1、第五章 有限单元法基本理论,5.1 有限单元法的概念 5.2 有限单元法的位移模式 5.3 单元的应力、节点力以及刚度矩阵 5.4 荷载向节点的移植 5.5 总刚度矩阵 5.6 ANSYS有限元程序简介及基本操作 5.7 平面问题有限元算例,工程弹性力学基础 第五章 有限元法基本理论,安徽建筑工业学院工程力学系,5.1 有限单元法的概念,工程弹性力学基础 第五章 有限元法基本理论,1.有限单元法的概念： 把分析对象进行离散化处理； 网格的交点称为节点； 网格中基本元素称为单元，单元之间靠节点连接； 把物体视为由一定数量的单元集合而成。,有限单元法的求解过程是从局部到整体的过程。它首先从单元分析
2、入手，最后集合成求解整个弹性体的基本方程，直至最终得到整个问题的数值解。,5.1 有限单元法的概念,工程弹性力学基础第五章 有限元法基本理论,2.力学量和基本方程用矩阵表示： 体积力用向量表示为：,面积力用向量表示为： 弹性体内的应力用向量表示为： 弹性体内的应变用向量表示为： 弹性体内的位移用向量表示为：,5.1 有限单元法的概念,工程弹性力学基础第五章 有限元法基本理论,几何方程：,物理方程：,其中，弹性常数矩阵：,简写为：,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,1. 假设位移函数有限元中的单元体保持着原来弹性体的基本属性，单元体内的位移依然是连续的。虽
3、然我们并不确切知道单元体内的位移分布，但是可以假设位移函数，通过细分单元以逼近真实位移。,设我们使用三角形单元，假设位移函数：,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,单元分析的思路,1、选择位移模式,2、用节点位移表示位移模式,3、用节点位移表示单元应变,4、用节点位移表示单元应力,5、用节点位移表示单元节点力,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,2.位移模式用单元节点位移表示 单元三个节点的位移表示为（可称为单元节点位移）：,三个节点 x 方向的位移为 ：,从上式解出系数 ：,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学
4、基础 第六章 空间问题基本理论,从上式解出系数 ：,上式中 ：,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,位移函数 u 用单元节点位移表示：,对于v,有同样的结果，合并后写成：,5.2 有限单元法的位移模式,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,令：,位移函数用单元形函数阵和单元节点位移表示为 ：,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,1. 单元应变,令：,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,2. 单元应力,3. 功能原理 虚位移原理,单元的节点力向量：,5.3单元的
5、应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,任意给单元节点一个可能的微小位移虚位移：,那么单元体内相应的虚应变为：,按照虚功原理，节点力在节点虚位移上所作的功等于单元体的虚应变能 ：,返回,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,可以得到单元刚度方程：,其中：,单元刚度矩阵,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,写成分块形式：,单元刚度矩阵的性质：1、对称性；2、奇异性；3、可分块性。,其中：,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,5.3单
6、元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,例：求如图所示的单元刚度矩阵。,5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,5.4 荷载向节点的移植,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,为了简化单元受力情况，把单元所受的荷载按照静力等效的原则向节点移植，转化为作用于节点的荷载。静力等效的概念：1、移植后的节点荷载的主矢量必须和移植前相等，它们对任意一点的主力矩也和原荷载对同一点的主力矩相等。2、原荷载与移植后的节点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。,5.4 等效节点力,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,1. 体积力
7、向节点的移植,在x-y 平面内，x方向受均匀分布的重力w作用，体积力向量为:,按重力作用在均质板的形心处理，将重力向单元的三个节点平均分配：,5.4 等效节点力,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,2. 侧面集中力向节点的移植,3. 侧面均布力向节点的移植,5.4 等效节点力,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,4. 侧面三角形分布力向节点的移植,5.5 整体刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,1、单元与节点编号(以例说明)。,2、求出每个单元刚度方程，即单 元节点位移与节点力之间的关系：,5.5 整体刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,3、
8、形成整体刚度方程,节点1的平衡：,分别考虑每个节点的平衡。,5.5 整体刚度矩阵,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,节点2的平衡：,节点3的平衡：,节点4的平衡：,节点5的平衡：,把各节点的平衡方程联立,将上式记为：,其中：,将上面得到的5个节点的平衡方程联立，并写成矩阵形式：,5.5 整体刚度方程,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论,单元定位向量的概念：按单元节点编号 i,j,m 顺序,排列整体编号。,例如，单元(1)，节点编号 i,j,m 顺序，整体编号为2,3,1。则单元(1)的定位向量为：,（ 2 3 1）,将四个单元定位向量列出,5.5 整体刚度方程,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论, 将整体刚度矩阵充零；,3、形成整体刚度方程, 形成单元刚度矩阵；, 形成单元定位向量；, 按对号入座的方式，将每一个单元刚度矩阵叠加到整体刚度矩阵中。,整体刚度矩阵的性质：, 对称性；, 对称性；, 奇异性；, 可分块性。,5.5 整体刚度方程,工程弹性力学基础 第六章 空间问题基本理论, 前处理方式；,4、约束条件的引入, 后处理方式：,删去行与列法；,0-1法；,乘大数法。,5、求解代数方程组解出节点位移,6、由单元定位向量，取出单元节点位移,7、由单元刚度方程，求出单元应力,
