1、第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器的设计学习要求：熟练掌握脉冲响应不变法和双线性变换法；掌握由模拟原型和数字低通滤波器设计各种数字滤波的方法。3.0 数字滤波器概述3.1 根据模拟滤波器设计 IIR 滤波器映射变换的两个基本原则 3.2 常用模拟低通滤波器特性3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换3.0 数字滤波器概述数学描述分类性能指标（容限图）设计步骤设计方法数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一
2、组输出的数字序列。数字滤波器的数学描述：差分方程 系统函数分类:1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系统 2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR 3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻设计步骤： 1 1） 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2 2） 用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和 FIR。 3 3） 用一个有限精度的运算去实现这个传递函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等，及选择合适的字长和有效的数字处理方法等。 设计方法： 一个 N 阶 IIR 滤波器的传递函数可
3、表示为 传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 ,以使滤波器满足给定的性能要求。设计方法一般有两种： 1） 1. 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，已经产生了许多高效率的设计方法。很多常用的模拟滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已表格化，设计起来方便、准确，因此可将这些理论继承下来，作为设计数字滤波器的工具。 2） 2. 最优化设计方法 分两步： 1) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，使设计出的实际频率响应的幅度特性|H(e j )|与所要求的理想频率响应|H
4、d(ej )|的均方误差最小， 此外还有其他多种误差最小准则。 b 2) 在此最佳准则下，通过迭代运算求滤波器的系数 a 、b 。 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍，如 IIR 滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方法的使用逐渐增多。3.1 根据模拟滤波器设计 IIR 滤波器两种常用的映射变换方法：1.脉冲响应不变法概念 频率变换关系 频谱混迭H(z)的计算 例题 小结2.双线性变换法映射关系 频率变换关系 预畸 H(z)的计算3.1 根据模拟滤波器设计 II
5、R 滤波器(脉冲响应不变法概念,映射关系) 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数 Ha(s)设计数字滤波器传递函数 H（z） ，这是一个由 S 平面到 Z 平面的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本原则： 1 1） H（z）的频响要能模仿 Ha(s)的频响，即 S 平面的虚轴应映射到 Z 平面的单位圆 ej 上。 2 2） Ha(s)的因果稳定性映射到 H（z）后保持不变，即 S 平面从左半平面 ReS0 映射到 Z 平面的单位圆内|z|1，随着 N 增加，/ c1，A( 2)快速下降。 3) = c 时， ，幅度衰减，相当于 3db 衰减点。 振幅平方函数的极点： H
6、a(-s)*Ha(s)=可分解为 2N 个一次因式 ， 令分母为零， 可见，Butterworth 滤波器的振幅平方函数有 2N 个极点，它们均匀对称地分布在|s|= c 的圆周上。例题 例：N=3 阶 Butterworth 滤波器振幅平方函数的极点分布如图，求其系统函数。 解： 考虑到系统的稳定性， Butterworth 滤波器的系统函数是由 s 平面左半部分的极点（S P3，S P4，S P5）组成的，它们分别为： 所以系统函数为： 式中 是为使 S=0 时 Ha(s)=1 而引入的。 如用 归一化 s，即 s=s/ c，得归一化的三阶 BF： 如果要还原的话，则有 切比雪夫（cheb
7、yshev）滤波器 特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止 处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次 N 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的 。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为： 式中 c 为有效通带截止频率 ， 是与通带波纹有关的参量， 大,波纹大 ，01 时, |x| , V N(x) 。 切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示， 通带内，的变化范围为 1 ； 时，|x|1,随
8、， 0 ； =0 时， 其中， N 为偶数时，cos 2()=1， ， N 为奇数时，cos 2(， 。 椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。 其振幅平方函数为： 式中，R N（，L）为雅可比椭圆函数，L 是一个表示波纹性质的参量。 由图可见，在归一化通带内（-11） ， 在（0，1）间振荡，而超过 L 后， 在 L2 和 间振荡。 L 越大， L 也变大。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。典型的椭园滤波器振幅平方函数如图 3.10 图中 和
9、A 的定义与切比雪夫滤波器相同。 当 c、 s、 和 A 确定后，阶次 N 的确定方法为 ： 式中 K(k)=为第一类完全椭圆积分。 上面讨论了三种最常用模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。 一般，椭圆滤波器的阶次可最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。33 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换1.低通变换2.高通变换3.带通变换4.带阻变换3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换对于模拟滤波器，已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器，切比雪夫滤波器等，每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一
