高考专题_直线和圆.doc

1、直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线 ，如果把 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线xlx重合 时所转的 最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 与 轴重合或平行时，规定倾斜角为 0；l （2）倾斜角的范围 。如（1）直线 的倾斜角的范围是_,0023cosy（2）过点 的直线的倾斜角的范围 值的范围是_)(3(mQP m么,2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 ，即 tan ( 90)；倾斜k角为 90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点 的直线的斜率为 ；1(,)Pxy2(,) 212

2、1xxyk（3）直线的方向向量 ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ak（4）应用：证明三点共线： 。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：ABC既不充分也不必要） ；（2）实数 满足 ( )，则 的最大值、最小值分别为_（答：,xy3250y3xy）2,133、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线。0(,)xyk00()ykxx（2）斜截式：已知直线在 轴上的截距为 和斜率 ，则直线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线。bb（3）两点式：过 、 两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。1(,)P2(,) 121

3、2（4）截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线和xyabbyax过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。0ABC如（1）经过点（2，1）且方向向量为 =(1, )的直线的点斜式方程是 _（答：v3） ；（2）直线 ，不管 怎样变化恒过点_（答：3()yx(2(1(4)0mxym） ；(,)（3）若曲线 与 有两个公共点，则 的取值范围是_（答： ）|ya0)aa1a提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.

4、直线两截距相等 直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点。如过点 ，且纵1(,4)A横截距的绝对值相等的直线共有_条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距 ，常设其方程为 ；（2）知直线横截距 ，常设bykxb0x其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线) ；（3 ）知直线过点 ，当斜率 存在时，常设其方程为0xmy 0(,)，当斜率 不存在时，则其方程为 ；（4）与直线 平行的直线可表示为0()ykk0x:0lABC；（5）与直线 垂直的直线可表示为 .1ABC:lAxByC 1提

5、醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点 到直线 的距离 ；0(,)Pxy0xy02AxByd（2）两平行线 间的距离为 。1122:0,:0lAxByClAxByC12CdAB6、直线 与直线 的位置关系：（1）平行 （斜率）且 （在 轴上截距） ；121121y（2）相交 ；（3）重合 且 。0AB120B提醒：（1） 、 、 仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为12CA1122C什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直

6、线；（3）直线 与直线 垂直 。11:0lxy22:0lAxByC120AB如（1）设直线 和 ，当 _时 ；当 _时 ；1:60lxmy2()3m1lm1l2当 _时 与 相交；当 _时 与 重合（答：1； ； ；3） ；（2）已知直2 l2 且线 的方程为 ，则与 平行，且过点（1，3）的直线方程是_（答： ） ；（ 3）l34l 490xy两条直线 与 相交于第一象限，则实数 的取值范围是_（答： ） ；（4） 设0axy0xyaa分别是ABC 中A、 B 、C 所对边的边长，则直线 与 的位置,bc sin0AxycsinibBCA关系是_（答：垂直） ；（5）已知点 是直线 上一点，

7、 是直线 外一点，则方程1(,)Pxy:(,)lf2(,)Pl0 所表示的直线与 的关系是 _（答：平行） ；（6）直线 过点（，） ，且被两12(,)(,)(,)fff平行直线 和 所截得的线段长为 9，则直线 的方程是_（答：36xy3xyl）40和8、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点 与点 关于 轴对称，点 P 与点 N 关(,)MabNx于 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 对称，则点 Q 的坐标为_（答： ） ；（2）已知直线 与 的y 0xy (,)a1l2夹角平分线为 ，若 的方程为 ，那么 的方程是_（答： ） ；x1l ()abca2l 0bayc（3）点

8、（，）关于直线 的对称点为 (2,7)，则 的方程是_（答： ） ；（4）已知一束光l 3y=线通过点（，） ，经直线 :3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15） ，则反射光线所在直线的方l程是_（答： ） ；（5）已知 ABC 顶点 A(3，) ，边上的中线所在直线的方程为80y6x+10y59=0，B 的平分线所在的方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程（答： ） ；（ 6）2950x直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（4,1） 、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（5,6） ） ；（7）已知 轴， ，C（2，1） ， 周长的最小值为_（答： ） 。提醒：

9、在解几Ax:BlABC1中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成 或 的形式，前ykxbykx者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线 ，有l等号时用实线表示包含直线 ；设点 ， ，若 与 同号，则 P，Q 在直l1(,)Pxy2(,)Q1AxBC2B线 的同侧，异号则在直线 的异侧。如已知点 A（2，4） ，B（4，2） ，且直线 与线段 AB 恒相交，则l :l的取值范围是_（答： ）k3 ， ， （2）线性规划问题中的有关概念：满足关于 的一次

10、不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。,xy关于变量 的解析式叫目标函数，关于变量 一次式的目标函数叫线性目标函数；,xy求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（ ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；,xy使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数 z=2xy 在线性约束条件 下，取最小值|1xy的最优解是_（答：（1，1） ） ；（2）点（， ）在直线 2x3y+6=0 的

