1、1.运动学的两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 .,例1、已知质点作直线运动，其速度,求质点在04s时间内的路程。,解： 在求解本题中要注意，在04s时间内，速度有时大 于零，有时小于零，因而使运动出现往返。,先求出质点在任意时刻的位移，由,得,再求出速度为零的时间，由,知t=3时，,v 等于零。,例2、已知,（1）t=1s时及t=2s时的位矢；,（2）t=1s时到t=2s时的位移；,（3）t=1s时和t=2s时的速度；,（4）t=1s时和t=2s时的加速度；,解：,（1）,（m
2、);,（m);,(2）位移,（m);,（3）速度,（4）加速度,例3、如右图所示，湖中有一 只船，系于一绳上，岸上有一人 在高于水面H处，通过滑轮拉船 靠岸，当岸上拉纤人以速度v匀 速行进时：,（1）船靠岸的速度u与v相比谁大？,解：将坐标原点选在滑轮处。船的运动方程为,船的运动速度为,例4、已知一质点的运动加速度为,，式中b,k,均为常数，且v0=r0=0,求该质点的运动方程。,解：由,得,即,所以,又由,得,所以,例5、一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为2+4t3 (1)求在t=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加 速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值
3、为多少？（3）t为 多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？,解 （1）由于2+4t3，则角速度,在t=2s时，法向加速度切向加速度的数值分别为：,（2）当,有,即,解得t=0.29s.此时的角位置为2+4t33.15rad,（3）要使an=at,则有r(12t2)2r(24t), t=0.55s,2.牛顿运动定律,A、第一定律：每个物体继续保持其静止或作匀速直线运 动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。,B、第二定律,或,C、第三定律：,例: 一细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂M，另一端被人 用双手拉着，人的质量m=M/2，若人相对于绳以加速度 a0 向上爬，则人相对于地的加速度（向上为
4、正）是：,（2a0+g)/3,解: 画受力图，建立坐标系,对每一隔离体写出牛顿运动方程,M: T-Mg=MaM m: T-mg=mam,末知量T、aM和am共三个,多于方程数 由加速度变换式,am = a0 - aM,把此式与上面二式联立后，,am = (2a0+g)/3,解得：,a绳地=aM 方向如图所示.,a绳地,所以分量式为,(1),(2),3.动量守恒和能量守恒定律。,例1、质量为m的小球在外力的作用下，在水平面内作半径 为R，速率为v的匀速圆周运动，如图所示。小球自A点逆 时针运动到B点的半周内，动量的增量为,设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3(SI)。如果物体 在这一力的
5、作用下，由静止开始运动，在0到2.0s的时间 内，这个力作用在物体上的冲量大小,例2: 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平桌面上.如果把细绳上端放开,绳将落到桌面上.试证明,在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面,的压力,等于己落到桌面上的绳重量的三倍.,证: 取如图所示坐标.,设在时刻t已有x长的柔绳落至桌面,此时质点系(柔绳)的总动量为mv其中m=(L-x).根据质点系动量原理的微分形式,(1),代入(1)式得,而,正是已落到桌面上的绳重量,证毕.,例3、一长为l、密度均匀的柔软的链条，其单位长度的 质量为。将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若手握 链条的一端，以匀速
6、v将其上提，当链条一端被提离地面 为y时，求手的提力。,解：取地面为惯性参考系，地面上一点为 坐标原点o，竖直向上的轴为oy正向。如图 所示。,以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一 端离原点的距离为y，其速率为v.由于地面 部分的链条的速度为零，故在时刻t，整个 链条的动量就是提离地面部分的动量。即,由于和v均为常数，故链条的动量随时间的变化率为：,(1),作用于整个链条上的力，有手的提力,重力：,和,以及地面对(l-y)长链条的支持力,由牛顿第三定律知,与,大小相等、,方向相反，所以系统受到的合外力为：,(2),由式(1)和式(2), 有：,即有：,例4 一细软的绳长为l，质量为m，如图所
