1、五邑大学电子教案,第二章,自动控制系统的 数学模型,本章主要内容,第一节 控制系统微分方程的编写第二节 传递函数第三节 控制系统结构图及等效变换第四节 自动控制系统的传递函数第五节 信号流图第六节 脉冲响应函数本章小节,数学模型的概念,数学模型：用于描述控制系统内各变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。,典型系统的方框示意图,例如某系统的数学模型用一微分方程来描述，若已知该方程的初值和输入值，就可对该微分方程求解，从而得出输出量的时域表达式。我们据此可对该系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析
2、的第一步也是最重要的一步。,线性系统的概念,控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。线性系统 一个系统如果能满足叠加原理，则称其为线性系统。对于线性系统，多个不同的输入作用函数同时作用于系统时，其响应等于多个输入作用函数单独作用时的响应之和。,这样以来，一个线性系统对几个输入量同时作用时的响应可以一个一个地处理，然后再对每一个输入量响应的结果进行叠加。当微分方程的系数为常数时我们称其所描述的系统为线性定常系统。如果微分方程的系数是时间的函数，则称其描述的系统为线性时变系统。,非线性系统 如果描述系统的微分方程不能应用叠加原理，则系统是非线性的。如下列微分方
3、和所描述的系统是非线性系统,在本门课程中，我们讨论和分析系统所采用的理论和方法都属于经典控制范畴，其最显著的特点就是采用单输入单输出的描述方法分析线性定常系统，而对于非线性系统和时变系统，经典控制理论分析此类问题的能力是极其有限的。,五邑大学电子教案,第一节,控制系统 微分方程的编写,第一节 控制系统微分方程的编写,如果我们要对一个已知系统进行分析和研究，首先就是建立该系统的数学模型。有了数学模型，我们就可以得到分析系统所必须的各变量之间相互关系表达式。一般的自动控制系统可在一定的限制条件下，应用线性微分方程来作为系统的数学模型。在实际的建立数学模型过程中，我们经常采用解析法来列写系统微分方程
4、。一般步骤如下：,根据系统实际工作情况，确定各环节元件的参数和输入、输出变量。 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节变量所遵循的物理化学定理，列写出动态方程。一般为微分方程组。 消去各环节中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。 标准化。,电路系统微分方程的编写,例01 如图所示为 RLC串联电路，试编写其输入、输出信号之间的微分方程。,设电路的回路电流为 i ，则根据基尔霍夫电压定律：,又知,代入第一个方程可得,这是一个线性定常二阶微分方程。,注意：在这个方程中，系统的输入变量在方程的右边，系统的输出变量在方程的左边。这就是标准化方式。,机械系统微分方程的编写,解：根据力学原理，如果
5、弹簧恢复力和阻尼器阻力与外部作用力不能平衡，则在外力作用下，质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。应用牛顿定理有：,例02 如图2-02所示为弹簧-阻尼-质量的机械位移系统，输入变量为外部作用力 F ，输出变量为位移 x ，试编写其微分方程。,图2-02 机械位移系统示意图,质量块受力如图2-02所示。代入后整理得,式中，F1为阻尼器的阻力，F2 为弹簧恢复力，它们的方向均与位移的方向相反。,直流电动机微分方程编写,例03 如图2-03所示他励直流电动机控制系统示意图，输入变量为电枢电压 ua，输出变量是直流电动机的角速度 n ，其励磁电流 iF 和轴上负载转矩 TL为常数，试编写其时域
6、数学模型即微分方程。解：如果励磁电路的励磁电流和轴上负载转矩均常数，根据电机原理，他励直流电动机基本方程式为,他励直流电动机的基本方程式,式中Ea为电枢感应电动势；Ra为电枢电路总电阻；L 为电枢电路总电感；G为机械转动部分的总重量；D为转动部分直径；Ce为电势常数，CT为转矩常数。,图2-03 直流电动机拖动系统示意图,代入并整理方程组,式中 Ta称为电磁时间常数；Tm称为机电时间常数；Ku是转速与电压传递系数；Km是转速与负载传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。,需要讨论的几个问题,1.相似系统和相似量：我们注意到例 1 和例 2 的微分方程形式是完全一样的。因为若令电荷对上式两边微分
