1、第二章 轴向拉压和压缩,材料力学,本章重点、难点重点轴向拉（压）杆的内力、应力与强度计算。轴向拉（压）杆的变形。材料的力学性质。难点轴向拉（压）杆的强度计算。轴向拉（压）杆的变形。,工程实例,活塞杆,连杆,工程实例 南京长江大桥,工程实例二,天津奥林匹克体育场顶棚,黑龙江电视塔,二滩500千伏输电塔,房架,吊车上的拉杆,工程实例三,拉杆变形,2-1 轴向拉伸和压缩的概念,1、受力特点：外力或其合力的作用线沿杆轴,2、变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短,3、轴向荷载（外力）：作用线沿杆件轴线的荷载,拉杆,压杆,2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,1：内力的概念：指由于外力的作用在构件内
2、部产生的相互 作用称为内力 (即“附加内力”)。,一：内力,特征： （1）随外力的变化而变化。（2）内力成对出现，且相互平衡。,二、 截面法轴力及轴力图,SFX=0：+FN-F=0FN=F,SFX=0：-FN+F=0FN=F,截面法,切取,代替,平衡,单位： N(牛顿)或kN(千牛),轴力,规定： 轴力拉为正，轴力压为负。, 同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。,轴力正负号规定：,轴力以拉为正，以压为负。,用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆轴线 的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截 面位置关系的图线，称为 轴力图 。将正的轴力画在上侧， 负
3、的画在下侧。,例题21 ：图示为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分别简化为F12.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图所示。试求活塞杆横截面11和22上的轴力，并作活塞杆的轴力图。,习题 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max,| FN |max=100kN,FN2= -100kN,FN1=50kN,习题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。,解：求支座反力,求AB段内的轴力,N1-R=0,N1=R= + 10KN (+),轴力图(单位：kN),N1=10KN （拉力）N2=50KN （拉力） N3= - 5KN （压力）N4=20KN （拉力）,N
4、max=50KN 发生在BC段内任一横截面上,由整个杆的平衡方程得: X=0，-R-P1-P2+P3=0 得 R=-50kN,由-截面的平衡方程得: X=0，-R+N=0 得N=-50kN,同理由截面-和截面-得 N=-10kN，N=20kN,截面法作图举例,习题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。,解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为：,q,q L,x,O,习题 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,L,q(x),q(x),N,x,O,取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵线和横向线,在两端施加一对轴向
5、拉力 P,所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与纵向线垂直。,结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同,平面假设 ：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。,结论：由平面假设知，在横截面上作用着均匀分布的正应力,三、 横截面上的应力,式中，FN 为轴力，A 为杆的横截面面积。正应力 的符号与轴力FN的符号相同。,当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力，,当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力，,应力是一向量，其量纲是力/长度，单位为牛顿/米，称为帕斯卡，简称帕(Pa).工程上常用兆帕(MPa),或吉帕(Gpa)。,1MPa106Pa 1GPa109Pa,圣维南
6、原理：力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端12个杆的横向尺寸。,等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面上。该截面称为 危险截面 。危险截面上的正应力称为 最大工作应力 。,当截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力合力与轴线重合，公式仍可应用。,例题22 图示悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d20mm的钢杆，载荷W15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。,解：根据横梁AC的平衡方程：,求出AB梁横截面上的应力为：,习题 一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。已知 P = 50KN，试求荷载
