1、河北大学数学模型实验 实验报告班级专业 15 计科 2 班 姓名 张宇轩 学号 20151101006实验地点 C1-229 指导老师 司建辉 成绩实验项目 1. 实验 8-1 捕鱼业的持续收获 产量模型 2. 实验 7-2 种群的相互竞争（ 1） 3. 实验 7-3 种群的相互竞争（ 2） 1、实验目的学会利用 MATLAB 进行实验，学会使用符号表达式，熟练掌握用函数 solve 求解代数方程组，复习在 MATLAB 中画图方法，合理使用函数 text、axis、grid 等。2、实验要求 1.实验 8-1 捕鱼业的持续收获 产量模型 运行下面的 m 文件，并把相应结果填空，即填入“ _”
2、。clear;clc;%无捕捞条件下单位时间的增长量： f(x)=rx(1-x/N)%捕捞条件下单位时间的捕捞量： h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程： x(t)=F(x)%满足 F(x)=0 的点 x 为方程的平衡点%求方程的平衡点syms r x N E; %定义符号变量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式x=solve(Fx,x) %求解 F(x)=0（求根）%得到两个平衡点，记为：% x0=_ , x1=_x0=x(2);x1=x(1);%符号变量 x 的结构类型成为%求 F(x)的微分 F(x)sy
3、ms x; %定义符号变量 x 的结构类型为dF=diff(Fx,x);dF=simple(dF) %简化符号表达式%得 F(x)=_%求 F(x0)并简化dFx0=subs(dF,x,x0); %将 x=x0 代入符号表达式 dFdFx0=simple(dFx0)%得 F(x0)=_%求 F(x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得 F(x1)=_%若 E0，故 x0 点稳定， x1 点不稳定（根据平衡点稳定性的准则）；%若 Er，则结果正好相反。%在渔场鱼量稳定在 x0 的前提下（ E，P 的第 1 列对应 x1，第 2 列对应 x2。%得 4 个平衡点：% P(1)=P1（ N1，
4、 0）% P(2)=P2（ 0， N2）% P(3)=P3（ N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)， N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)）% P(4)=P4（ 0， 0）%平衡点位于第一象限才有意义，故要求 P3： k1,k2 同时小于 1，或同时大于 1。%判断平衡点的稳定性（参考教材 p224）fx1=diff(f,x1);fx2=diff(f,x2);gx1=diff(g,x1);gx2=diff(g,x2);A=fx1,fx2;gx1,gx2syms x1 x2;p=subs(-(fx1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2);p=simple(p);%简化符号
5、表达式 pq=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2);q=simple(q);P p q%得到教材 p225 表 1 的前 3 列，经测算可得该表的第 4 列，即稳定条件。 3.实验 7-3 种群的相互竞争（ 2） 求微分方程组 的数值解，分别画出教材 p227 中的图 2(a)、 (b、 (c)。有关数据参见教材 p227 中“计算与验证”。提示（ 1）求微分方程组的数值解可参考教材 p140 的程序。（ 2）在 figure(1)中画图 2(a)，在 figure(2)中画图 2(b)，在 figure(3)中画图 2(c)。在程序中， figure(图形编号)用于
6、定位对应图形。（ 3）使用 text(x,y,标识文本)，坐标点(x,y)在“标识文本”的左边，调整(x,y)值，使“标识文本”放在图中的适当位置。（ 4）用 axis(xmin xmax ymin ymax)控制坐标的刻度范围。（ 5）用 grid on 打开网格， grid off 关闭网格。（ 6）用 hold on 把要画的图形保持在之前在同一 figure 上所画的图形中（同一坐标系）。（ 7）图 2(c)中的两“点线”直线，一条的两个端点为(0,1)和(1,0)，另一条的两个端点为(0,2)和(1.6,0)。 3、实验内容1实验 8-1 捕鱼业的持续收获 产量模型 syms r x
7、 N E;Fx=r*x*(1-x/N)-E*x;x=solve(Fx,x)x0=x(2);x1=x(1);syms x;dF=diff(Fx,x);dF=simple(dF)dFx0=subs(dF,x,x0);dFx0=simple(dFx0)dFx1=subs(dF,x,x1)syms r x Nfx=r*x*(1-x/N);df=diff(fx,x);x0=solve(df,x)hm=subs(fx,x,x0)2实验 7-2 种群的相互竞争（ 1） syms r1 r2 x1 x2 N1 N2 k1 k2; F=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2); G=r2*x2*(1-k
8、2*x1/N1-x2/N2); x1,x2= solve(F,G) P=x1(2,4,1,3),x2(2,4,1,2); fx1=diff(F,x1);fx2=diff(F,x2);gx1=diff(G,x1);gx2=diff(G,x2);A=fx1,fx2;gx1,gx2; syms x1 x2;p=subs(-(fx1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2); p=simple(p); q=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2); q=simple(q); P p q3.实验 7-3 种群的相互竞争（ 2） M 文件中：function y=fun(t,
9、x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;y=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2); ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(fun,ts,x0); t,x plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause, plot(x(:,1),x(:,2),grid t,x=ode45(fun,ts,x0);4、实验结果及其分析1实验 8-1 捕鱼业的持续收获 产量模型 x =0-N*(-r+E)/rdF =r-2*r*x/N-EdFx0 =-r+EdFx1 =r-Ex0 =1/2*NE=r/2 分析：将捕捞率控
10、制在固有增长率的一半（ E=r/2）时，能够获得最大的持续产量。 2实验 7-2 种群的相互竞争（ 1） x1 =0N10N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)x2 = 00N2N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)A = r1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)-r1*x1/N1, -r1*x1*k1/N2 -r2*x2*k2/N1, r2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)-r2*x2/N23实验 7-3 种群的相互竞争（ 2） ans =0 25.0000 2.00000.1000 27.0818 2.00410.2000 29.3344 2.01700.3000 31.76