7、并整理，于是有 则例 1 的结果会变为：,由此可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，如例 1 以电荷和输出电压不同变量的数学模型；而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。定义：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例 1 和例 2 称为力与电荷相似系统。作用：利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,2.非线性元件微分方程的线性化,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。若描述
8、系统的数学模型是非线性微分方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。,在经典控制领域中，对非线性环节的处理能力是比较薄弱的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性微分方程，我们可以在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，则可以得到近似等效的线性环节。下面对非线性微分方程如何线性化处理进行讨论。,设控制系统某环节为具有连续可导的非线性函数y = f (x)，若取某一平衡状态为工作点，如图2-04所示中的A( x0，y0 )。A点附近有点为B( x0+Dx，y0+Dy )，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的
9、。当 f (x)在A( x0，y0 )点连续可导时，则将函数 f (x) 在该点进行泰勒级数展开，得展开表达式：,图2-04 非线性对象的线性处理,当Dx很小时，则有,式中， K 为与工作点有关的常数，其值为函数在A 点的切线斜率。这样以来，上式是线性方程，为非线性函数的线性表达。一般为了保证近似精度，只在工作点附近展开。,注意,上述非线性环节均不是指典型的非线性特性（如间隙死区、饱和特性等均为连续不可导函数），它是可以用泰勒级数展开的。 实际的工作情况只能在工作点附近。 变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况以及变量变化范围有关。,例04 如图2-05所示为倒立摆系统。
10、它由小车和安装在小车上的倒立摆构成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即倒立摆只在如图所示的平面内运动。若有合适的控制力 u 作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器的姿态控制模型，其目的是使空间起飞助推器保持垂直。,图2-05 倒立摆控制系统原理图,图中小车和摆杆的质量分别为M 和 m，摆杆长度为2L，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为 x ，摆杆与垂线的夹角为 q ，摆杆重心的水平位置为 x + Lsinq ，垂直位置为 Lcosq 。假定摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为 H 和 V
11、，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：, 摆杆围绕其重心的转动运动,式中 J 为摆杆围绕其重心的转动惯量，VLsinq 为垂直力关于其重心的力矩，VLcosq 为水平力关于其重心的力矩。 摆杆重心的水平运动,3.摆杆重心的垂直运动,4.小车的水平运动,我们从以上方程可以看出，在以上方程中包含sinq 和cosq ，所以它们是非线性方程。若假设角度 q 很小，则 sinq =q 和 cosq =1。 可得下列线性化方程：,图2-06 倒立摆非线性特性的线性化处理,3.线性系统微分方程的编写步骤,确定系统和各元件的输入量和输出量。对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理方程
12、。对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。从输入端开始，按照信号的传递顺序，消去所有元件方程中的中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。,例05 试编写如图2-07所示的速度控制系统的微分方程。 解：根据线性系统微分方程的编写步骤，我们可按以下步骤进行。1.系统是由运算放大器、运算放大器、功率放大器、直流电动机和测速反馈装置等组成单闭环转速控制系统。2.系统的输出量是 n ，输入量是 ug，扰动量是TL。,图2-07 直流电动机转速控制系统原理图,3.转速控制系统方框图转速控制系统方框图如图2-08所示。,图2-08 转速控制系统方
