1、,第三章 简单的优化模型,3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数(不是函数),建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数,求解静态优化模型一般用微分法,静 态 优 化 模 型,一般的思路,当你打算用数学建模方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制(如果有限制的话)，然后用数学工具(变量、常数、函数等)表示它。当然，在这个过程中要对实际问题作若干合理的简化假设。最后，在用微分
2、法求出最优决策后，要对结果作一些定性、定量的分析和必要的检验，让我们通过下面的实例说明建立优化模型的过程。,3.1 存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。,要求,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。,问题分析与思考,每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。,
3、日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。,10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。,50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。,平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次平均每天费用最小吗?,每天费用5000元,这是一个优化问题，关键在建立目标函数。,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数每天总费用的平均值,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,为什么呢？,模 型 假 设,1. 产品每天的需求量
4、为常数 r；,2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；,3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；,建 模 目 的,设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。,4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,若不连续怎么办呢？,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.,一周期 总费用,每天总费用平均 值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT/2,写成关于T的函数,模型求解,求 T 使,模型分析,模型
5、应用,c1=5000, c2=1，r=100,回答问题,怎么好像与原来逐步计算的结论不同呢？,经济批量订货公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，,用于订货、供应、存贮情形,不允许缺货的存贮模型,问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？,T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失,原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货),现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足,一周期贮存费,一周期缺货费,周期T, t=T
6、1贮存量降到零,一周期总费用,每天总费用 平均值 （目标函数）,一周期总费用,求 T ,Q 使,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T , Q记作Q,请同学们推导！,比较一下不允许缺货情形，现在可是二元函数啦！为什么呢？,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R （或订货量）,Q不允许缺货时的产量(或订货量),生产量的讨论,请同学们当堂完成！,零库存呢？,随机存储,一些参数不是固定不变的，是随机变量,报童问题,报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但每
7、100份要赔4元。报童每天售出的报纸数x是一个随机变量，概率分布如下表。问，报童每天订购多少份报纸最佳？,分析，假设每天购进量为Q百份，因为需求量x是随机的，x可以小于Q，等于Q，或大于Q，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收人。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。,设每天订购Q百份报纸，则收益函数为,利润的期望为,数学期望 等于 所有 随机变量取值*概率 之和,分别求出Q0，Q1，Q2，Q3，Q4，Q=5时的利润期望。,比较上述结果可知，当报童每天订300份报纸时，可
8、获得最大利润。,练习：上面是从最大利润角度出发，请同学们通过求损失的最小期望值来决定计划。,如果不考虑需求的随机性，设每天卖出f(r)份，每天购进n份。又设每卖出1份赚q元，剩一份赔p元。则每日赢利情况：,请从每天亏损最小角度出发讨论，列出目标函数。,考虑的是一段时期内每天的平均值,9.2 报童的诀窍,问题,报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设
9、每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n) 最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱b-c 退回一份赔的钱,P1是需求量r不超过n的概率和；P2是需求量超过n的概率和。,实际操作是：根据预测的概率分布，计算P1与P2之比，使之等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比！,作业：原料存贮模型（第二问需要讲完9.3）,设有一个公司利用塑料制成产品出售，已知每箱塑料购价为800元，订购费C360元，存贮费每箱C140元，缺货费每箱C
10、21015元。原有存贮量I10箱。已知对原料的需求概率分布为,求该公司订购原料的最佳订购量和存贮量I的最大下限。,一、原料的最佳订购量,设Q为原料订购数量，显然，订货费用为60+800Q。,当需求D= 10+Q时，不需要支付存贮费。因此所需存贮费的期望值为：,当需求D10+Q时，货物不足的部分需支付缺货费，故缺货费的期望值为,令s10+Q，则本阶段所需的全部费用为,若C（s）是连续函数，可求导求驻点，求最小值。,二、存贮量I的最大下限,原料的最佳订购量,综上，s=30，即订货Q=20箱。,3.2 生猪的出售时机,饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公
11、斤。,问题,市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。,如果估计和预测有误差，对结果有何影响。,分析,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利润20元,建模及求解,生猪体重 w=80+rt,出售价格 p=8-gt,销售收入 R=pw,资金投入 C=4t,利润 Q=R-C=pw -C,估计r=2，,若当前出售，利润为808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,你都是大学生啦，可别用初中的方法解啦！,敏感性分析,研究 r, g变化时对模型结果