7、引起的最大工作应力。,解：先作轴力图,max 在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力。,求各段的正应力,习题 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。,研究其它方位的截面上的应力，既斜截面上的应力，从中找出哪一截面上的应力达到最大，以作为强度计算的依据。,图示杆件受轴向荷载F的作用。,一、公式推导,设杆件沿n-n斜截面截开，截面轴力FN=P（图b、c）。则斜截面应力p为：,式中A为斜截面面积，设横截面面积为A，则,2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,则：,为横截面的正应力。,对应于斜截面上的正应力和剪应力由p分解为：,将p =cos代入，则,二、结论： a=0的截
8、面，正应力取最大值max= a=/4的截面，剪应力取最大值max=/2,应力状态：通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点处的应力状态。,单轴应力状态：一点处的应力状态由其横截面上正应力s0即可完全确定的应力状态称为单轴应力状态。,习题 图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为=100MPa ；许用切应力为=50MPa ，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定: 在060度之间)。,联立(1)、(2)得：,解：,B,(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由切应力控制杆的强度，B点右侧由正
9、应力控制杆的强度，当a=60时，由(2)式得,解(1)、(2)曲线交点处：,讨论：若,B1,谢谢,2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能,I 、 材料的拉伸和压缩试验,拉伸试件标准,先在试样中间等直部分上划两条横线。这一段杆称为工作段。,l = 10d 或 l =5d （ 圆形截面杆）,设备主要有两类，一类是使试样发生变形和测试试样的抗力，称为万能试验机。,另一类设备是用来测试变形的变形仪。,材料的力学性能材料受力以后变形和破坏的规律。,即：材料从加载直至破坏整个过程中表现出来的反映材料变形性能、强度性能等特征方面的指标。比例极限 、杨氏模量E、泊松比、极限应力 等。,矩形截面的标准见书中,实验
10、设备,低炭钢含炭量在0.25%以下的碳素钢。,试验条件：常温(20)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。,II 低碳钢拉伸时的力学性质,应力-应变（-）图,p-比例极限 e-弹性极限 s-屈服极限 b-强度极限,试样的变形完全是弹性的。全部卸载后，式样将恢复其原长。此阶段内材料满足胡克定律,阶段I 弹性阶段,弹性阶段(OAB段),比例极限,弹性极限,杨氏模量 E,阶段II 屈服阶段,试样的荷载基本不变而试样却不断伸长。,屈服：试样的荷载基本不变而试样却不断伸长，这种现象为屈服。屈服阶段出现的变形，是不可恢复的塑性变形。,滑移线：若试样经过抛光，则试样表面将出现大约与轴线成45o方向的条纹，是由
11、材料沿试样的最大切应力面发生滑移而出现的，称为滑移线。,屈服极限,材料暂时失去抵抗变 形的能力。,阶段III 强化阶段,强化阶段：由于材料在塑性变形过程中不断发生强化，因而试样中抗力不断增长。这一阶段称为强化阶段。,强度极限,材料又恢复并增强了 抵抗变形的能力。,在强化阶段中试样的变形主要是塑性变形，所以此时变形很大，可以看出横截面尺寸在缩小。,阶段IV 颈缩阶段（局部变形阶段）,颈缩：试样伸长到一定程度后，荷载读数反而逐渐降低。此时可以看到试样某一段内的横截面面积显著地收缩，这种现象称为颈缩。,卸载定律：在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。,冷作硬化：在常
12、温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。,是试样的弹性变形,是试样的塑性变形,冷作时效：在常温下把材料预拉到强化阶段，然后卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高，这种现象称为冷作时效。,资料显示，冷作时效不仅与卸载后至加载的时间间隔有关，而且与试样所处的温度有关。,A点是应力与应变成正比的最高限。,B点是弹性阶段的最高点。,D点为屈服低限,G点是强化阶段的最高点,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 。,断面收缩率：,延伸率（伸长率）：,
13、 和 均较高的材料，称作塑性材料。,工程上：d5% 塑性材料d5 脆性材料,对于Q235钢，衡量其强度和塑性指标的平均约值为： ss240MPa sb390MPa d2030 60,III 其他金属材料在拉伸时的力学性能,其他一些高强度低合金钢材料，se曲线与低碳钢相似，只是，屈服极限和强度极限都显著地提高了，而屈服阶段则稍短且伸长率略低。 对于其他金属材料， se曲线并不像低碳钢那样具有四个阶段。 对于没有屈服阶段的塑性材料通常用如下方法确定屈服极限。,b,1、锰钢 2、硬铝 3、退火球墨铸铁 4、低碳钢,无明显屈服阶段的，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.