13、框图,反馈环节：,4.各环节微分方程 运算放大器：,运算放大器：,功率放大器：,电动机环节：,5.消去中间变量，推出 n 与 ug和TL之间的关系：,4.复习拉氏变换,拉氏变换的定义如果存在一个以时间 t 为自变量的连续函数 f ( t )，它的定义域 t 0，那么下式即是拉氏变换式：,式中 s 为复数。记作,时，f (t) = 0；时，f (t)连续；。 其中F(s)称为象函数， f (t)称为原函数。反拉氏变换可记为,拉氏变换的充分条件,拉氏变换的性质,线性性质,微分定理,积分定理（设初值为零）,时滞定理,初值定理,终值定理,卷积定理,常用函数的拉氏变换,单位阶跃函数,单位脉冲函数,单位斜
14、坡函数,单位抛物线函数,其他函数可以查阅相关表格获得。,正弦函数,5.线性方程的求解,研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字法，采用以上方法可求得系统输出的解。在自动系统的分析和研究中主要使用拉氏变换法。拉氏变换求微分方程解的步骤先对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为 s 域的代数方程。求拉氏反变换可得输出函数的时域解。,例06 求例05速度控制系统微分方程的解。 解：假设系统无负载干扰，且各项初值均为零。已知速度控制系统微分方程为,对上式各项进行拉氏变换可得,当控制系统的输入已知时，对上式进行拉氏反变换，即可求得输出的时域解。,本节小结,系统
15、微分方程的列写； 相似量、相似系统； 非线性环节的线性化； 线性方程的求解（用拉氏变换法）； 拉氏变换及性质。,五邑大学电子教案,第二节,传递函数,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。,了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响-分析,可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合,一、传递函数的基本概念,传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。,式中x(t)为系统输入，y(t)为系统输出。,ai，bj ( i = 0 n，j = 0 m )为常系数。,设系
16、统或元件的微分方程为：,将上式求拉氏变化，得(令初始值为零),我们称上式为系统或环节的传递函数。,当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。,关于传递函数的几点说明,传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。,传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关
17、的输入外，其它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是 s 的有理分式，对实际系统而言分母的阶次 n 大于分子的阶次 m，此时称为 n 阶系统。,例07 试求电枢电压控制的它励直流电动机的传递函数。 解：已知直流电动机的微分方程为,对方程两边求拉氏变换为：,如令 ，则得系统输出转速对电枢电压的传递函数为,如令 ，则得系统输出转速对负载力矩的传递函数：,应用叠加原理可得转速表达式为,例08 求如图2-09所示电路的传递函数。 解：列写回路电压方程,对以上方程进行拉氏变换可得,图2-09 直流电动机拖动系统示意图,例09 求如图2-09所示电路的传递函数。 解,传递
18、函数的几种表达形式,表示为有理分式形式：,式中ai，bj为实常数，一般nm。上式称为 n 阶传递函数，相应的系统为 n 阶系统。,表示成零点、极点形式：,式中-zi称为传递函数的零点；-pj称为传递函数的极点；,为传递系数。,写成时间常数形式：,ti、Tj 分别称为时间常数；K 称为放大系数。,显然,若传递函数的零点或极点有共轭复数，则一般用二阶项来表示。若- p1、- p2为共轭复极点，则：,其系数w、x 可由-p1、-p2或T1、T2确定。,若传递函数同时具有零值极点，则可以写成如下形式,式中 m = m1 + 2m2，n = u + n1 + 2n2 应该注意：由于传递函数分子、分母多项
