函数性质的综合运用常见题型与解题方法总结.doc

1、 - 1 - / 171xyo 10函数性质的综合运用1.函数 1yx的图像与函数 2sinyx（ 4）的图像所有交点的横坐标之和等于( )A2 B4 C6 D82.已知函数 ()yfx的周期为 2，当 1,x时函数 2()fx，那么函数 ()yfx的图像与函数 lg的图像的交点共有( )A10 个 B9 个 C8 个 D1 个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为 10 个，故选择 A3.已知函数 若 互不相等，且 则 的|lg,01,()6.2xf,abc()(),fabfcab取值范围是- 2 - / 17(A)

2、(B) (C) (D) (1,0)(5,6)(10,2)(20,4)【答案】C【解析】命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力. 作出函数 的图象如右图，()fx不妨设 ，则abc1lg0(,)2abc则 .应选 C.(10,2)4. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）PxyeQln()yxPQ5. 设函数 f(x)= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_(x+1)2+sinxx2+1答案： 2解析： 22)sisin( ,1xfx设 为奇函数，由奇函数图像的对称性知2in),()(,)1gxggmainmaxminmaxin(0)

3、()1()()2.M考点定位：本题考查函数的性质,奇函数性质的应用，考查学生的转化能力.O1210 xy- 3 - / 17【最新考纲解读】1函数与方程结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法2函数模型及其应用比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查

4、，有时也涉及周期性要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式5函数与方程、函数的应用主要考查：(1)零点与方程实数解的关系(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题(4)函数与解析几何知识的综合问题(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等【回归课本整合】1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域

5、的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2 ）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法；利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （()0fx()1fx）.图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称.()0fx y（3 ）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 为偶函数，则 .()fx()(|)fxfx若奇函数 定义域中含有 0，则必

6、有 .0f2. 函数的单调性1.函数单调性的定义：（1）如果函数 对区间 内的任意 ，当 时都有 ，则 在xfD21,x21x21xfff内是增函数；当 时都有 ，则 在 内是减函数.D21fffD（2）设函数 在某区间 内可导，若 ，则 在 D 内是增函数；若()yf0()yf，则 在 D 内是减函数.0fx- 4 - / 17单调性的定义（1）的等价形式：2.设 ，那么 在 上是增函数；bax,2xfxff021 ,ab在 上是减函数；,证明或判断函数单调性的方法：3.(1)定义法：设元 作差 变形 判断符号 给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和

7、等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；减函数 减函

8、数)(xf)(xg)(xf是减函数；增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数)(xg是减函数;复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，3. 函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期()yfx,()xab()yfx为 ；2|Tab若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一,0),ABa周期为 ；|如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数()yfx(, ()xba必是周期函数，且一周期为 ；()f4|Tb（2 ） 由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周()fxaf(0)fa期

9、函数”得：函数 满足 ，则 是周期为 2 的周期函数。()f4. 函数的对称性.满足条件 f(a+x)=f(b-x) 的函数的图象关于直线 对称. bx点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为(,)xy(,)xyfy；fy点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为, ,x； 点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为(,)xy(,)xyf； fy- 5 - / 17点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称(,)xyx(,)yx(,)0fxyyx曲线的方程为 ；点 关于直线 的对称点为 ；曲线f0(,),)关于直线 的对称曲线的方程为 ；,f

10、,曲线 关于点 的对称曲线的方程为 ；(,),ab(2,fab形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线()axycdc dxc(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 ；yx(,)a 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的|()|f )fxx对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，(|f()fy擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到.y y5. 常见的图象变换函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到axf)0(xfa的.函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移

11、个单位得到yyx的.函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到xfa)0xfya的；函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到y(y的；函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的.axf)0xf a1函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的. y(yy 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称|()|ffx x图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去x(|)f()fx轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到. y特殊函数图象:(1)函数 :可由反比例函数 图

12、象平移、伸缩得到.图 1(0,)axbcdybc(0)kyx示例.图象是双曲线,两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中dcxacy的系数确定)；x对称中心是点 .(,)dac(2)函数 ：如图 2.0byx图象类似“对号” ，俗称对号函数.定义域 ；0|x函数的值域为 ；),2,(ab函数为奇函数，图象关于原点对称；增区间为 ,减区间为 .(,)ba,0)(ba6.函数的零点xyo图 2dcaycxo图 1- 6 - / 17（1）一般地，如果函数 yf (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)a12logx0()fx4.若函数 f(x) （

13、 ）是奇函数，函数 g(x) （ ）是偶函数，则（ ）RRA函数 fg(x)是奇函数 B函数 gf(x)是奇函数C函数 f(x)g(x)是奇函数 D函数 f(x)+g(x)是奇函数【答案】C【解析】令 ，则 故 是偶函数；()()Fxfg()()()Fxfgfx()Ffgx令 ，则 ，故 是偶()()Gf()()()()Gfff()()Gf- 10 - / 17函数；令 ，则 ，故()()Pxfgx()()()Pfxgfxg是奇函数；令 ，则 ，故f Q()Qfxg不一定是奇函数.5.方程 有解，则 的最小值为xax2)(log21aA.2 B.1 C. D.2321【答案】B【解析】方程 等