7、示，放于桌面上， 水平桌面与绳之间的摩擦系数为，在重力作用下绳由静 止开始下滑，求在下滑的过程中，绳刚完全脱离桌面时 的速度。,解：选绳子为研究对象，绳 受到的外力有重力、桌面对 其支持力和摩擦力，其中支持 力不作功。由于绳不伸长，内力不作功。,设绳完全脱离桌面的速度为v,由动能定理， 有：,（1）,式（1）中,代入式（1）得,解二，用功能原理,选择绳、桌面和地球为系统，该,系统不受外力作用，只受保守内力和非保守内力作用，,而作功的非保守内力仅有摩擦力,即,系统的初始机械能为,系统的末机械能为,选桌面为零机械能。,由功能原理得,解得,如图所示，一质量为M的木块置于倔强系数为k的弹簧上 ，系统处
8、于静止状态，一团质量为m的粘土块自木块上方 高h处由静止自由落下，并与木块粘在一起运动。试求： （1）碰后系统的瞬时速度。 （2）木块的最大位移。,解：整个过程可分为三个阶段,m自由下落；m与M碰撞后而具有 共同的速度V；M+m碰后压缩弹簧， 直至静止，而弹簧被压缩最大长度xm,（1）对于第一阶段,对于第二阶段,（2）第三阶段，选择（M+m)、弹簧及地球为系统，该 系统的机械能守恒。取弹簧原长时弹性势能为零， (M+m)在最低位置处，重力势能为零，有,式中,代入上式，可得,将,代入上式并解得,4.刚体的转动定律和角动量守恒定律,例1、一轻绳跨过两个质量均为m，半径均为r的均匀圆盘 状的定滑轮，
9、绳的两端分别挂着质量分别为m,和2m的重物 ，如图所示。绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个 定滑轮的转动惯量均为mr2/2。将由两个定滑轮以及质量为 m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内 的张力。,解：受力如右图所示,mg,T2,2mg,T1,T2,T,T1,T,列如下方程组：,例2、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳，开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变为 r2 时求小球的速率 v2,f拉,解：小球受力： f 拉,因f 拉为有心力,例3、一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动 惯
10、量为450kgm2的静止水平转台边缘上，此转台可绕通过 台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计，如果此 小孩相对转台以1.00m s-1速率沿转台边缘行走，问转台 的角速度多大？,解：人与转台这一系统 没有外力矩作用。系统 的角动量守恒。,设人和转台的角速度分别 为， 0，转动惯量分别为J1,J0,则0+ 1 0+v/R,由于系统初始是静止的，根据系统角动量守恒定律，有,例4、在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1=1.0kg,长 L=40cm,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量 m2=10g的子弹，以v=2.0102ms-1的速度射入杆端，其 方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得
11、到的角 速度。,解：若将杆与子弹视为一 系统，因系统不受外力作 用，系统的角动量守恒。,设杆的转动惯量为J1，子弹的转动惯量为J2子弹陷入杆 前的角速度为，陷入杆后的角速度为1，由角动量守恒 定律有,考虑到,解得,例5、一转台绕其中心的竖直轴以角速度0（s-1)转动 ，转台对转轴的转动惯量为J04.010-3kgm2。现有砂 粒以Q2tgs-1流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一 圆环，若圆环的半径为r=0.10m,求砂粒下落t=10s时，转 台的角速度。,解：在时间010内落至台面的砂粒的质量为,根据系统的角动量守恒定律，有,则t=10s时，转台的角速度,例6、质量m=5kg，长度l1m的细