11、89 2.03940.4000 34.3961 2.07260.5000 37.2258 2.11780.6000 40.2673 2.17670.7000 43.5012 2.25340.8000 46.9360 2.35030.9000 50.6072 2.46831.0000 54.5301 2.61061.1000 58.6999 2.78191.2000 63.0917 2.98911.3000 67.6604 3.24111.4000 72.3409 3.54841.5000 77.0479 3.92381.6000 81.6759 4.38191.7000 86.0996 4.9
12、3911.8000 90.1732 5.61401.9000 93.7311 6.42682.0000 96.5873 7.40002.1000 98.5360 8.55772.2000 99.3055 9.92342.3000 98.6143 11.50852.4000 96.2851 13.30672.5000 92.2472 15.28822.6000 86.5853 17.39472.7000 79.5349 19.54272.8000 71.5364 21.62252.9000 63.0848 23.53003.0000 54.6236 25.18193.1000 46.5441 2
13、6.51633.2000 39.1860 27.49213.3000 32.7932 28.09783.4000 27.3368 28.37663.5000 22.7375 28.37643.6000 18.9134 28.14263.7000 15.7771 27.71783.8000 13.2354 27.14263.9000 11.1873 26.45564.0000 9.5278 25.69114.1000 8.1758 24.87404.2000 7.0684 24.02454.3000 6.1592 23.15804.4000 5.4185 22.28534.5000 4.8129
14、 21.41624.6000 4.3124 20.55824.7000 3.8967 19.71644.8000 3.5500 18.89484.9000 3.2601 18.09615.0000 3.0181 17.32195.1000 2.8154 16.57355.2000 2.6460 15.85155.3000 2.5047 15.15625.4000 2.3872 14.48755.5000 2.2898 13.84545.6000 2.2099 13.22955.7000 2.1455 12.63935.8000 2.0953 12.07405.9000 2.0578 11.53
15、306.0000 2.0317 11.01546.1000 2.0162 10.52076.2000 2.0106 10.04796.3000 2.0143 9.59646.4000 2.0270 9.16536.5000 2.0483 8.75396.6000 2.0781 8.36146.7000 2.1164 7.98706.8000 2.1632 7.63006.9000 2.2188 7.28977.0000 2.2833 6.96547.1000 2.3573 6.65657.2000 2.4410 6.36227.3000 2.5351 6.08217.4000 2.6401 5
16、.81557.5000 2.7566 5.56187.6000 2.8855 5.32047.7000 3.0276 5.09107.8000 3.1837 4.87297.9000 3.3549 4.66568.0000 3.5424 4.46888.1000 3.7478 4.28198.2000 3.9723 4.10468.3000 4.2174 3.93658.4000 4.4847 3.77738.5000 4.7761 3.62658.6000 5.0937 3.48388.7000 5.4398 3.34908.8000 5.8171 3.22178.9000 6.2283 3
17、.10179.0000 6.6766 2.98889.1000 7.1653 2.88269.2000 7.6978 2.78319.3000 8.2781 2.69009.4000 8.9100 2.60329.5000 9.5980 2.52259.6000 10.3468 2.44799.7000 11.1620 2.37949.8000 12.0494 2.31669.9000 13.0153 2.259610.0000 14.0665 2.208410.1000 15.2102 2.162910.2000 16.4541 2.123310.3000 17.8063 2.089810.
18、4000 19.2755 2.062710.5000 20.8708 2.042210.6000 22.6016 2.028710.7000 24.4779 2.022810.8000 26.5102 2.024910.9000 28.7093 2.035511.0000 31.0844 2.055811.1000 33.6416 2.087511.2000 36.3982 2.130811.3000 39.3680 2.186911.4000 42.5598 2.257311.5000 45.9776 2.344711.6000 49.6205 2.452511.7000 53.4829 2
19、.584911.8000 57.5539 2.746811.9000 61.8180 2.944112.0000 66.2549 3.183412.1000 70.8428 3.469212.2000 75.5222 3.812912.3000 80.1900 4.234812.4000 84.7213 4.754512.5000 88.9686 5.391812.6000 92.7622 6.165812.7000 95.9102 7.095512.8000 98.1986 8.199512.9000 99.3910 9.496213.0000 99.2287 11.003613.1000
20、97.4360 12.738413.2000 93.8972 14.679113.3000 88.6885 16.763813.4000 82.0129 18.915113.5000 74.2204 21.037713.6000 65.7971 23.020113.7000 57.2540 24.761713.8000 49.0238 26.194813.9000 41.4342 27.279114.0000 34.7062 28.001614.1000 28.9351 28.380214.2000 24.0660 28.461014.3000 20.0105 28.291914.4000 1
21、6.6759 27.918114.5000 13.9650 27.382114.6000 11.7742 26.723914.7000 9.9982 25.978814.8000 8.5540 25.173614.9000 7.3762 24.330015.0000 6.4158 23.4645分析：x(t) 的“相位”领先。可以猜测 x(t)、y(t)是周期函数，与此相应地，相轨线 y(x)是封闭曲线，从数值解近似地定出周期 10.7，x 的最大、最小值分别为 99.3 和 2.0，y 的最大、最小值分别为 28.4 和 2.0，并且用数值积分容易算出 x(t)、y(t)在一个周期的 x 的平均值为 25，y 的平均值为 10.