14、2,拉伸：与无明显的线性关系， 拉断前应变很小.只能测得 。抗拉强度差。弹性模量E以 总应变为0.1%时的割线斜率来 度量。破坏时沿横截面拉断。,b是衡量脆性材料强度的唯一指标。,例题2-7 一材料为 Q23 5钢的拉伸试样，其直径d=10mm，工作段长度 l=100mm。当试验机上荷载读数达到 P=10KN时，量得工作段的伸长为 l=0.0607mm，直径的缩小为 d=0.0017mm。求此时横截面的正应力 ，并求出材料的弹性模量 E 和横向变形系数 。已知钢的比例极限 p =200MPa。,解：,. 金属材料压缩时的力学性能,低碳钢压缩实验,标准试件：,L/d(b): 1-3,比例极限sp
15、y，屈服极限ssy，弹性模量Ey基本与拉伸时相同。,1.低碳钢压缩实验：,铸铁压缩实验,sbysbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o55o的滑移面破坏。,2.铸铁压缩实验：,压缩实验,结束,塑性材料的特点：断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指标-屈服极限，一般拉和压时的sS相同。脆性材料的特点：断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是 sb、sbc且sb sbc。,.非金属材料的力学性能,1)混凝土 近似匀质、各向同性材料 。属脆性材料，一般用于抗压构件。 2）木材 各向异性材料 3）玻璃钢 各向异性材料。优点是：重量轻，比强度高，工艺简单，耐腐蚀，抗振性能好。,
16、V几种非金属材料的力学性能,混凝土,木 材,玻璃钢,塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ ）,低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的： （A）比例极限； （B）屈服极限； （C）强度极限； （D）许用应力。 正确答案是（ ）,B,B,根据图示三种材料拉伸时的应力应变曲线，得出如下四种结论，请判断哪一个是正确的： （A）强度极限
17、（1）（2） （3）；弹性模量 E（1） E（2） E（3）；延伸率 （1） （2） （3） ； （B）强度极限 （2） （1） （3）；弹性模量 E（2） E（1） E（3）；延伸率 （1） （2） （3） ； （C）强度极限 （3）（1） （2）；弹性模量 E（3） E（1） E（2）；延伸率 （3） （2） （1） ； （D）强度极限 （1）（2） （3）；弹性模量 E（2） E（1） E（3）；延伸率 （2） （1） （3）； 正确答案是（ ）,B,关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有以下结论，请判断哪一个是正确的： （A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （B）应力和塑性变形虽然
18、很快增加，但不意味着材料失效； （C）应力不增加，塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （D）应力不增加，塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。 正确答案是（ ）,C,关于 有如下四种论述，请判断哪一个是正确的： （A）弹性应变为0.2%时的应力值； （B）总应变为0.2%时的应力值； （C）塑性应变为0.2%时的应力值； （D）塑性应变为0.2时的应力值。 正确答案是（ ）,C,低碳钢加载卸载 再加载路径有以下四种，请判断哪一个是正确的：（ ） （A）OAB BC COAB ； （B）OAB BD DOAB ； （C）OAB BAOODB； （D）OAB BD DB。 正确答案是（ ）,D,
19、关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是（ ）,A,力学性能结束, 2-7 失效、安全因数和强度计算,对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一限度材料就要破坏。应力可能达到的这一限度称为材料极限应力 u 。通常对于塑性材料有ss(屈服极限)，对于脆性材料有sb (强度极限),杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力 。,n 1 , 称为安全因数。,I、许用应力和安全因数,1、极限应力su的选取,
20、对于塑性材料制成的拉压杆，当发生显著的塑性变形时，往往影响到它的正常工作，一般塑性材料取屈服极限ss。而无明显屈服阶段的塑性材料，则用s0.2。,对于脆性材料的杆由于它直到破坏为止都不会产生明显的塑性变形，只有在真正断裂时才丧失正常工作能力，所以取强度极限sb。,断裂和出现塑性变形过大而影响构件的正常工作统称为失效。,2、安全因数n的选取,以不同的强度指标作为极限应力，所用的安全因数n也应不同。塑性材料的安全因数对应于屈服极限ss。或s0.2，以ns表示。,脆性材料的安全因数对应于强度极限sb(sbc压缩强度极限) 。以nb表示。,A、安全因数与在强度计算中有些量计算不准有关,极限应力的差异
