1、1 若枢轴变量的精确分布易求 ， 可用小样本方法获得精确的置信区间 . 4.3 枢轴变量法 非正态总体参数的置信区间 若枢轴变量的精确分布不易求 ， 或若其精确分布虽可以求 ， 但是表达式复杂使用不方便 ， 则可用枢轴变量的极限分布来构造有关参数近似的置信区间 . 2 1 指数分布 参数的置信区间 4.3.1 小样本方法 1 / U M V U E解 ： 是 的 无 偏 估 计 ( 且 是 ) ， 由 推 论 2.4.5X21 2 22 ( ) 2 nnG X X X n X2因 此 ， 取 作 为 枢 轴 变 量G n X设总体 ， 且 ( )X f x, 0 ,( ) 00 , 0 .其
2、中 未 知 xexfx x1利 用 枢 轴 变 量 法 构 造 参 数 的 置 信 系 数 为 的 置 信 区 间 为抽自总体 X 的样本 12, , , nX X X3 ( 0 1 ) ab 对 给 定 ， 只 要 取 和 满 足( 2 ) 1 P a n X b满 足 上 式 的 和 有 无 穷 对 ， 其 中 有 一 对 和使 得 区 间 长 度 最 短 . 但 是 这 样 一 对 和 不 易 求得 且 表 达 式 复 杂 ， 应 用 不 方 便 . 通 常 采 用 下 列方 法 ， 一 般 令 和 满 足a b a babab 2 / 2P n X a 2 / 2 P n X b22
3、( 1 / 2 )其 中 na 22 ( / 2 ) nb4 22( ( 1 - / 2 ) 2 ( / 2 ) ) 1 nnP n X1-利 用 不 等 式 等 价 变 形 得 的 置 信 系 数 的 置 信 区 间22( 1 - / 2 ) ( / 2 ),22 nnn X n X2这 样 找 到 的 和 虽 不 能 使 置 信 区 间 的 精 度 最 高 ，但 是 表 达 式 简 单 ， 可 通 过 分 布 的 上 分 位 数 表求 得 ， 应 用 上 很 方 便 . 因 此 有ab5 1-同 理 得 到 的 置 信 系 数 的 置 信 下 限 为22 (1 - )2nnX1-同 理 得
4、 到 的 置 信 系 数 的 置 信 上 限 为22 ()2nnX6 1 5 4 5 5 0 5 3 6 0 6 5 7 0 8 3 9 0， ， ， ， ， ， ， ，求 平 均 寿 命 1/ 的 置 信 系 数 90% 的 置 信 区 间 和置 信 上 限 、 置 信 下 限( ) ,9设 某 电 子 产 品 的 寿 命 服 从 指 数 分 布现 从 此 分 布 的 一 批 样 本 中 抽 取 容 量 为 的 样 本 ，测 得 寿 命例 4.3.1为 ( 单 位 ： 千 小 时 )E x p7 则 g ( ) = 1 / 的 置 信 系 数 90% 的 置 信 区 间 为9 , 5 9 ,
5、 2 1 0 6 2 ,解 ： 由 样 本 算 得 查 表 得 n X n X221 8 1 8( 0 . 0 5 ) = 2 8 . 8 6 9 ( 0 . 9 5 ) = 9 . 3 9 0，2 2 2 22 2 1 8 1 82 2 2 2,( / 2 ) ( 1 - / 2 ) ( 0 . 0 5 ) ( 0 . 9 5 ) nnn X n X n X n X221 8 1 8( 0 . 1 0 ) = 2 5 . 9 8 9 ( 0 . 9 0 ) = 1 0 . 8 6 5， 3 6 . 7 8 7 ,1 1 3 . 0 9 9 8 则 g ( ) = 1 / 的 置 信 系 数
6、90% 的 置 信 上 限 和 下 限 为 ULgg221 8 1 8( 0 . 1 0 ) = 2 5 . 9 8 9 ( 0 . 9 0 ) = 1 0 . 8 6 5，222 1 8 9 7 . 7 4 5( 1 - ) ( 0 . 9 0 ) 千 小 时 Unn X n Xg222 1 8 4 0 . 8 6 3( ) ( 0 . 1 0 ) 千 小 时 Lnn X n Xg9 2 均匀分布参数的置信区间 12 ( 0 , ) , 0 , , ,1-设 ， 为 抽 自总 体 的 样 本 ， 利 用 枢 轴 变 量 法 构 造 参 数的 置 信 系 数 为 的 置 信 区 间 . nX
7、U X X XX() 是 的 极 大 似 然 估 计 又 是 充 分 计 ，解 ： 统 量nX因 此 取1 , 0 1()0,，其 它 . nn t tft()()( , ) nnXT g X作 为 枢 轴 变 量() / 的 密 度 函 数 为nX10 ( 0 1 ) ab 对 给 定 ， 只 要 取 和 满 足() 11 bn n n naXP a b n t d t b a即1nnba 考 虑 区 间 平 均 长 度 最 短 的 要 求 得 到()nXab而 等 价 变 形 为( ) ( )nnXXba1, nba 1-因 此 的 置 信 水 平 的 置 信 区 间 为()() ,nn
8、nXX11 4.3.2 大样本方法 1.总体比值 p 的置信区间 总体比值是指总体中具有某种特征的 个体所占的比率 ,记为 p. 例如 ,总体的次品率就是指总体中次品 所占的比率 . 随机变量 X表示个体的某种特征指标 , 规定当一个体具有某种特征时 ,则 X=1, 否则 ,X=0. X 服从 0-1分布 : P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 并且 EX=p, DX=p(1-p) 12 1, ( , )： 令 可 知解 nn i niS X S b n p1 ( 1 ) , 0 ,1xxP X x p p x 1 两点分布参数的置信区间 12, , ,( 1 , ) , 0 1设 是
