1、12.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.点 M(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则 m,n 的值分别为( D )(A)-3,10 (B)3,10 (C)-3,5 (D)3,5解析:由中点坐标公式得 =n, =-3,所以 m=3,n=5,故选 D.2.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)2解析:设 A(x0,0),B(0,y0),因为 AB 的中点是 P(2,-1),所以 =2, =-1,所以 x0=4,y0=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|= =
2、2 .3.在 y 轴上存在一点 P 到 A(1,2)和 B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( C )(A)4.5 (B)2 (C)5.3 (D)2.5解析:设 P(0,y),则由 12+(2-y)2=32+(7-y)2,得 y=5.3,故选 C.4.ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-4,-4),B(2,2),C(4,-2),则三角形 AB 边上的中线长为( A )(A) (B) (C) (D)解析:AB 的中点 D 的坐标为(-1,-1),所以|CD|= = .5.已知点 A(-1,3),B(3,1),点 C 在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点 C 的个数是( C )(A)1
3、(B)2 (C)3 (D)4解析:若点 C 在 x 轴上,设 C(x,0),由ACB=90,得|AB| 2=|AC|2+|BC|2,所以3-(-1) 2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得 x=0 或 x=2.若点 C 在 y 轴上,设 C(0,y),同理可求得 y=0 或y=4.综上,满足条件的点 C 有 3 个.故选 C.26.已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求点 P,使|PA| 2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.解:以正三角形的一边所在的直线为 x 轴,此边的中线所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则 A(- ,0),B(
4、,0),C(0, ).设 P(x,y),则|PA| 2+|PB|2+|PC|2=(x+ )2+y2+(x- )2+y2+x2+(y- a)2=3x2+3y2- ay+ a2=3x2+3(y- a)2+a2.所以当 P(0, a)时,|PA| 2+|PB|2+|PC|2有最小值 a2.7.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经 x 轴反射后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离为( C )(A)5 (B)2 (C)5 (D)10解析:点 B(2,10)关于 x 轴的对称点为 B(2,-10),由对称性可得光线从 A 到 B 的距离为|AB|= =5 .选 C.8.若 a,b,c
5、,dR,M=| - |,N= ,则( C )(A)MN(B)M=N(C)MN(D)不能确定,与 a,b,c,d 有关解析:因为 M=| - |表示点(a,b),(c,d)到原点距离差的绝对值,N=3表示两点(a,b),(c,d)之间的距离,根据三角形两边之差小于第三边(三点共线时相等),可得 MN,故选 C.9.已知 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形 ABCD 的形状为 . 解析:因为 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),所以|AB|= = ,|BC|= = ,|CD|= = ,|DA|= = ,|AC|= = ,|BD|= = .所
6、以|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,且|AC|=|BD|.所以四边形 ABCD 是正 方形.答案:正方形10.已知 AO 是ABC 中 BC 边的中线,证明:|AB| 2+|AC|2=2(|AO|2+ |OC|2).证明:以 BC 边所在直线为 x 轴,边 BC 的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.设 B(-a,0),C(a,0),A(m,n)(其中 a0).则|AB| 2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2),|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,所以|AB| 2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).11.已知 0x1,0y1,求
7、证: + + + 2 ,并求使等号成立的条件.解: 表示点(x,y)到原点 O(0,0)的距离;4= 表示点 C(0,1)到点(x,y)的距离;= 表示点 A(1,0)到点(x,y)的距离;表示点 B(1,1)到点(x,y)的距离.如图,显然四边形 OABC 是正方形,其中 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).由 0x1,0y1,设 P(x,y)是正方形内部的任意一点,则 d(P,O)= ,d(P,A)= ,d(P,B)= ,d(P,C)= ,d(O,B)= ,d(A,C)= .由平面几何知识可知:|PO|+|PB|OB|,|PA|+|PC|AC|.由以上两个不等式相加得|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|=2 .即 + + + 2 .当且仅当|PO|+|PB|=|OB|,|PA|+|PC|=|AC|时,等号成立,此时点 P 既在 OB 上,又在 AC 上,因此,点 P 是 OB 与 AC 的交点,即点 P 是正方形 OABC 的中心,则有 x=y= 时,所证的不等式取得等号.
