中,AB CDAEFEAGAOGEOFAOGEOF(ASA)(2 分)AGEF四边形 AGEF 是菱形(3 分)(2)如图 2,当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时,求证,点 N 是线段 BC 的中点；【答案】证明：连接 ON,O 是 RtADE 外接圆圆心.O 与 BC 相切于点 NONBC(4 分)在矩形 ABCD 中,DCBC,ABBCCDONAB (5 分)OAOE CNNB即 N 为 BC 的中点(6 分)(3)如图 2,
15、在第 2 问的条件下 ,求折痕 FG 的长.第 9 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o【答案】解法一：过点 O 作 OMAB 于点 M,则四边形 OMBN 是矩形设 O 半径为 x,则 OAOE ONx(7 分)AB4,AD2 AM4x由第 2 问得,NBOM1在 RtAOM 中,OA 2AM 2OM 2x2(4 x) 21 2 x(8 分)AM4FEOOAM又FOEOMA90RtEFORtAOM (9 分 )OF FG
16、 2OF(10 分)解法二：延长 NO 交 AD 于点 M四边形 ABNM 是矩形AMBNAD1O 为 RtADE 外接圆圆心OAOEON设 ON 为 x,则 OM4x(7 分)在 RtAMO 中,AM 2OM 2OA 2即 12(4x) 2x 2x(8 分 )OM4FGAE,MNDC FEO MOA AMO EOF90EOFOMA第 10 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo. (9 分 )OF FG2OF(10 分)13. 2013葫芦岛中考,20 (本小题满分 8 分)如图,四边形 ABCD 中,AD BC,BAAD,BC=
17、DC,BECD 于点 E.(1)求证:ABDEBD;【答案】如图,ADBC,1=DBC.BC=DC,2=DBC.1=2. 2 分又BAD= BED=90,BD=BD,ABDEBD. 4 分(2)过点 E 作 EFDA,交 BD 于点 F,连接 AF.求证: 四边形 AFED 是菱形.【答案】由第 1 问得,AD=ED, 1=2.EFDA,1=3,2=3.EF=ED. 5 分EF=AD. 6 分四边形 AFED 是平行四边形.又 AD=ED.四边形 AFED 是菱形. 8 分第 11 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_
18、班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o14. 2013贵阳中考， 20已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为 BC 上的任意一点，连接 AF 交对角线 BD 于点 E，连接 EC.(1)求证：AEEC；【答案】证明：连接 AC.BD 是菱形 ABCD 的对角线，BD 垂直平分 AC.AEEC.(2)当ABC60，CEF60时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？说明理由.【答案】点 F 是线段 BC 的中点.理由：菱形 ABCD 中，AB BC，第 12 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o
19、.o.线.o.oooo.又ABC60.ABC 是等边三角形，BAC60.AEEC，CEF60 ，EAC30.AF 是ABC 的角平分线.AF 交 BC 于点 F，AF 是ABC 的 BC 边上的中线.点 F 是线段 BC 的中点.15. 2012上海中考,23已知： 如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,BAFDAE,AE 与 BD 交于点 G.(1)求证：BEDF；【答案】四边形 ABCD 为菱形,ABADBCCD,ABDADBCBD CDB,ABEADFBAFDAE ,且BAFBAE EAF,DAEDAFEAFBAEDAF .ABEADF(ASA).BEDF.(
20、2)当时,求证 ：四边形 BEFG 是平行四边形.【答案】在菱形 ABCD 中,ADBC,DAEBEA,ADB EBD.AGDEGB. .又 , BEDF,GFBE.DGFDBC.第 13 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.oDBCCDB,DGFGDF,GFDF,BEGF.BEGF,四边形 BEFG 是平行四边形.16. 2013乌鲁木齐中考,19如图 ,在 ABC 中,ACB90,CD AB 于 D,AE 平分BAC,分
21、别与BC,CD 交于 E,F,EHAB 于 H,连接 FH.求证：四边形 CFHE 是菱形.【答案】AE 平分BAC ,CAEEAH,而ACB90,CDAB,CEACAEAFD EAH90, 又 APD CFE,CFECEF, CFCE.又 AE 平分BAC,ACB90.EHAB,CE EH,CFEHCE, CDAB,EHAB,CFEH,四边形 CFHE 是菱形.17. 如图所示,在菱形 ABCD 中,CEAB 于点 E,CFAD 于点 F,求证:AE=AF.【答案】证法 1：如图所示,连接 AC,四边形 ABCD 是菱形,AC 平分BAD,即 BAC=DAC.在ACE 和ACF 中,AEC=
22、AFC=90,BAC=DAC,AC=AC,ACEACF(AAS),AE=AF.第 14 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.证法 2：四边形 ABCD 是菱形,BC=DC=AD=AB,B=D.又 在BCE 和DCF 中,BEC= DFC=90,BCEDCF(AAS),BE=DF,AE=AF.18. 2013南宁中考， 23如图，在菱形 ABCD 中， AC 是对角线， 点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点.(1)求证：ABECDF；【答案】在菱形 ABCD 中，ABBC CDDA( 或 ABCD，BCDA).BD.点 E，F
