1、高考中常用的数学方法-配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.常见的配方形式如下：a b (ab) 2ab(a b) 2ab；222a abb (ab) ab (ab) 3ab(a ) （ b） ；232a b c abbcca (ab) (bc) (ca) 22122a b c (abc)
2、2(abbcca)(abc) 2(abbcca)21sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。2xx待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的
3、实质是转化.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设 2 t（t0） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程x x的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，易发现 x0,1，x1设 xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数的值域。又如变量 x、y 适合22条件 x y r （r0）时，则可作三角代换 xrcos 、yrsin
4、化为三角问题。均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S2换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。二、例题解析例 1已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A) (B) (C)5 (D)63214分析及解：设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为 ,因此需将对称式22zy写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配22zyx方法.故 =62-
5、11=25 )(2)(xzy ,应选 C.522zyx例 2设 F1和 F2为双曲线 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足142yxF 1PF2=90,则 F 1PF2的面积是 ( ). (A)1 (B) (C)2 (D)55分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？|2211PFSFP由F 1PF2=90,得 (2),0|又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 ,16| 212121 PFPFP故 4)6|(|2 F , 选(A).|2121SP注：配方法实现
6、了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 ,已知点 P(0,5)到25该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为 , ,a=2b,因此所求双曲12baye线方程可写成： (1),故只需求出 a 可求解.224axy设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),点 Q(x,y)在双曲22)5(yx线上,(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ |2表示为22)5(4ya变量 y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有 (ya 或 y-a).5)4
7、(| 222yPQ二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 ya 或 y-a,因此,需对 a4 与 a4 分类讨论.(1)当 a4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值,令 ,得 a2=4452所求双曲线方程为 .12xy(2)当 a4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,令 ,得 a2=49,45)4(22所求双曲线方程为 .192xy注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例 4设 f(x
8、)是一次函数 ,且其在定义域内是增函数,又 ,试求124)(1xff(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数 y=f(x)=ax+b (a0),可知 ,)()1bxaf .124)1) 21 xf比较系数可知： 24(0(1)1)2ab解此方程组,得 ,b=2,所求 f(x)= .2a例 5如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 (x0,y0)上移动,92yx且 AB,BC 两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的坐标.分析及解：设 A(x,y),如图所示 ,则 (4-x)(4-
9、y) (1)ABCDS此时 S 表示为变量 x,y 的函数,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢？有的同学想到由已知得 x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出 x(或 y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy (2)这时我们可联想到 x2+y2与 x+y、xy 间的关系,即(x+y) 2=9+2xy.因此,只需设 t=x+y,则 xy= ,代入(2)式得 S=16-4t+ 9t 27)4(19tt(3) S 表示为变量 t 的二次函数 ,00 且方程 化为 t2-2t+a=0 (*),A 中有且
10、只有一个1元素等价于方程(*) 有且只有一个正根,再令 f(t)=t2-2t+a,则 =0 或 即 a=1 或 a0,从而 B=(- ,01.0)(f (2)当 a=1 时, 0 恒成立,故 4.g14)(综上讨论,x 的取值范围是( ,4).13练习题1. 方程 x y 4kx2y5k0 表示圆的充要条件是 _。2A. 1 C. kR D. k 或 k11414 42. 已知 sin cos 1，则 sincos 的值为 _。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 03. 设 a0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。24. 实数 x、y 满足 1，
11、若 xyk0 恒成立，求 k 的范围。()192()y625.已知函数 y 的最大值为 7，最小值为1，求此函数式。mxn2431习题解答：1解：配方成圆的标准方程得：(x2k) (y1) 4k -5k+1，22解 4k -5k+10 得 k1 ，故选 B。 2142解：已知等式经配方得：(sin cos ) 2sin cos 1，222sincos=0， (sincos) = sin cos +2sincos=1，sincos= 1 或1, 故选 C。3. 解：设 sinxcosxt，则 t- , ，由(sinxcosx) 12sinxcosx2得：sinxcosx f(x)g(t) (t2
12、a) （a0，t- ,t211222）t- 时，g(t)取最小值：2a 2 a21当 2a 时，t ，g(t)取最大值：2a 2 a ；当 00 得：y134cosin 3cos4sink0，即 k3cos4sin5sin(+) 所以 k-5 时不等式恒成立。【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法” 。5.分析：求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、n 的值；已知最
13、大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法” 。解： 函数式变形为： (ym)x 4 x(yn)0， xR, 由已知得 ym023 (4 ) 4(ym)(yn)0 即： y (mn)y(mn12)0 32 2不等式的解集为(-1,7)，则1、7 是方程 y (mn)y(mn12)0 的两根，代入两根得： 解得： 或 1209()mnmn51 y 或者 y54312xx24351此题也可由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即 y 6y70，然后与不等式比较2系数而得： ，解出 m、n 而求得函数式 y。mn627【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出 m、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将 y 视为参数，函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了关于参数 y 的不等式，解出 y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