14、价为 ，xax)2(log1 21()xxa即 ，当且仅当 ，即 ，2()442xx xxxa124xx12x取等号，所以选 B.16. 已知函数 )(xf在 ),0上是增函数， ，若 )(lg，则 的取值()gf范围是A ),1(B )1,( C 0D ),0( 7.已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数，若当 0,1x时，21，则 12(log6)f的值为（ ）A 5B-5 C 12D-6【答案】C【解析】 ，即123log612log60123log0- 11 - / 17 ()fx是周期为 2 的奇函数 , .23log1112222331log6(l)(

15、log)(l)()ffff8.已知 是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数，若当 时，)fx 0,)x，则 的值为（ ）(12(log6)fA B C D52【答案】C【解析】 ， 即123log612log60123log0f(x) 是周期为 2 的奇函数 23log11122223(l)(l)(l)(l)()ffff9.若定义在 R 上的偶函数 满足 ，且当 时， 则方程fxffx0,1(,fx的解个数是（ ）3()log|fxA0 个 B2 个 C4 个 D6 个10.已知函数 是 R 上的偶函数，若对于 ，都有fx0x2,fxf且，则 的值为20,2log1xx当 时

16、213fA. B. C.1 D.21【答案】C【解析】由函数 ()fx是 上的偶函数及 0x时 ()ffx） 得R- 12 - / 1722(2013)(2)(013)(1)(0logl1.fffff11.已知函数 是 上的奇函数且满足 ，则 yxR5),()xfxf的值为()fA.0 B 1 C. 2 D.4【答案】A【解析】 ()1)(2)(5)(fxfxfxf (5)(fxf5 为函数 的一个周期， 1 ，1 为函数 的一个周期，()(fxf()fx(203)(0ff12.已知函数 ， ，给出下列结论：函数 f(x)的值域为 ；函数 g(x)在0，1上是增函数；对任意 a0，方程 f(x

17、)=g(x)在0，1内恒有解；若存在 ，使得成立，则实数 a 的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是_.13.已知定义在 R 上的函数 f（x ）满足 f（x 1）f（x） 。当 x0,1时，f（x ） x，若 g（x ）f （x ） m（x1）在区间（1,2有 3 个零点，则实数 m 的取值范12- 13 - / 17围是（A） （ ， ） （B） （ ， （C） （D）1461461,641(,)64【答案】B14.定义域为 R 的函数 满足 时，fx2,0,2ffx当若 时， 恒成立，则实数 t 的取值23,01,2,xfx4,14tf范围是A. B. C. D.2,0,1,01,2,

18、1,20,1【答案】A【解析】当 ，则 ，所以42)x,4,2)x()()(4)fxffx，241.5()(,3=0.,2)x 2.517,3=(0),)4x当 时， 的对称轴为 ，,3)x2217()7)()4fx7=2x- 14 - / 17当 时，最小值为 ；4,3)x71()=26f当 时， ，,2).51(0)4xfx当 时，取最小值，最小值为 ；.5x所以当 时，函数 的最小值为 ，即 ，即 ，42),()fx1412t20t所以不等式等价于 或 ，解得 或 ，即 的取值范围20t20t01tt是 ，选 D.(,(,115.设函数 是定义在 R 上以 为周期的函数，若函数 在区间)

19、xfy1xfxg2)(上的值域为 ，则 在区间 上的值域为( )3,26,2)(xg2,A B C D, 28,4 3, 34,017.函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称 为单函xfAx2121xff21xf数.例如,函数 是单函数.下列命题:R函数 是单函数;xxf2函数 是单函数;,logf- 15 - / 17若 为单函数 , 且 ,则 ;xfAx2121x21xff函数 在定义域内某个区间 上具有单调性, 则 一定是单函数.D其中的真命题是 (写出所有真命题的编号 ).【答案】18.给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数 最近的整数，记1 +2mxmx作 ，即 . 在此

20、基础上给出下列关于函数 的四个命题：x=(=fx 的定义域是 ，值域是 ；()yfR1(,2点 是 的图像的对称中心，其中 ；,0k=()fxkZ函数 的最小正周期为；y 函数 在 上是增函数 ()fx13,2则上述命题中真命题的序号是 【答案】 【解析】中，令 ，所以 。所以正确。1,(,2xma1()=(,2fxa ，所以点 不是函数(2)=)fkkxffx,0)k的图象的对称中心，所以 错误。 ，所以周x (1)1(fx期为 1，正确。 令 ，则 ，令 ，则 ，所1,2xm2f,2xm1)2- 16 - / 17以 ，所以函数 在 上是增函数错误。 ，所以正确的为1()(2ff=()yfx13,219.定义在 R 上的偶函数 对任意的 有 ，且当 2，3时，fR1f(x)f()x若函数 在(0， +)上有四个零点，则 a 的值为 269f(x)xayf(x)log- 17 - / 17