1、第 7章 二阶动态电路分析,1. 分析二阶电路过渡过程的经典法；,2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应；,3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；,主 要 内 容,7-1 二阶电路的零输入响应,二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路,在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。,RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。,初始条件,零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应,或,特征方程,特征根 称为固有频率,解为：,这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关； 积分常数A1 和 A2 决定于uC 的初始条件
2、,给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）,当 时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根,1设 uC(0) = U0, i (0) = 0, uC , iL 始终不改变方向， uC iL 0, 电容放电；, uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ；, t 0 ），建立磁场； t tm 电感释放能量（ uL iL 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；, 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。,例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关
3、 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求：,(1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .,解： (1) uC , uR , i 和 uL,特征根,2设 uC(0) = 0, i (0) = I0,例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。,解：利用前述结果,3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0,例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5
4、 H , R = 3 , uC(0) =2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。,解：根据前述结果,二. ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）,如果 ，则固有频率为共轭复数,其中,将 代入 中,1.uC(t) 是衰减振荡，它的振幅 A e- t 随时间作指数衰减， 为衰减系数， 越大，衰减越快；,2. 为衰减振荡角频率， 越大，振荡周期越小，振荡加快；,3. 时，响应是振荡性，称为欠阻尼情况， 反映振幅的衰减情况， 为振荡的角频率。,4.特殊情况：R = 0，无阻尼,5.电路的零输入响应的性质,取决于电路的固有频率 p ，p
5、为实数，复数或虚数，决定了响应为非振荡，衰减振荡或等幅振荡。,例7-4：RLC串联电路中, R = 1 , L = 1 H , C = 1 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。,解：,特征方程,解：电路方程,例7-5：LC 振荡回路中， L = 1/16 H , C = 4 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。,特征根,6.能量转换情况：,设 uC(0) = U0, iL(0) = 0 ，则, t = k , k = 0, 1, 2, 3 . 为电流 i
6、的过零点，即 uC 的极值点；, t = k / 2 - , k = 1, 3, 5, 7 . 为电感电压 uL 的过零点，即 i 的极值点；, t = k / 2 + , k = 1, 3, 5, 7 . 为电容电压 uC 的过零点；,三. 临界情况（临界阻尼情况）,当 时，p1 ,p2 为相等负实数，微分方程的解为,常数 A1 和 A2 可由初始条件确定, / 2 + t 电感释放，电容吸收，电阻消耗；, / 2 - t / 2 + 电感释放，电容释放，电阻消耗;,0 t / 2 - 电感吸收，电容释放，电阻消耗;,电路的响应仍然是非振荡性的，如果电阻稍微减小，以致，则响应将为振荡性的，,
7、当符合 时，响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼情况。,例7-6：前述电路中, R = 1 , L = 1/4 H , C = 1 F, uC(0) = -1 V , i (0) = 0 ， t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 iL(t) 。,解： 临界阻尼状态,7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应,一、直流RLC串联电路的完全响应,如果前述电路中，uOC(t) =US ( t 0) , 则电路的微分方程为,此时的全响应与其零输入响应的差别仅在于用 uC(0-) - US 代替了原来的 uC(0-) ，并在这里增添了 US 项。,其中，,根据初始条件 uC(0-), iL (0-) 可
8、确定 A1, A2,二. GCL并联电路的分析,其解答由对应的齐次方程的通解和特解组成，即,取稳态解 i”L 为特解，而通解 iL 与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。,上述结果可由RLC串联电路的方程通过对偶量 uC iL , L C, C L, R G 的置换得到，其解答也可由串联电路的解答通过对偶量的置换得到 。,其中,二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，其求解方法与零状态响应的求解方法相同。,例7-7：前述电路中, ,直流电源 uOC(t) =US 在 t = 0 时作用于电路，试求 uC(t) ，并绘出波形图，设电路为零初始状态。,解：
9、因 ，电路属欠阻尼情况,uC(t) 在 US 上下作衰减振荡最后趋于US ，电压上升超过 US 所呈现的突出部分，称为“上冲”或“正峰突”。,例7-8：接续例7-7，如要求第一个上冲为 US 的 10%，问 C 应如何选择?,解：,最大值发生在 ,即,第一个最大值发生在 时，根据题意要求,例7-9：GCL并联电路中，L=1H，C=1F，求 iL(t) 的阶跃响应，若（1）G = 10 S；（2）G = 2 S；（3）G = 0.1 S。,解：依题意， iSC(t)= 1 A （阶跃响应），且,或,（其中特解 iLp = 1A ）,例7-10：GCL并联电路中, G = 210-3 S , C
10、= 1F, L = 1H, uC(0-) = 0 , iL(0-) = 0 , 试求阶跃响应 iL , uC 和 iC 。,解：电路方程,特征方程,特征根,强制分量,对应齐次方程的解,通解为,又因,7-3 二阶电路的冲激响应,二阶电路的冲激响应：零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应,电路方程,0- t 0+ 电路受 (t) 作用获得能量,1,由 (t) 在 t = 0 作用产生的 uC(0+) , i(0+),对电路方程两边取 0- 到 0+ 的积分，则有,t 0+ ,放电，满足二阶齐次微分方程，,又此时 uC 不能跃变，仅 才可能发生跃变,意义： (t) 在 t = 0- 到 0+ 间隔内使电感电流跃变，电感中储存一定的磁场能量。此磁场能量引起冲激响应。,2. t 0+ , 为零输入解,如果 ，即周期振荡衰减放电，冲激响应为,3、可以首先求出电路的单位阶跃响应，再对时间求导数就能得到单位冲激响应。,