21、极限应力值是试验结果统计得到的，材料产品的合格与否只能凭抽样检查来确定，有可能低于给定值。 横截面尺寸的差异 个别构件在经过加工后，其实际横截面尺寸有可能比规定的尺寸小 荷载值的差异 实际荷载有可能超过在计算中所采用的标准荷载。如百年难遇的风、雪荷载，水工中的百年甚至千年洪水等。,实际结构与计算简图间的差异 将实际结构简化为计算简图，会因忽略了一些次要因素而带来偏于不安全的后果。如由于结点简化为光滑铰等可能导致拉力(作用于轴线)与实际不符，这偏于安全。,B、安全因数可以给构件以必要的强度储备。,考虑到构件在使用期内可能遇到意外的事故或其他不利的工作条件，对于这些因素的考虑，应该和构件的重要性以
22、及当构件损坏时后果的严重性等联系起来。 安全因数的数值并不单纯是个力学问题，这里同时还包括了工程上的考虑以及复杂的经济问题。 在静荷载下ns一般取为1.252.5；在对荷载的考虑较为全面、材料质量较为均匀等有利条件下，ns可取较低值，反之则应取较高值。 在静荷载下，nb一般取2.53.0；有时可大到414。其原因主要是脆性材料的强度指标值的分散度较大。,强度计算的三类问题,（1） 强度校核,（2） 设计截面,（3） 确定许可核载,杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面上。 该截面称为 危险截面 。危险截面上的正应力称为 最大工作应力 。,II、拉压
23、杆强度条件,例题23图示悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d20mm的钢杆若钢材的许用应力s=150MPa，试对上例中的斜杆AB进行强度校核。,解：在例题中已经求出AB杆的应力为s123MPa，可见,斜杆满足了强度要求。,如载荷增加到W20kN，则斜杆AB的应力增加到s164MPa，于是ss，不满足强度条件，应重新设计。 在工程问题中，如工作应力s略高于s，但不超过s的5，一般还是容许的。,例题24 气动夹具如图所示。已知气缸内经D140mm，缸内气压p0.6MPa。活塞杆材料为20钢，s80MPa。试设计活塞杆的直径d。,解：没确定活塞杆的横截面面积之前，计算活塞的受压面积时，可暂时将活塞杆横截
24、面面积略去不计，这样是偏于安全的。,活塞杆的轴力为,按强度条件，活塞杆横截面面积应满足以下要求,由此求出,根据最后确定的活塞杆直径，应重新计算拉力F，再校核活塞杆强度。由同学们完成。,例题25 某工地自制悬臂起重机如图所示。撑杆AB为空心钢管，外径105mm，内经95mm。钢索1和2互相平行，且设钢索可作为相当于直径d20mm的圆杆计算。材料的许用应力同为s=60MPa。试确定起重机的许可吊重。,解：由理论力学可取滑轮A为研究对象。列方程求出,根据强度条件，撑杆AB容许的最大轴力为,相应的吊重为,同理，钢索1容许的最大拉力为,相应的吊重为,取最小的W17kN,习题 已知三铰屋架如图，承受竖向均
25、布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。,RA,HA,RB,解：1、求支座反力,3、应力：,4、强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。,2、 局部平衡求 轴力：,习题 简易起重设备中，AC杆由两根 808 0 7 等边角钢组成，AB杆由两根 10号工字钢组成。材料为 Q235钢，许用应力 =170MPa 。求许可荷载 P。,解：取结点A为研究对象，受力分析如图所示。,结点A的平衡方程为,由型钢表查得,得到：,许可轴力为,N1 = 2P N2 = 1.732P,各杆的许可荷载,许可荷载 P=18
26、4.6kN,习题 图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径d15mm，承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力s235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。,解： 杆件横截面上的正应力为:,材料的许用应力为:,可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。,习题 已知杆和杆的许用应力 与 以及载荷P,L1。试确定杆和杆的截面面积A1与A2；2、设支座C允许在原铅垂平面上移动，因而斜杆的倾角将会改变，已知杆和杆的比重分别为r1与r2，试确定使结构重量W最小时的a。,解：1、各杆的轴力为:,令 ， （等强度条件）则由上式可得:,2、结构的重量为 ：,这就是合理设计或优化设计。,最佳倾角a
27、应使 W 取极小值：将W代入此式求导，得,习题 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为。,分析：,x,L,h,q,P,A,B,C,D, BD杆面积A：,解： BD杆内力N(q )： 取AC为研究对象，如图,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C, 求VBD 的最小值：,习题 重物P由铝丝CD悬挂在钢丝AB之中点C，已知铝丝直径d12mm，许用应力s1=100MPa，钢丝直径d21mm，许用应力s2=240MPa，且a30o，试求许用载荷P。,习题如图所示的支架，AB杆的许用