10、化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计，设计过程如下：频率变换模拟原型 数字低通、高通、带通、带阻下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本方法，着重讨论双线性变换法。 双线性变换法由模拟原型设计数字滤波器的四个步骤:1）确定数字滤波器的性能要求，确定
11、各临界频率 k。 2）由变换关系将 k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值 k。 3）根据 k设计模拟滤波器的 Ha(s) 。4) 把 Ha(s)变换成数字滤波器传递函数 H(z) 。低通变换 例 1.设采样周期 T=250s(f s=4khz) ,设计一个三阶巴特沃兹 LP 滤波器,其 3dB截止频率 fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解:a.脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按 c =2f c 设计 Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率 c 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：以 s/ 代替其归一化频率，得：也可以查表得到巴特沃
12、兹多项式的系数，之后以 s/ 代替归一化频率，即得 Ha(s)。 将 c=2f c 代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc 数值放到数字滤波变换后代入。 为进行脉冲响应不变法变换，计算 Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有 将上式系数代入数字滤波器的传递函数： , Si ：极点 并将 c= c/T 代入，计算得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： 可见，H（Z）与采样周期 T 有关，T 越小，H （Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出 H（Z）后，再乘以因子
13、 T,使 H（Z）只与 c 有关，即只与 fc 和 fs 的相对值 fc/fs 有关，而与采样频率 fs 无直接关系。例如，fs=4KHZ,fc=1KHZ 与 fs=4KHZ,fc=10KHZ 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。 最后得： b. 双线性变换法 (一)首先确定数字域临界频率 (二)根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三) 以 S/ c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 c=2/T 代入上式。(四)将双线性变换关系代入，求 H(Z)。图 3.11 为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区
14、的衰减越来越快，最后在折 叠频率处 (Z=-1,=)形成一个三阶传输零点，这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此，双线性变换法使过渡带变窄，对频率的选择性改善，而脉冲响应不变法存在混淆，且没有传输零点。高通变换 变换方法的选用 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法： 先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。 模拟原型 模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。 即确定 k 转换为相应的 k 高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计 Ha(s) Ha(Z) 直接利用模
15、拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型 数字低通、高通、带通、带阻这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。变换方法的选用：1.脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可用。因此，使用直接频率变换（第二种方法） ，对脉冲响 应不变法要许多特殊的考虑，它一般应用 于第一种方法中。2.双线性变换法： 下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。 基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是 S 变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的 S
16、代之以 1/S，就可得到数字高通滤波器.即由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 j 轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。即， 如图 3.12。 例 1这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通，如图3.13。 应当明确：所谓高通 DF，并不是 高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 = 对于实数响应的数字滤波器， 由 2 部分只是 由0 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 =0，高通也仅指这一段的高端，即到 =为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用 不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。例 2.确定最小阶数 N。模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为A2 实际是与阻带最小衰减有关的值，1/A 2 是阻带内最大振幅平方，也就是最小阻带衰减，如以分贝值表示这一衰减量，则e 是以分贝计的阻带衰减。今最小阻带衰减为 e=19dB，故将 一起代入上式，即求得最小的 N。带通变换 如图 ,如果数字频域上带通的中心频率为 0 ，则带通变换的目的是将: 模拟低通 （频率映射关系具有周期性, 幅频响应具有原点对称性） 。即将 S 的原点映射到 而将 点映射到 ，满足这一要求的双线性变换为：当 z=ej 时