23、 分别是边 BC，AD 的中点，BEDF.ABECDF.(2)若B60 ，AB4，求线段 AE 的长.【答案】解法一：ABBC，B60，ABC 是等边三角形.点 E 是 BC 边的中点.AEBC.在 RtABE 中 ，sinB.AEABsinB4 .解法二：ABBC，B 60 ，ABC 是等边三角形.点 E 是 BC 边的中点， AEBC.BAE30.在 RtABE 中 ，BEAB2.AE.19. 2012温州中考,19( 本题 8 分)如图,ABC 中, B90, AB6cm, BC8cm,将 ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm,得到第 15 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o
24、.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.oDEF,A,B,C 的对应点分别是 D,E,F,连接 AD.求证：四边形 ACFD 是菱形.【答案】法一：B90,AB6cm,BC8cm.AC10cm.由平移变换的性质得 CFAD10cm,DFAC,ADCFACDF,四边形 ACFD 是菱形.法二：由平移变换的性质得 ADCF,ADCF10cm,四边形 ACFD 是平行四边形,B90,AB6cm, BC8cm,AC10cm,ACCF,ACFD 是菱形.20. 2011兰州中考
25、，27(本小题满分 12 分)已知：如图 17 所示的一张矩形纸片 ABCD(ADAB )，将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F.分别连接 AF 和 CE.(1)求证：四边形 AFCE 是菱形；第 16 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.【答案】由题意可知 OAOC ，EFAO.ADBC，AEOCFO，EAOFCO，AOECOF，AECF ，又 AECF，四边形 AECF 是平行四边形 (2 分)ACEF，四边形 AECF 是菱形.(4 分)(2)若 AE10
26、 cm，ABF 的面积为 24 cm2，求 ABF 的周长 ；【答案】四边形 AECF 是菱形，AFAE10 cm.设 ABa，BF b，ABF 的面积为 24 cm2, a2b 2100， ab48(6 分)(ab) 2196，ab14 或 ab14( 不合题意， 舍去)(7 分)ABF 的周长为 ab1024 cm(8 分)(3)在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2AC AP？若存在，请说明点 P 的位置， 并予以证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点 E 作 AD 的垂线， 交 AC 于点 P，点 P 就是符合条件的点(9 分)证明：AEPAOE 90，EAOEAP，
27、AOEAEP，AE2AO AP(11 分)四边形 AECF 是菱形，AOAC， AE2AC AP，2AE2AC AP.(12 分)21. 2013营口中考,19如图 , ABC 中,AB=AC ,AD 是 ABC 一个外角的平分线,且BAC=ACD.第 17 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o(1)求证:ABCCDA;【答案】AB=AC,B=ACB又FAC 是ABC 的一个外角,FAC=B+ACBFAC=2ACB 2 分
28、又 AD 是FAC 的角平分线, FAC=2CAD,ACB=CAD 3 分又 AC=CA,BAC=DCAABCCDA 4 分(2)若ACB=60,求证:四边形 ABCD 是菱形.【答案】BAC=ACDABCD 5 分又ACB=CAD ,ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形. 6 分AB=AC,ACB=60,等腰三角形 ABC 是等边三角形. 7 分AB=BC.四边形 ABCD 是菱形. 8 分22. 2011宁波中考 ,23(本小题满分 8 分)如图 13,在 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,BD 是对角线,过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G.(1)求证
29、：DE BF；第 18 页 共 19 页请不要在装订线内答题 .o.o.外.o.o.装.o.o.订.o.o.线.o.oooo.【答案】在 ABCD 中,AB CD,ABCDE,F 分别为边 AB,CD 的中点DFDC ,BEABDFBE,DF BE(2 分)四边形 DEBF 为平行四边形(3 分)DEBF(4 分)(2)若G90,求证：四边形 DEBF 是菱形.【答案】AGBDGDBC 90DBC 为直角三角形 (5 分)又 F 为边 CD 的中点BFDCDF.(7 分)又 四边形 DEBF 为平行四边形四边形 DEBF 是菱形(8 分)23. 2013黄冈中考， 17如图，四边形 ABCD
30、是菱形， 对角线 AC，BD 相交于点 O，DHAB 于H，连接 OH，求证：DHO DCO.【答案】四边形 ABCD 是菱形，OD OB，COD90，DHAB 于 H，DHB90，OHBOBH，又 ABCD.OBH ODC，OHBODC.在 RtCOD 中， ODCOCD90，在 RtDHB 中，DHO OHB90，DHODCO.第 19 页 共 19 页.ooo.o.外.oo.o.装.o.oo.订.o.o.o.线.o.oo .oo.学校：_姓名：_班级：_考号：_.o.oo.内.o.o.o.装.o.o.o订.o.o.o线.o.o.o.o.o.o24. 2013锦州中考,20如图,点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点,DEAC,CEBD,连接 OE.求证:OE=BC.【答案】DEAC,CEBD四边形 OCED 是平行四边形 2 分又 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线ACBD,即COD=90 4 分平行四边形 OCED 是矩形 6 分OE=CD 8 分又 BC=CD 9 分OE=BC 10 分(学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分 )