19、式的各项系数均为实数，所以传递函数如果出现复数零、极点，那么复数零、极点必然是两两共轭的。 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。,二、典型环节及其传递函数,在分析自动控制系统时，我们通常以数学模型的结构形式为准，将系统按组成元件进行分类，每种类别均有其结构相同的传递函数形式，并称为典型环节。 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下将分别讨论典型环节的时域特征和复域特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。 复域特性研究系统的零极点分布。,比例环节又可称为放大环节，则 K 称为放
20、大系数。实例：分压器，运算放大器，变压器、无间隙无变形齿轮传动等。,1.比例环节,比例环节的时域方程为,则其传递函数为,积分环节有一个零值极点。一般极点用“”表示，零点用“”表示。 K 表示比例系数， T 称为时间常数。如图2-10所示为积分环节的输出响应和复平面极点位置图。,2.积分环节,积分环节的时域方程为,则其传递函数为,图2-10 积分环节阶跃输入时的输出 与复平面上的极点位置,积分环节实例,运算放大器组成的积分调节器,如图2-11所示为运算放大器组成的积分调节器电路图。根据虚地原理可列写其电流方程,图2-11 积分环节实例,a) 运算放大器组成 的积分环节,b) 直流伺服电动机组成的
21、积分环节,式中， q 为角位移， w 为角速度。,从上两式可以看出，前式为比例环节，后式为积分环节。,直流伺服电动机对于直流伺服电动机，其惯性和摩擦很小，可以忽略。这样就有,3.惯性环节,惯性环节的时域方程,则其传递函数,当输入为单位阶跃即x(t)=1(t)时，其输出为,单位阶跃输入时的输出响应为,由此可见，输出响应 y (t) 呈非周期单调上升状态，所以有时惯性环节又叫作非周期环节。,图2-12 惯性环节实例,a) 惯性环节时域响应曲线,b) 惯性环节零极点分布,当 k = 1时，环节的输入成为单位阶跃信号，可画出此时惯性环节的时域响应曲线和零极点分布如图2-12所示。根据响应表达式求导可得
22、,从上式可以看出，响应曲线在原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。,惯性环节实例,有源惯性环节如图2-13所示为有源惯性环节和无源惯性环节电路图。根据电路分析理论有,图2-13 惯性环节实例,a) 有源惯性环节,b) 无源惯性环节,无源惯性环节根据电路分析理论有,式中 T = RC。,振荡环节的时域微分方程为,对上式进行拉氏变换，整理后可得振荡环节的传递函数为,4.振荡环节：,在上述传递函数中，z 可具有有两种情况：当z1时，称为过阻尼或临界阻尼，其传递函数可分解为两个惯性环节相乘。,传递函数有两个实数极点，分别为,当 0 z 1时，称之为欠阻尼，这时振荡环节的传递函数可以写成,当输
23、入为单位阶跃时则有,由此可见，振荡环节在单位阶跃输入下的时域响应 y (t)，其上升过程是振幅按指数曲线衰减的正弦运动，振幅大小与 z 有关。因此， z 反映振荡环节的阻尼程度，称其为阻尼系数，wn称为无阻尼振荡频率。当z1时，响应曲线单调升，过程没有振荡。而当0 z 1时，响应曲线衰减振荡。 图2-14和图2-15所示为振荡环节在单位阶跃输入下的响应曲线和极点分布图。,图2-14 振荡环节过阻尼响应曲线和极点分布图,图2-15 振荡环节欠阻尼响应曲线和极点分布图,当 f 2 -4mk 0时，质量-弹簧-阻尼系统为一欠阻尼振荡环节，其传递函数会有一对共轭复数极点。,例10 求质量-弹簧-阻尼系
24、统的 z 和wn。 解：引入例02分析结果,振荡环节实例,对上式联立求解可解得：,5.微分环节,二阶微分环节,纯微分环节,一阶微分环节,所有微分环节没有极点，只有零点。纯微分环节的零点是零；一阶微分环节的零点是负实数；二阶微分环节的零点一般是一对共轭复数（当0 z 1时）；在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。,式中：,例11 如图2-16所示为一阶微分环节和惯性环节电路原理图，试求其传递函数。 解：根据电路分析理论,微分环节实例,图2-16 微分环节电路图,图2-17 延迟环节的输入输出,我们有时也称此为纯滞后环节或时延环节，如图2-17所示为延迟
25、环节时域输入信号与输出响应图。对以上时域表达式进行拉氏变换，即可得延迟环节的传递函数,对于延迟环节，其输出经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。采用如下时域数学表达式表示,6.延迟环节,可以看出，此乃非线性超越函数，所以有延迟环节的系统是很难分析和控制的。为了简单起见，理论分析中经常对延迟环节进行化简，由于,在自动控制系统的理论分析中，我们还引入了一些其它环节，如下列形式,7.其他环节,可以看出，这些环节的特征是它们的极点在 s 平面的右半平面。我们在以后的分析中会看到，这种环节是不稳定的，一般称其为不稳定环节。,本节小结,传递函数的基本概念； 传递函数的三种表达方式； 多项分式、时间常数式、