28、应力1=100MPa，BC杆的许用应力2=160MPa，两杆横截面面积均为A=150mm2。试求此结构的许可荷载F。,解：（1） 计算杆的轴力与荷载的关系 用截面法截取结点B为研究对象，受力图如图。由平衡方程 Fx=0,FNBCsin30FNABsin45=0 Fy=0,FNBCcos30+FNABcos45-F=0 联立求解得 F=1.93FNAB F=1.37FNBC,（2） 计算杆的许可轴力( 由强度条件有) FNAB=1A=15kN FNBC=2A=24kN (3) 计算杆的许可荷载 FAB=1.93FNAB=28.95kN FBC=1.37FNBC=32.88kN (4) 确定结构的
29、许可荷载 根据上述计算结果，结构的许可荷载取各杆的较小者，则F=28.95kN,习题图示双杠杆夹紧机构，需产生一对F120kN的夹紧力，试求，水平AB及二斜杆BC和BD的横截面直径。已知：该三杆的材料相同，s=100MPa,a=30o.,解：1、取CEF水平秆,2、取B结点,由强度条件得,习题某拉伸试验机的示意图如图所示。设试验机的CD杆与试样AB同为低碳钢制成，p=200MPa，s=240MPa，b=400MPa。试验机的最大拉力为10kN。 （1）用这试验机作拉断试验时试样最大直径可达多少？ （2）设计时若取安全因数n=2，则CD杆的截面面积为多少？ （3）若试样的直径d=10mm，今欲测
30、弹性模量E则所加拉力最大不应超过多少？,解：（1）试样拉断时,（2）设计时若取安全因数n=2，则,（3）测弹性模量E，则,谢谢同学们,2-8 拉（压）的变形 胡克定律,1 纵向变形,P,虎克定律又一形式,2 横向变形,P,或,泊松比,横向线应变,纵向线应变,胡克定律,伸长时用正号表示，缩短时用负号表示 轴向拉伸和压缩时纵向变形的计算公式称为胡克定律 EA代表杆件抵抗拉伸（或压缩）变形的能力，称为抗拉（压）刚度 在FN、E、A变化时应分段计算，保证每段内各量都是常数,胡克定律,例题26 图示M12螺栓内径d110.1mm，拧紧后在计算长度l80mm内产生的总伸长为Dl0.03mm。钢的弹性模量E
31、210GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。,解：拧紧后螺栓的应变为,由胡克定律求出螺栓横截面上的拉应力,螺栓的预紧力为,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：,例题27 图示一简单托架。BC杆为圆钢，横截面直径d20mm。BD杆为8号槽钢。若s=160MPa，E200GPa，试校核托架的强度，并求B点的位移。设F60kN。,1、由平衡方程得：FN1=45kN（拉）FN2=75kN（压）。 2、强度校核,3、计算位移,例题28
32、若图示变截面杆是圆锥得一部分，左右两端得直径分别为d1核d2，不计杆件得自重，只在两端作用轴向拉力F，试求杆件的变形。,解：设距离左端为x的横截面的直径为d，按比例关系可以求出,求出x面的面积,求出整个杆的伸长,习题一阶梯杆受力如图所示。AB段的横截面面积为A1300mm2,BC和CD段的横截面面积均为A2200mm2,已知E200GP。 试求：杆下端D截面的轴向位移。,解：1、绘制轴力图,2、计算D点的位移DD。,习题 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 的角度，长度均为 l=2m，直径均为 d=25mm，钢的弹性模量为 E=210GPa。设在点处悬挂一重
33、物 P=100kN，试求 A点的位移 A。,解：,列平衡方程，求杆的轴力,两杆的变形为,（伸长）,变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起。,以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A，即 为A点的新位置。AA 就是A点的位移。,因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,所以,习题 图示三角形架 AB 和 AC 杆的弹性模量 E=200GPa，求当 P=130KN 时节点的位移。A1=2172mm2，A2=2548mm2。,解：由平衡方程的两杆的轴力,1 杆受拉，2 杆受压 。,AA3 为所求A点的位移,习题 一等直杆受自重及集中力P作用
34、。杆的长度为l，横 截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E。试分析杆的自重对强度的影响，并求杆的伸长。,解：,N(x)=P+ Ax,Nmax=P+ Al,W= Al 为杆的自重,习题 刚性梁AB水平地挂在两根圆钢杆上，已知钢的弹性模量E=2106kg/cm2，钢杆直径分别为d120mm，d225mm，今在刚性梁AB上作用一横向力P，问P作用在何处才能使刚性梁水平下降？,解：设P作用在距离A点x处。取AB杆求出1、2杆内力为：,（单位 J ),根据能量守恒，积蓄在弹性体内的应变能在数值上等于外力所做作的功，即：,2-9 拉（压）内的应变能,（单位 J/m3),例题29 简易起重机如图所示。BD
