1、第二节 线性代数运算,一. 矩阵的特征值与特征向量,定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n阶非零向量 ，使得,则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于特征值 的特征向量.,注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特征值是由特征向量唯一确定的.,在后续的课程中，我们将介绍特征值与特征向量在经济分析中的作用.,例1.计算矩阵 的特征值,解：设 为A的特征值，是对应于 的特征向量,此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式的值为零，由,在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量的方法如下： V,D = EIG(X),produces a diago
2、nal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.,D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V的每一列是对应于特征值的特征向量.,例2 求矩阵 的特征值与特征向量,解：A=4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1;V,D=eig(A),V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.44721 -0.5774 0,D =1 0 00 -2 00 0 1,即 对应的两个特征向量为：,而 对应的一个特征向量
3、为：,对应的全部特征向量为：,而 对应的全部特征向量为：,例3.求矩阵B，BB 的特征值、特征向量,解：B=3,0,0;0,2,0;1,1,1, D1,V1=eig(B),D,V=eig(B*B),D= -0.2953 -0.3048 -0.9054-0.4954 0.8592 -0.12770.8169 0.4109 -0.4048,V= 0.7024 0 00 4.9564 00 0 10.3412,例4. 将矩阵A的行向量与列向量标准化,解：A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)，C=normc(A),B =0.2673 0.5345 0.80180.4558 0.
4、5698 0.68380.6585 0.7526 0,C =0.1231 0.2074 0.44720.4924 0.5185 0.89440.8616 0.8296 0,二.向量的标准化与矩阵的范数,1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：,normr(A)，normc(A),2. 矩阵的范数有以下几种：,(1) n = norm(A) 矩阵A的普范数(2范数),= AA的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数）等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n
5、 = norm(A, fro ) 矩阵A的Frobenius范数.,记为：,3. 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径 记为：,上述范数之间的关系：,例5.求矩阵 的谱半径,由例2知矩阵A的特征值分别为1，-2。,例6. 计算矩阵A的各种范数,n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, fro),解：A=1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9;,n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564,三. 求线性方程组AX=b的解,1.若矩阵A可逆，则 X=Ab,解：A=2,
6、3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(A)=-29, 矩阵A可逆，于是 X=Ab,ans = 0.275912.3793-5.1379,检验：A*X,ans = 12.000034.000043.0000,2. 求齐次线性方程组AX=0的非零解,Matlab中Z =null(A,r)就是求AX=0的基础解系，其中 Z的列向量即为所求基础解系,例8. 求方程组的通解：,format rat %指定有理式格式输出Z=null(A,r) %求解空间的有理基,Z =2 5/3-2 -4/3 1 0 0 1,解：A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;,
7、故所求通解为：,化成行简化阶梯形求AX=b的解Matlab中的命令为：,C=A,b %增广矩阵C. D=rref(C) %将C化成行最简化阶梯形则D 的最后一列元素就是所求的解.,例9 . 求线性方程组AX=b的解 其中 A=2,3,5;3,6,8;6,5,4，b=12;34;43.,解：C=A,b ； D=rref(C) ；,D =1 0 0 0.27590 1 0 12.37930 0 1 -5.1379,四. 特殊矩阵及其应用,E = eye(n):表示n维单位矩阵, E = eye(m,n): 表示主对角元素为1,其余元素为零的 矩阵.,例如：eye(3)=,2. A = ones(n
8、,m)：表示元素全为1的nm矩阵 3. A = zeros(n,m)：产生nm维零矩阵,4. A = rand(n,m):产生nm维随机矩阵（元素在01之间）,例10. 下表是全国5个主要湖泊的实测数据,试用矩阵A表示上表所示的矩阵， 2.计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值.,解：A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2; 20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;,mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760,各指标的平均值为：,生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是m
9、ean(A):,B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩阵C为：,C=abs(A-B)= 69.0000 2.5420 0.8500 1.384044.0000 2.9420 0.8000 0.624041.0000 6.3580 3.3000 1.156031.0000 1.4980 0.9500 0.294041.0000 2.3720 0.7000 1.1460,为什么？怎样生成?,生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是mean(A)还有如下方法 ：,B=a(ones(5,1),:)，其中 a=mean(A),练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差.,提
10、示：max(A):表示矩阵A中各列向量的最大值；min(A):表示矩阵A中各列向量的最大值；range(A)= max(A)- min(A):表示各列极差.,本次课学习的MATLAB命令一览表,作业：,1.求矩阵A的特征值、特征向量、各种范数、谱半径,2.A中各行向量夹角余弦、及各种距离，判别那两个最接近,3.将A的各元素减去各行的均值再比上各列的方差,4.,A中的9个元素为取自 的一个样本.,若将A中各元素都减去EX,再比上 得到的矩阵记为B,写出3B/norm(A)的具体表达式并计算 3B/norm(A) 中各元素服从的分布.,计算矩阵C的各行向量的相关系数矩阵R，再将R的列向量单位化，求CX=0的基础解系,5.,