26、零极点式。 传递函数的列写； 由微分方程和系统原理图出发。 典型环节及其传递函数。 单位阶跃输入的时域响应及其零极点分布。,五邑大学电子教案,第三节,系统的结构图 及其等效变换,一、结构图的基本概念,在前面的分析中，我们曾用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数的概念以后，我们可以用传递函数明确的表明信号传递过程中的数学关系。现在，我们将以上两者结合起来，把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这样以来，Y(s) = G(s)X(s)的关系就可以在结构图中体现出来。结构图也是一种广泛使用的数学模型。,用于表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。
27、以下以电位器电路为例进行分析。,结构图的定义,图2-18 电位器由电路图到结构图的转换,a) 电路图,b) 方框图,c) 结构图,若已知系统各环节的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个环节的结构图并连成整个系统的结构图。,如图2-18所示为电位器由电路图到结构图的转换过程。电位器时域方程为,电位器传递函数,二、结构图的组成和建立,自动控制系统的结构图一般有以下四种基本图形符号。,图2-19 结构图四种基本图形符号,1.结构图的组成,系统的结构图由以上四种基本图形符号组成。各图形符号代表的意义如下：1)函数方块函数方块可表示元件或环节的输入输出变量之间的函数关系。方块内必须填写元件或环节的传递
28、函数，如图2-18所示。2)信号线信号线用代有箭头的有向线段表示，箭头方向表示信号的传递方向，在信号线旁必须标明信号的像函数，如图2-18所示。,3)分支点分支点表示将一个信号分成两路或多路输出。信号线上只传递信号，并不分配信号功率。因此分支信号虽然分出多路，但每一路的信号均与原信号相等，如图2-18所示。4)综合点综合点对两个或两个以上性质相同的信号进行代数和运算，由综合点支路旁的符号决定加减运算方式，如图2-18所示。,2.系统结构图的建立,建立控制系统结构图的步骤如下：1)用典型环节代替自动控制系统中的具体元件，并将各环节的传递函数写入对应的结构图方框内；同时将信号的拉氏变换标在信号线旁
29、。2)按照自动控制系统中信号传递的方向顺序，依次将各个环节的动态结构图连接起来，从而构成系统的结构图。下面通过例题建立系统的结构图。,例12 试求图2-07所示的速度控制系统的结构图。 解：各环节微分方程见例05，对其进行拉氏变换可得其传递函数，列写如下：1)比较环节（综合点）,2)运算放大器（环节）,3)运算放大器（环节）,4)功率放大器（环节）,5)测速反馈（环节）,6)直流电动机（环节）当输入信号单为电枢电压时，直流电动机的转速为,当输入信号单为负载转矩时，直流电动机的转速为,将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图。,图2-20 转速控制系统的各环节结构图,由此可看出，结
30、构图即能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图是复域数学模型。,图2-20 转速控制系统的结构图,三、结构图的等效变换,根据信号流向及各环节之间的相互关系和具体作用而建立的系统结构图，可能会含有多个回路甚至交叉连接的情况。因此我们必须通过化简和变换，才能求得整个系统的传递函数。结构图的变换相当于在结构图上进行数学方程的运算。常用的结构图变换方法有两种类型：一是环节的合并；二是信号分支点或相加点的移动。变换的原则是变换前后环节的数学关系保持不变，即等效变换。,在系统结构图中，环节之间的连接主要有串联、并联和反馈三种形式，如图2-21所示。,1.环节的合并,图2-2
31、1 三种连接方式的结构图,串联环节等效,串联连接：环节与环节之间首尾相连，前一个环节的输出是后一个环节的输入，各环节之间不存在负载效应。如图2-21所示为第一种连接方式。各环节的传递函数分别为,则等效环节的传递函数为,串联结论：两个串联环节组成的自动控制系统，其等效环节的传递函数为各个环节的传递函数之积。,结论推广：若有 n 个环节相串联，则等效环节的传递函数为,并联环节等效,并联连接：所有环节的输入变量是相同的，而总输出变量为各环节的输出变量的代数和。如图2-21所示为第二种连接方式。各环节的传递函数分别为,则等效环节的传递函数为,并联结论：两个并联环节组成的自动控制系统，其等效环节的传递函