35、撑杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l3m。弹性模量E210GPa。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量E1=177GPa。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设P30kN。,解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别为,算出BC和BD两杆的横截面面积分别为,由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为,BD杆的压力为,当载荷P从零开始缓慢地作用于由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系上时，P所作的功是,，,将各数值代入，由此求得,关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论。,它在数值上应等于杆系的变形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故,习题 图所示杆系由两
36、根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 的角度，长度均为 l=2m，直径均为 d=25mm，钢的弹性模量为 E=210GPa。设在点处悬挂一重物 P=100kN，试求 A点的位移 A。,解：,列平衡方程，求杆的轴力,计算应变能,计算竖向位移为DA时外力做功,应变能和做功在数值上相等,位移方向必须有力，才能计算做功。,谢谢,习题 2 已知铰接正方形结构（见图）各杆材料均为铸铁，材料的许用应力s拉=50MPa，s压=150MPa，各杆横截面面积A30cm2，试按强度条件求此结构的许用荷载P。,习题 3 杆系如图。设横杆AB和CD为刚体，其它杆与横杆铰接，已知杆的材料，其许用应力为
37、s=160MPa，求BC及EF杆的直径。,习题 4 图示为一变截面圆杆ABCD。已知P1=20KN，P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。 d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1) 作轴力图；(2) 杆的最大正应力max；(3) B截面的位移及AD杆的变形,解：求支座反力,R = -50KN,画轴力图,杆的最大正应力max,AB段：,DC段：,BC段：,max = 176.8MPa 发生在AB段。,B截面的位移及AD杆的变形,AB段：,BC段：,CD段：,B截面的位移及AD杆的变形,习题 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力P
38、=25KN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力=160MPa，试校核CD杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载P； （2）若P=50KN，设计CD杆的直径。,解：求CD杆受力,（1）结构的许可荷载P；,（2）若P=50KN，设计CD杆的直径。,d=24.4mm,取d=25mm,习题 8 一杆系受载如图所示，水平杆CD刚度较大，可以不计变形。AB杆为钢杆，直径d30mm，L1m。（1）若加载后AB杆上的杠杆变形仪读数增量为14.5格（每格代表1/1000mm），变形仪标距s20mm，AB杆材料的弹性模量E200GPa，问此时P的大小？（2）若AB杆材料的许用应力s=160MPa，求结构的许用荷
39、载及此时D点的位移。,习题图示刚性杆上连接有三根杆子,其长度分别为L,2L和3L,位置如图示.若已知力F及杆1的应变值1,求:2,3两杆的应变值.,结果:图示三杆虽然变形量各不相同,但应变却是相同的.说明变形和应变是两个有关系,但又不完全相同的概念.,习题 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过为摩擦的滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,解：方法1：小变形放大图法1）求钢索内力：以ABCD为对象,2) 钢索的应力和伸长分别为：,D,D,3）变形图如左图 ,C点的垂直位移为：,解：方法2：能量法（外力功等于应变能）1）
40、求钢索内力：以ABCD为对象,(2)钢索的应力为：,(3) 用能量法求C点的竖向位移为,习题图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移B。1、已经测出CD杆的轴向应变；2、已知CD杆的抗拉刚度EA。,B1,C1,1. 已知,2. 已知EA,习题图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移B。,B1,一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另一半为铝，则两段的（ ）。 A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
41、,在下列结论中，（ ）是错误的。A.若物体产生位移，则必定同时产生变形； B.若物体各点均无位移，则必定无变形； C.物体的变形与位移取决于外力的大小和方向； D.位移的大小取决于物体的变形与约束。,习题 如图所示，打入粘土的木桩长为L，顶上载荷为P。设载荷全由摩擦力承担，且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线fKy2变化，这里K为常数。若P420kN，L12m，A640cm2，E10GPa，试确定常数K，并求木桩的缩短。,P,L,f,y,x,O,f=Ky2,解：,任一y处横截面内力N(y)为,dy长一段缩短量为,木桩缩短量为,2-31 习题 如图所示简单杆系中，设AB和AC分别为直径20mm和