9、 抽 自 总 体 的 样 本 ， 且 ， 即nX X X XX b p p1-p 求 参 数 的 置 信 区 间,根 据 中 心 极 限 定 理 ， 对 于 充 分 大 的 有n( 0 , 1 )( 1 ) ( 1 ) /当 LnS n p XpTNn p p p p nn13 ,( 1 )( 0 , 1 ) .当 充 分 大 时 随 机 变 量 的 极 限 分 布 是， 与 未 知 参 数 无 关nS n pnTn p pNp.于 是 取 作 为 枢 轴 变 量T当 充 分 大 时 有n/ 2 / 2 1( 1 ) / XpP u up p n14 / 2 / 2 1( 1 ) / XpP
10、u up p np的置信水平 1- 的近似置信区间为 2 2 2 2/ 2 / 2( ) ( 2 ) 0 n u p n X u p n X/ 2 / 2( 1 ) /不 等 式 等 价 于 Xpuup p n22 /21 2 / 2 / 222/21 ( 1 ) , 24 un X Xp p X u un u n n n15 /由 和 Pnp S n p实用中可采用下列更简单的方法： 将 上 述 两 式 相 乘 ， 按 照 依 分 布 收 敛 的 性 质 ， 有( 1 ) 1 ( 1 )得 到 Ppppp ( 1 ) ( 0 , 1 ) ( 1 ) / ( 1 ) / ( 1 ) Lppp
11、p p p Np p n p p n p p( 0 , 1 )( 1 ) ( 1 ) / LnS n p XpTNn p p p p n ( 0 , 1 )( 1 ) / Lpp Np p n16 即 ( 0 , 1 ) ( 1 ) / LppTNp p nT.的 极 限 分 布 与 p 无 关 ， 于 是 取 作 为 枢 轴 变 量T当 充 分 大 时 有n/ 2 / 21 ( 1 ) / ppP u up p n17 / 2 / 21 ( 1 ) / ppP u up p np的置信水平 1- 的近似置信区间为 / 2 / 2 ( 1 ) / ( 1 ) / p u p p n p p u
12、 p p n/ 2 / 2 ( 1 ) /不 等 式 等 价 于 ppuup p n1 2 / 2 / 2 , ( 1 ) / , ( 1 ) / p p p u p p n p u p p n18 例 某地区随机调查了七岁以下的儿 童 2452名 ,发现患有肥胖病的 56名 , 试以 98%的置信度给出该地区全部七岁 以下儿童的肥胖发病率的区间估计 ? 19 解 : 0 . 0 12 4 5 2 , 5 6 / 2 4 5 2 0 . 0 2 3/ 2 0 . 0 1 , 2 . 3 3 n p Xu98%p的 近 似 置 信 区 间 为0.023-2.33 0.003,0.023+2.33
13、 0.003即 0.016,0.0320 例 设自一大批产品的 100件样品中 ,得一级品 60件 ,求这批产品的一级品率的 95%置信区间 ? 解 : 0.0251 0 0 , 0 . 6/ 2 0 . 0 2 5 , 1 . 9 6 n p Xu95%p的 近 似 置 信 区 间 为0.6-1.96 0.049,0.6+1.96 0.049即 0.504,0.696.因此 ,在这批产品中以 95%的可靠度 估计一级品率在 50.4%至 69.6%之间 . 21 例 在某电视节目收视率的调查中，随机抽取了 500户家庭，其中有 200户家庭收看该电视节目 . 试求收视率 p的 95置信区间
14、. 解： 收视率 p是两点分布的参数 0.0255 0 0 , 2 0 0 / 5 0 0 0 . 4/ 2 0 . 0 2 5 , 1 . 9 6 n p Xu95%p 的 近 似 置 信 区 间 为0 . 3 6 , 0 . 4 4 22 1, ( ) ,： 令 可解 知 即 nn i niS X S P n2 Poisson分布参数的置信区间 12, , ,( ) , 0设 是 抽 自 总 体 的 样 本 ， 且 其 中 未 知 nX X X XXP1-求 参 数 的 置 信 区 间()( ) , 0 , 1 , 2 ,! nknenP S k kk当 充 分 大 时 ， 由 中 心 极
15、 限 定 理 可 知n(0 , 1 ) 当 LnSn Nnn23 ,( 0 , 1 ) .当 充 分 大 时 随 机 变 量 的 极 限 分 布 是， 与 未 知 参 数 无 关 nSnnTnN.于 是 取 作 为 枢 轴 变 量T当 充 分 大 时 有n/ 2 / 2 1 当 nSnP u u nn24 / 2 / 2 1 nSnP u un2 2 2 2/2( 2 ) 0 nnn n S n u p S/ 2 / 2解 不 等 式 nSnuun2 2 2 2/ 2 / 2 / 2 / 21 2 / 2 / 22 2 2 2 , ,2 4 2 4 n n n nS u u S S u u S
16、uun n n n n n n n1-参 数 的 置 信 系 数 近 似 为 的 置 信 区 间 为25 实用中可采用下列更简单的方法： ( 0 , 1 ) / L Nn( 0 , 1 ) ./由 于 的 极 限 分 布 为 ， 与 未 知 参 数 无 关 TNn./因 此 取 作 为 枢 轴 变 量Tn当 充 分 大 时 有n/ 2 / 21 / P u un26 / 2 / 21 / P u un/ 2 / 2 / u n u n/ 2 / 2 /不 等 式 等 价 于 uun1 2 / 2 / 2 , / , / u n u n1-参 数 的 置 信 系 数 近 似 为 的 置 信 区 间 为 .其 中 nSn27 作业： 158页 4.26,4.27
