1、1,第三章 扭 转,材料力学,田 祖 安重庆科技学院力学系2011.03,2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,3-1、概述,3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算,3-4、圆轴扭转时的变形计算,3-5、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,3-7、非圆截面杆扭转,3-8、薄壁杆件的自由扭转,3-3、纯剪切,主要内容,3,1、螺丝刀杆工作时受扭。,Me,主动力偶,阻抗力偶,一、扭转的工程实例,3-1 概述,4,3、机器中的传动轴工作时受扭。,3-1 概述,5,汽车方向盘,3-1 概述,6,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,3-1 概述,7,扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的
2、力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,3-1 概述,8,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。,3-1 概述,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。,9,直接计算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,1.外力偶矩,10,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知：轴转速n (转/分)输出功率Pk (千瓦kw或马力Ps),3-2、外力偶矩
3、扭矩和扭矩图,Pk单位为kw,Pk单位为Ps,11,1、扭转杆件的内力（截面法）,m,T,取右段为研究对象：,内力偶矩扭矩,取左段为研究对象：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,12,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,13,T = Me,2.扭矩和扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,14,扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,(-),(+),Me1,Me1+ Me2,Me3,15,解:,(1)计算外力偶矩 公式：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,例1：某传动轴转速 n=300r/min，主动轮 A 输入功率PA
4、=45kw，三个从动轮输出功率分别为PB=45kw，PC=45kw，PD=45kw。试绘制该轴的扭矩图。,16,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,17,例1:一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。,扭矩图作法 例2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,18,一、计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,19,二、分别计算各段的扭矩,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,20,扭矩图,Tmax = 9
5、.56 kNm 在BC段内,4.78,9.56,6.37,T 图(kNm),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,21,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,讨论：,受扭圆轴，其截面m-m上的扭矩T=_。,22,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,3-3、纯剪切,23,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,3-3、纯剪切,24,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向
6、与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,3-3、纯剪切,25,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,3-3、纯剪切,26,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,3-3、纯剪切,27,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,3-3、纯剪切,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,钢材的G值约为80GP
7、a。,28,等直圆杆横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后仍为平面；2. 轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,29,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,30,虎克定律： 代入上式得：,2. 物理关系：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,31,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,32,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公
8、式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,1. 变形几何关系：,2. 物理关系：,3. 静力学关系：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,单位：mm4，m4。,33,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,34,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,令,35, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面
9、构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,36, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,37,思考题：在图示受扭圆轴横截面上的剪应力分布图中,d,38,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,39,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力；取分离体如图(d)：,(d),3-4、圆轴扭
10、转时截面上的应力计算,40,(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,41,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,42,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷
11、：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,43,例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面模量,cm3,（2） 强度校核,满足强度要求,3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算,44,例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当实心轴和空心轴的最大应力同为时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,45,已知：P7.5kW, n=100
12、r/min,最大切应力不得超过30MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,46,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,空心轴,d20.5D2=23 mm,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,47,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实
13、心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,48,图（a）所示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。外力偶矩为 mA = 22 kNm， mB = 36 kNm ， mC =14 kNm 。已知材料的许用剪应力 = 80MPa，试校核该轴的强度。,解：作轴的扭矩图（图b),虽然 T1 T2 ，但是d1d2 ，因此要分别核该两段轴的强度,因此，该轴满足强度要求。,例,(a),3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算,49,已知：P114kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/
14、min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：1、计算各轴的功率与转速,M1=T1=1114 N.m,M2=T2=557 N.m,M3=T3=185.7 N.m,2、计算各轴的扭矩,3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算,50,3、计算各轴的横截面上的最大切应力,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,51,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,3-5、圆轴扭转时的变形计算,52,二、单位扭转角 ：,或,三、刚
15、度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,3-5、圆轴扭转时的变形计算,53,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,3-5、圆轴扭转时的变形计算,54,例题： 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,3-5、圆轴扭转时的变形计算,55,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转
16、刚度条件校核刚度,3-5、圆轴扭转时的变形计算,56,40Nm,x,T,右端面转角为：,3-5、圆轴扭转时的变形计算,57,例题：传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2；(2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,3-5、圆轴扭转时的变形计算,58,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设
17、计计算,59,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算,60,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算,61,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,3-7、非圆截面杆扭转,62,一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。,二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。,三、矩形杆横截面上的剪应力:,1.
18、剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点）,3-7、非圆截面杆扭转,63,2. 最大剪应力及单位扭转角,其中：,其中：It相当于极惯性矩。,3-7、非圆截面杆扭转,64,注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：,查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。,3-7、非圆截面杆扭转,65,开口/闭口薄壁杆件扭转比较,3-7、非圆截面杆扭转,一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。,三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。,66,小 结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,67,作 业,习 题3.1、3.5、3.7 、3.11第3章 完,