32、数为各个环节的传递函数之代数和。,结论推广：若有 n 个环节相并联，则等效环节的传递函数为,反馈联接等效,反馈连接：前一个环节的输出作为后一个环节的输入，后一个环节的输出与总的输入代数运算后作为前一个环节的输入，如图2-21所示的第三种连接方式称为反馈连接。反馈连接的等效传递函数推导如下：,反馈连接有正反馈连接和负反馈连接之分，负反馈连接是自动控制系统中广泛应用的连接方式。,如果上述三种连接交叉在一起而无法化简时，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。如图2-24所示系统结构图为一各种连接交叉在一起的情况。,2.综合点和分支点的移动与互换,图2-22 多种连接方式交叉的系统的结构图,综合点从环
33、节的输入端移到输出端,1) 综合点的移动,图2-23 综合点从环节输入端移到输出端,综合点从环节的输出端移到输入端,图2-24 综合点从环节输出端移到输入端,分支点从环节的输入端移到输出端,2) 分支点的移动,图2-25 分支点从环节输入端移到输出端,分支点从环节的输出端移到输入端,图2-26 分支点从环节输出端移到输入端,3) 相邻综合点（或分支点）移动,必须指出，在进行结构图简化时应注意以下两点： 结构图简化的目的是解除环路与环路的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。解除交叉连接的有效方法是移动综合点或分支点。一般在系统结构图中，相邻的综合点（或分支点）位置可以互换，如图2-2
34、7所示。但是当分支点与综合点相邻时，就不能作简单的交换，如图2-28所示。,图2-26 综合点之间和分支点之间的互移,所以，在简化控制系统的结构图时，对综合点和分支点的位置进行移动变换，一般是相加点只向相加点移动，分支点只向分支点移动。,图2-27 综合点和分支点之间不能交换,3.结构图等效变换举例,例11 设某系统的结构图如图2-22所示，试应用等效变换简化系统结构图，并计算系统的传递函数。 解：如图所示系统的结构图环节之间交叉连接，因此先采用综合点与分支点移动消除交叉，再应用环节合并简化结构图。,图2-28 综合点和分支点移动后的系统结构图,根据规则对上图中的综合点和分支点进行移动。,图2
35、-29 两个闭环前向通道串联环节合并,根据规则对系统结构图中的串联和反馈连接进行合并。,图2-30 反馈连接合并后的系统结构图,例12 如图2-31所示为系统结构图，试求其传递函数G(s)。,图2-31 系统结构图,解：根据分析对系统结构图的综合点进行等效变换如下：,图2-32 综合点移动后的系统结构图,图2-33 环节合并后的系统结构图,本节小结,系统结构图的概念 结构图的四要素函数方块、信号线、综合点、分支点。 环节的合并串联等效、并联等效、反馈等效。 综合点和分支点的移动变换综合点前移、后移，分支点前移、后移。 结构图等效变换,五邑大学电子教案,第四节,闭环系统的传递函数,自动控制系统（
36、即闭环控制系统或反馈控制系统）的典型结构图如图2-34所示。当系统工作时，一般具有两类输入信号和一个输出信号。,图2-34 典型自动控制系统结构图,上图中 R(s)、 C(s)分别为输入、输出信号， E(s)为系统的偏差， N(s) 为系统的扰动输入信号。由于传递函数只能描述单输入、单输出系统。因此，我们可以分别求出在 R(s) 单独作用时系统输出为C1(s)的传递函数和在N(s)单独作用时系统输出为C2(s)的传递函数，然后叠加就可得出闭环控制系统在两者共同作用时总的输出C(s)。,一、系统的开环传递函数,在图2-33中，如果将反馈通道 H(s) 的输出端断开，亦即在反馈点上断开系统的反馈通
37、道，则前向通道传递函数 G1(s) G2(s) 与反馈通道传递函数H(s) 的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数，通常用GK(s)表示。,图2-35 断开反馈后的系统结构图,根据上述分析，可得出开环传递函数的表达式为,特别注意：开环传递函数并非开环控制系统的传递函数，而是指闭环控制系统断开反馈点后整个环路的传递函数。这里的反馈点断开只是一种状态假设，而不是真地断开系统的反馈连接。,当我们只分析和研究给定输入作用而不考虑扰动输入作用时，可令N(s) = 0，此时系统结构图等效变换为如图2-36所示系统。根据结构图简化法则，系统输出 C(s) 单独对输入 R(s) 的闭环传递