11、上方，则 的取值范围是t t_（答： ） ；（3）不等式 表示的平面区域的面积是_（答：8） ；（4）如果2t2|1|yx实数 满足 ，则 的最大值_（答：21）yx,045y|42|z（4）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范。10、圆的方程：圆的标准方程： 。22xaybr圆的一般方程： ，特别提醒：只有当 时，方程20(DE4F0) EF2DE4F0 才表示圆心为 ，半径为 的圆（二元二次方程20xyDEF,)214表示圆的充要条件是什么？ （ 且 且 ） ） ；2ABCxy ,AC0B2A圆的参数方程： （ 为参数） ，其中圆心为 ，半径为 。

12、圆的参数方程的主要应用是三角cosinarb(,)abr换元： ；22,xyr2xyt。cos,i(0)rt 为直径端点的圆方程12,Bx12120xy（5）一般方程若点(x 0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 2ryx上一点 ),(0yxP的切线方程为 20ry.（6）圆的切线方程：圆 2ryx的斜率为 k的切线方程是 rkxy21过圆 02FEyDx如（1）圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为_（答： ） ；2(1)x 22(1)（2）圆心在直线 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答： 或3yx 93yx） ；)

13、(2（3）如果直线 将圆：x 2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是_（答：0，2 ） ；l l（5）方程 x2+y x+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_（答： ） ；21k11、点与圆的位置关系：已知点 及圆 ，0M,xy22C0： x-aybr（1）点 M 在圆 C 外 ；20rr（2）点 M 在圆 C 内 ；20（3）点 M 在圆 C 上 。如2xa0yb点 P(5a+1,12a)在圆(x) y 2=1 的内部,则 a 的取值范围是_（答： ）13|a12、直线与圆的位置关系：直线 和圆 有相交、相离、相切。:0lAxBy2： xabr

14、可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交； 相离； 相切；000（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交； 相drdr离； 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如dr（1）圆 与直线 ， 的位置关系为_（答：相离） ；12yxsin10(,2xyRk)z（2）若直线 与圆 切于点 ，则 的值_（答：2） ；30axby2410xy(1,2)Pab（3）直线 被曲线 所截得的弦长等于 （答： ） ；26545（4）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)

15、2+(y-3)2=1 上的最短路程是 （答：4） ；（5）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线 ，(,)M22:OrMm2:laxbyr则 A ，且 与圆相交 B ，且 与圆相交 C ，且 与圆相离 D ，且 与圆相离（答：/ml lml/mllC） ；（6）已知圆 C： ，直线 L： 。求证：对 ，直线 L 与圆 C 总有两个不同22(1)5xy10xyR的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若 ，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短7时的直线方程. （答： 或 最长： ，最短： ）60 1x13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系

16、判断）：已知两圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，则12O， 12,r（1）当 时，两圆外离；（2）当 时，两圆外切；（3）当 时，12|r12|Or12120)作直线与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.例 4.一个圆和已知圆 外切,并与直线 : 相切于点 M（ ）,求该圆的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j20xyl30xy3【问题 3】综合与提高例 9 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与

17、坐标原点重合（如图所示） 将矩形折叠，使点落在线段上（）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值例 10. 23.如图，过圆 O：x 2+y2=4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线 ，M 为 上任一点，过 M 作圆 O 的另一条切线，切点为 Q，求MAQ 垂心 P 的轨迹方程。例 11 若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线 的倾斜角的2410xyl0axby2l取值范围是 ( ) A. B. C. D.,12451,630,2例 12 圆 的切线方程中有一个是1)3()1(22yx（A）xy0 （B）xy0 （C）x0 （D ）y0O (

18、A) B C D X Y PMN例 13 过坐标原点且与 x2+y2 + 4x+2y+ =0 相切的直线的方程为5（A） y=-3x 或 y= x (B) y=-3x 或 y=- x （C） y=3x 或 y=- x (B) y=3x 或 y= x 31313131例 14.如果实数满足 ,求 的最大值、2x-y 的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2()3xy【课后训练】1直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是1xy20()xyaaA B C D (0,)(1,(21,)(0,21)2设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为(

19、 ) A. B.2 B.2 D.42 23 “a=b”是“ 直线 ”的 （A ）22()()yxayb与 圆 相 切A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件4 圆(x 2)2y25 关于原点 (0,0)对称的圆的方程为(A) (x2)2y25； (B) x2(y2)25； (C) (x2)2(y2)25； (D) x2(y2)25。5. (全国卷 I)已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是（B）l），（ 0l（A） （B） （C） （D），（ ），（ ），（ 4），（ 816已知直线 与圆 相切，则 的值为 。512xya220

20、xya7若直线 y kx2 与圆( x2) 2( y3) 21 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 .8.已知两条直线 若 ，则 _.12:30,:460.lalx12/la9. 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线PM、 PN（M、N 分别为切点） ，使得 试建立适当的坐标系，并求动MN点 P 的轨迹方程.10、当 0a2 时，直线 L1：ax-2y-2a+4=0 与 L2：2x+a 2y-2a2-4=0 和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a 应取何值？11已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12 若直线 按向量 平移后与圆 相切，则 c 的值为（ A ）02cyx)1,(a52yxA8 或2 B 6 或4 C4 或6 D2 或813 从原点向圆 x2y 212y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 (B )（A） （B）2 （C）4 （D ）614 设直线 和圆 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平分线方程是 0130322xy.