42、24mm的圆截面杆，E200GPa，F5kN。试求A点的垂直位移。,解：取A点受力如图所示。,由平衡方程得,解得,在AA0A2直角三角形有,在AA0A1直角三角形有,在AA2M直角三角形有,在MNA直角三角形有,方法1,方法2,利用功能转换原理求。,这是能量法，只求了竖直位移。水平位移由于水平方向无集中力作用，不能直接求得（可人为加力）。,谢谢同学们,2-10 拉（压）的超静定问题,静定与超静定问题,超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力。,静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出。,列平衡方程,一次超静定,利用变形协调条件列补充方程,变形几何方程为,补充方程为,解得,例题 2
43、10 内燃机的气阀弹簧和车辆的缓冲弹簧经常采用双层圆柱螺旋弹簧，若内弹簧的刚度为k1，外弹簧的刚度为k2，压力为F，试求内、外弹簧各自分担的压力。,求得,例题 211 在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1、2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1、2两杆的内力。,习题 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1 =160MPa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200G Pa 和 E2 =10G Pa；求许可载荷 P。,、几何方程,、物理方程及补充方程：,解：、平衡方程:, 、解平衡方程和补充方程，得:,角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c, 、
44、求结构的许可载荷：方法1:,所以在1=2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。, 、求结构的许可载荷：方法2:,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的面积变为25mm，又怎样？,结构的最大载荷永远由钢控制着.,习题：图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载 G。如杆1、2、3的截 面积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A，l，E。试求1、2、3 三杆的轴力 N1，N2，N3。,解：(1) 平衡方程,这是一次超静定问题， 且假设均为拉杆。,(2) 变形几何方程,(3) 物理方程,补充方程,习题 图示桁架，已知3根杆的抗拉压刚度相同
45、，求各杆的内力，并求A点的水平位移和垂直位移。,习题 图示结构中，AB、CD为刚性梁，1、2、3杆材料、长度、截面面积均相同，各连接点均为铰接，试求各杆的轴力。,一、温度应力,温度应力：在超静定结构中，由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为温度内力，与之相应的应力称为温度应力或热应力,图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为 。试求温度升高 T时杆内的温度应力。,解：,这是一次超静定问题变形相容条件是，杆的总长度不变。即,杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形
46、 lT 以及与轴向压力P1P2相应的弹性变形DlN,2-11 温度应力和装配应力,变形几何方程是,由以上三式得温度内力,由此得温度应力,若钢杆a1.2105 /(OC)，E210GPa，则当温度升高DT40OC时杆内的温度应力为,为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以消弱对膨胀的约束，降低温度应力。,解：由平衡方程得,变形协调方程为,求出式中各项变形为,求出式中各项变形为,将以上数据代入变形协调方程、整理得,习题 图示等截面杆两端固定后温度上升600C，试求杆件内应力。已知钢的线膨胀系数a11210-6 /oC，弹性模量E1210GPa，铜的线膨胀
47、系数a21610-6 /oC，弹性模量E210GPa。,解：设杆的轴力为FN。由荷载引起的变形为：,由于温度变化引起的变形为：,变形协调条件为：,杆内的应力为：,图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力。3杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为 装配应力。,二、装配应力,A,B,C,D,2,1,3,代表杆3 的伸长,代表杆1或杆2 的缩短,代表装配后 A 点的位移,(1) 变形几何方程,(2) 物理方程,（3）补充方程为,（4） 平衡方程,三者联立,N1，N2，N3 可解,例题213吊桥链条的一节由三根长为l的钢杆组成。若三杆的横截面面积相等，材料相同，中间钢杆略短于名义长度，且加工误差为dl/2000，试求各杆的装配应力。,解：平衡方程为,变形协调条件为：,由胡克定律得：,