12、的影响,设g=0.1不变,t 对r 的（相对）敏感度,生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。,敏感性分析,研究 r, g变化时对模型结果的影响,设r=2不变,t 对g的（相对）敏感度,生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。,强健性分析（Robustness）,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,研究 r, g不是常数（时间的函数）时对模型结果的影响,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),标准的模型应该是这样的！但又不具体啦。,对于我们的具体问题：,本例中的p=-0.1和w=2都是根据估计和预测确定的，只要他们变化不大，上述结论就是可用的
13、。,比如，由S(t,r)=3,若重量的增量 , 则,建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。,若设价格变化（导数） p=-0.1 是最坏的情况，t就应该更大。,本例中的p=-0.1和w=2都是根据估计和预测确定的，只要他们变化不大，上述结论就是可用的。,本问题要掌握的以下两点，请同学们归纳总结，并写出。 敏感性分析 强健性分析,对于我们的具体问题：,为保证强健性,参数的基本适用范围讨论,3.4 最优价格,问题,根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大,假设,1）产量等于销量，记作 x,2）收入I与销量 x 成正比，系数 p 即价格,3）支出C与产量 x 成正比，系
14、数 q 即成本,4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数,建模与求解,收入,支出,利润,进一步设,求p使U(p)最大,使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足,最大利润在边际收入等于边际支出时达到,建模与求解,价格变动一个单位时收入或支出的改变量,此式颇有些类似养猪问题的“利润的增值等于每天的费用”哦！,结果解释,q / 2 成本的一半,b=-dx/dp 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）,a 绝对需求( p很小时的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到参数a, b?,可由价格p与销量x的统计数据用最小二乘法拟合。,在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x
15、的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。,提示：,不妨设q(x)=q0-kx，k是产量增加一个单位时成本的降低。最优价格为,请同学们模仿推导：,利润为各个时刻利润的累加，而成本为t的函数,3.6 消费者均衡,问题,消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。,设甲乙数量为q1,q2, 消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=c,U(q1,q2) 效用函数,已知甲乙价格 p1,p2, 有钱s，试分配s,购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,模型及 求解,已知价格 p1,p2,钱
16、 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大,几何解释,直线MN:,最优解Q: MN与 l2切点,斜率,拉格朗日乘数法,要找函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的可能极值点，可以先构造函数 F(x,y, )=f(x,y)+(x,y) 其中为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与条件方程联立起来：,由上述方程组解出x,y及，则其中x,y就是可能极值点的坐标。,结果解释,边际效用,消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。,效用函数U(q1,q2) 应满足的条件,A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1
17、)单调减、下凸,请同学们解释B中大于小于零量的实际意义？,U(q1,q2) =c,单减,0,0,0,下凸,效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式,消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。,U(q1,q2)中参数 , 分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。,大，则购买甲商品钱就多。,购买两种商品费用之比与二者价格无关。,U(q1,q2)中参数 , 分别表示对甲乙的偏爱程度。,思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况,效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式,练习与作业,（1）. 若消费者的效用函数如上式，求最优比例p1q1/p2q2，并分析参数a，b的意义？,（
18、2）. 若商品的价格p1增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化？,（3）. 若消费者购买商品的钱s增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化？,验证，前面所给的3个效用函数满足条件B和A？,练习,A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸,推广模型到消费者购买m(2)种商品的情况？,思考,家政服务中的工作时间与工资报酬,无差别曲线及消费者均衡讨论,3.设雇员所得工资为q1，付出的工作时间的倒数为q2=1/t，这时雇员的满意度是q1和q2的函数，记作U(q1,q2)，这时U(q1,q2)=C(常数)的图形可以理解为前述的无差别曲线族。再假设雇员为得到q1和
19、q2是有代价的（比如，得工资需要一定的技能、工作强度；付出的工作时间需要本人的体力、时间安排等），分别量化为p1和p2，而雇员所具有的总代价是已知的定值S，即p1*q1+p2*q2=S，这时，雇员的满意度问题可以这样描述：在条件p1*q1+p2*q2=S之下，求比例p1*q1/p2*q2，使满意度函数U(q1,q2)达到最大。由拉格朗日乘数法可得，最优解应该满足,设满意度函数为,、为参数。请根据上式求最优比例p1*q1/p2*q2=？并给予解释？,随着人们生活水平的提高、生活节奏的加快、工作压力的增大以及人口日趋老龄化，社会对家政服务的需求越来越大。当前人们雇请家政服务人员的渠道不一，有的通过
20、妇联介绍、有的通过家政中介介绍、有的通过熟人介绍。与此同时，相同的服务内容得到的报酬也不一样，甚至高低相差较大。因此，亟待政府规范家政服务行业，制定统一的工资标准，减少家政服务人员与雇主的矛盾，促进社会和谐。 由于家政服务内容所涉及的因素多，每个家庭需要提供的服务不尽相同，因此统一制定工资标准就比较复杂。 为了研究问题方便，我们假定家政服务的内容主要包括打扫卫生、做饭、洗衣服、带小孩和护理病人等。 打扫卫生分为每周打扫1次7次；做饭分为每天做1餐或2餐，每周做5天7天；洗衣服分为每周洗1次7次；带小孩和护理病人每周可能服务5天7天。 需要解决下列问题： 1定性分析影响工资报酬的因素以及工资报酬与这些因素之间的关系； 2建立数学模型，定量刻划工资报酬与这些因素之间的内在关系； 3利用问题2的结果，给出各种家政服务及其合理组合的工资标准； 4就目前吉林省普通工人的平均工资水平，论证问题3中各种工资标准的合理性。,E题：家政服务人员合理的工资报酬,