38、函数为,二、给定输入作用下的闭环传递函数,图2-36 不考虑扰动输入作用时的系统结构图,在上式中， G1(s)G2(s) 称为前向通道传递函数。而前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积即为开环传递函数。,系统的输出可表达为,三、扰动输入作用下的闭环传递函数,如果只分析和研究扰动输入作用而不考虑给定输入作用时，可令R(s) = 0，此时系统结构图等效变换为如图2-37所示系统。根据结构图简化法则，系统输出 C(s) 单独对输入 N(s) 的闭环传递函数为,图2-37 不考虑给定输入作用时的系统结构图,此时系统的输出可表达为,四、两种输入共同作用时系统的输出,由于我们所分析的系统仅限于线性系统范
39、畴，因此根据线性系统的叠加原理，给定输入和扰动输入共同作用时系统总的输出应等于给定输入和扰动输入分别作用时各自所产生的输出量的代数和。故有,五、给定输入作用时的误差传递函数,在闭环控制系统中，误差是指给定输入信号 r(t) 与反馈信号 b(t) 之间的差值。一般均用 e(t) 表示，即e(t) = r(t) - b(t)对此式进行拉氏变换可得E(s)=R(s)-B(s)对于闭环控制系统，当给定输入单独作用时，令N(s) = 0 ， E(s)与R(s)之比称为给定输入作用时的误差传递函数，用FE(s)表示。此时系统的结构图如图2-38所示。,图2-38 给定输入作用时的误差系统结构图,上式也可按
40、照反馈环节合并方法求得。若反馈环节的传递函数为H(s) =1时，则称闭环控制系统为单位负反馈系统。此时系统的开环传递函数就是前向通道传递函数。,六、扰动输入作用时的误差传递函数,对于闭环控制系统，当扰动输入单独作用时，令R(s) = 0 ， E(s)与N(s)之比称为扰动输入作用时的误差传递函数，常用FEN (s) 表示。此时系统的结构图如图2-39所示。,图2-39 扰动输入作用时的误差系统结构图,闭环控制系统一般要求由扰动量产生的输出量应为零。因此系统的误差应为-C(s)，偏差E(s) = 0-B(s)= -H(s)C(s)，所以扰动输入作用时系统的误差传递函数应为,根据线性迭加原理，当给
41、定输入和扰动输入共同作用时闭环控制系统的总误差应为它们各自分别作用时系统所产生的误差之代数和。,可以看出，各种传递函数都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。,七、两种输入共同作用时系统的误差,本节小结,误差的概念给定输入作用时系统的闭环传递函数；扰动输入作用时系统的闭环传递函数；两种输入共同作用时系统的输出；给定输入作用时系统的误差传递函数；扰动作用共同时系统的误差传递函数；两种输入共同作用时系统的误差；特征表达式。,五邑大学电子教案,第五节,脉冲响应函数,脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。理论分析表明，它就是线性系统的数学模型。,一、脉冲响应函数,
42、1.理想单位脉冲函数,理想单位脉冲函数定义,将该函数对时间进行积分，则其积分值的含义为一宽度为无穷小、高度为无穷大矩形的面积 A ，称为脉冲的强度。即,当脉冲的强度为 1 时，该函数称为理想单位脉冲函数，如图2-40所示。,如图2-40所示，脉冲出现在 t = t 时刻，且其积分面积为 A 的理想脉冲函数定义如下,如图2-40所示为工程实际中使用的单位脉冲函数，其数学定义为,当D0时，,a) 脉冲函数示意图 b) 工程实用脉冲函数 图2-40 脉冲函数,脉冲响应函数线性控制系统在单位脉冲 d(t) 作用下的输出响应 g(t) ，我们称其为脉冲响应函数。现在我们对其进行分析讨论,由上式可见，系统
43、的复域响应就是系统的传递函数本身。而其时域响应为,从上式可以看出， g(t) 为系统的脉冲响应函数，它就等于系统传递函数的拉氏反变换。g(t) 与G(s) 有一一对应的关系，g(t)就是线性控制系统的时域数学模型的解。 例16 设系统脉冲响应函数为,试求系统的传递函数G(s)。 解：根据题意有,这样我们就可以利用脉冲响应函数求出系统在任何输入x(t)时的输出y(t)。即,式中， g(t) 是脉冲响应函数，上述两式称为卷积，可表示为：,单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数 1(t) 的作用下的输出响应 h(t)。,二、单位阶跃响应函数,脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系为,根据积分定理，在零初始条件时有,三、两种响应函数之间的关系,本节小结,脉冲响应函数；脉冲响应函数与传递函数之间的关系；单位阶跃函数；脉冲响应函数和单位阶跃函数间的关系。,