12、金属棒，可绕垂直于 棒的一端的水平轴O无摩擦地转动，在细金属棒的另一 端再装上一个质量为m/5的半径可以忽略的小铅球。先把 此刚体拉到水平位置，然后由静止状态释放，到达最低 点时对心地碰撞一与弹簧（劲度系数k=2103N/m）相连 、质量M1kg的钢块，碰后刚体的角速度=3rad/s（沿 原运动方向），而钢块沿水平光滑地面滑行，致使弹簧 压缩，如图所示。求弹簧的压缩量。,解：可分为三个物理过程 来求解。,（1）棒由水平位置摆至竖直位置 机械能守恒。设水平位置时的重力 势能为零，到竖直位置棒的角速度 为，则,上式中,解得,（2）棒与钢块碰撞过程，棒与钢块组成的系统对轴O的 角动量守恒，,求得钢块
13、的速度为,（3）钢块压缩弹簧的过程，机械能守恒。,弹簧的压缩量为,5、气体动理论和热力学,（1）压强,（2）温度的微观本质,（3）能均分定理和理想气体的内能,1 三个容器A,B,C中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为 ，则其压强 之比 为：,（A） 1：2：4,（B） 1: 4: 8,（C） 1：4：16,（D） 4：2：1,4、理想气体分子的三种速率,小结三种速率,比较左边三式得,例 如图示两条 曲线分别表示氢气和 氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图 上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .,5、分子平均自由程,例 一定质量的理想气体，先经过等容过程使其热力学
14、温 度升高一倍，再经过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍 ，则分子的平均自由程变为原来的。,解：,2倍,6、热机效率和致冷系数,例1、如图所示，一定量的理想气体经历ACB过程时吸热 200J，经历ACBDA过程时吸热又为多少？,解：由图中数据有,则两状态温度相同，故ACB过程 内能的变化EACB=0,由热力学 第一定律可得系统对外界作功：,在等体过程BD及等压过程DA中气体作功分别为：,则在循环过程中系统所作的总功为,由热力学第一定律可得，系统在循环过程中吸收的总 热量为,负号表示系统放热。,例2、图(a)所示的某理想气体循环过程的VT图。已知该 气体的定压摩尔热容Cp,m=2.5R,定体摩尔热
15、容CV,m=1.5R, 且VC2VA。试问(1)图中所示循环是代表致冷机还是热机 ？(2)若是正循环，求出循环效率。,解：正逆循环来区分热机和致冷机是针对p-V图中循环曲线 进行方向而言的。对于图(a)要先将其转换为p-V图。如图 (b)所示，系统在循环过程中吸收和放出的热量为,(a),CA为等温线，有TA=TC；AB为等压线，且因VC=2VA,则 有TA=TB/2。故循环效率为,3 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，经历如图循环过程，求:,（1）各过程中系统对外作的功、内能的变化和吸收的热量.,（2）整个循环过程系统对外作的总功及净吸热. （3）该循环的效率.,AB,解,BC 等容,
16、CA 等压,7、静电场中电场强度和电势的求解,1、有一个球型橡皮气球，电荷均匀分布在其表面，分析该 球在被吹大的过程中，下列各处的场强怎样变化。,（1）始终在气球内部的点 （2）始终在气球外部的点 （3）被气球表面掠过的点,若电荷不能自动移动，求棒间静电相互作。,解：先求左棒对右棒的作用力：,在左棒 处取 ，,它在 处产生的场是：,左棒所有电荷在 处产生的场：,在右棒 处取 ，,受电场力：,右棒所受的电场力为：,例3、已知条件如图所示，求电场分布。,解：当rR1时，取半径为r的 高斯面，应用高斯定理,有：,得,当R1rR2时，高斯面内的电荷为,故有：,当R2rR3时，高斯面内的电荷为Q1，电场
17、为,当rR3时，高斯面内的电荷为Q1+Q2，电场为,例5、已知两同心的球面半径分别为R1和R2，所带电荷 为Q1和Q2。（1）求各区的电势；（2）两球面间的电势 差。,解：1）由高斯定理可求得电场 分布：,由电势,可求得各区域的电势分布。,当rR1时，有,当R1rR2时，有,当rR2时，有,2）两个球面间的电势差为,6 一圆盘半径为R，中间挖去一个半径为a的同心小圆盘，余下部分均匀带电面密度为，求盘心处的场强和电势.,R,a,E=0,解,7 一半径为a的导体球, 被围在内半径为b、外半径为c，相对介电系数为r 的介质同心球壳内，若导体球带电荷量为Q， 求 D(r)，E (r)和导体表面 电势.,解,7 一均匀带电荷量Q的球体, 半径为R, 试求其电场储存的能量.,R,Q,解,R,Q,8 如图，一平行板电容器极板面积为S，厚度为d1 ，中间一半体积内充有电容率为1的介质，另一半体积内充有电容率为2的介质，求该电容器的电容.,解,此题可看成两个电容器的串联,祝大家期末考试顺利,
