1、153第 13 章 机械波基础13.1 要求：1 了解 波的能量传播特征及能流密度概念、驻波和行波的区别、机械波的多普勒效应及其产生的原因、电磁波的性质；2 理解 机械波产生的原因、波形曲线；3 掌握 由已知质点的简谐振动方程，得出平面简谐波函数的方法及波函数的物理意义、13.2 机械波基础摘要1 行波 振动的传播。机械波在介质中传播时，只是振动的传播，介质不移动。2 简谐波 简谐运动的传播。数学表达方式：，)2cos()(2cos)(cos xtAxTtAxtAy 式中负号表示沿 X 轴正方向传播的波，正号表示沿 X 轴负方向传播的波。3 弹性介质中的波速：（式中 G 为切变模量， 为体密度
2、）横波波速： ；纵波波速： ，式中 E 为扬模量，液体和气体中纵波波速： ，式中 K 为介质的体积模量， 为体密度；u拉紧绳中的横波波速： ，式中 F 或 T 为绳中张力， 为体密TF度；4 简谐波的能量：任一质元的动能和弹性势能同样地变化。平均能量密度： ，21Aw波的强度： ，uI5 惠更斯原理 介质中波传到的各点都可看作开始发射子波的点波源，在以后的任一时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波前。6 驻波 在同一媒质中，有两列振幅相等、方向相反在同一直线上传播的相干波，叠加时形成的一种特殊的波的干涉现象。其表达式为： txAcos2实际上是稳定的分段振动，有波节和波腹。7 多普勒效应：接收器
3、收到的频率与接收器（R）和波源（S）的运动有关。波源静止时， ，接收器向波源运动时 VR取正值，远离时为负；SRuV154接收器静止时， ，波源向接收器运动时 VS取正值，远离时为SRvu负光学多普勒效应：决定于光源和接收器的相对运动，光源和接收器的相对速度为 V 时， ；光源速度超过它发出的波的速度时，产生冲击波。 SRVC13.3 解题思路1 关于波函数的题目，基本是两类：一类是识别给定的波函数，即由给定的波函数的公式，求波的频率、振幅、波速和波长等。这时将给定的波函数和的波函数的标准公式加以对比，即可求得；另一类是已知条件，如某一质元的振动表达式，写出波函数。这时要注意“沿波的传播方向振
4、动逐点延缓”这一基本规律，求出延缓的时间 ，然后改写已知质元的振动表达式，既可写uxt出所求的波函数。在写反射波函数时，也要先计算从给定的质元到反射波中任一点的时间延迟，这时还要特别注意反射的情况。如果遇到波密介质（或固定点）而反射，需要计入半波损失，即在传播距离上要加（或减去）半个波长，或在波函数的相位的公式加或减 ；2 在计算波的能量或强度时，也要注意质元的振动速度 和波的传播速度dtyu 的区别。质元的动能决定于前者，而波的强度和波的速度有关；3 对驻波波函数，应注意到它是有一个振动因子 和一个随坐标周期cos性变化的因子 的乘积组成。由此可见制定各质元的振动频率、振幅和相2cos位随坐
5、标的分布。对于两端固定的弦上形成的驻波，应注意波长是“量子化”了的。由波长和弦中的波速，可求得波的频率。4 在计算由于多普勒效应而产生频率改变时，要注意公式中速度的符号，要注意区别发射的频率、波的频率和接受的频率的区别。13.4 思考题选答1 二胡调音时，要拧动上部的旋杆，演奏时手指压触弦线的不同部位，就能发出各种音调不同的声音。这都是什么缘故？答：拧动上部的旋杆是改变弦线的张力，而改变弦线中的波速，使对应于弦线全长（从千斤到码子）的弦的频率发生变化，以确定二胡标准基音。弦线的张力固定后，手指压触弦线的不同部位，就是改变弦线上的振动部分的长度，也就是改变弦线所发出的基音频率，即发出各种不同音阶
6、的声音。2 在有北风的情况下，站在南方的人听到在北方的警笛发出的声音和无风的情况下听到的有何不同？你能导出一个公式吗？答：在警笛是静止的情况下，北风只是改变了声波相对地面的传播速度。对于站在南方的人来说，他听到的警笛发出的声音的频率并无改变，若 为声波u在静止的空气中的声速， 为北风相对地面的速度；则在有北风的情况下，相v155对地面的声速为 。这时，警笛发出向南的声音的波长为 ，Tvu vu)(为其的周期。南方的人一个周期内接收到的声波波列的长度为 ，即波数为T1这就是他接收到的频率。13.5 习题精解13.1 一列平面简谐波表达式为 ，则该波的频率)(2sin05.SIxty（HZ） ，波
7、速 u（m/s）及波线上各点的振幅 A（m）依次为：（A） 、1/2、1/2、-0.05；（B） 、1/2、1、-0.05；（C） 、1/2、1/2、0.05；（D） 、2、2、0.05。 解：平面简谐波的标准表达式为： ，A=-0.05，)(cos0uxtAy；将两表达式进行对照 选(C)。TuT1,21,13.2 一列波沿 X 轴负方向传播，其振幅为 0.2m，频率为 50HZ，波速为30m/s。当 t=0 时，坐标原点处的质点为移为 X=0，且 V00，则此波的波函数为：（A） ；2)30(1cos2.0xty（B） ；（C） ；)(cs.xty（D） 。 2301o20解：标准表达式为
8、： （沿 X 轴负方向传播） ，当 t=0 时，)(cs0uxtAyX=0，V00，0/2）处，放一如图所示的放射面，且假设反射波的振幅为 A O L X则反射波的方程为： 。解：正向波方程： ，)(2cos0xtAy图 13.6t， ；0 )cs(xty反射波的方程为： ，波在波疏与波密媒质界面反射。24o(LtA13.12 一列平面简谐波，频率为 300HZ，波速为 340m/s，在截面积为的管内空气中传播，若在 10s 内通过截面积的能量为210.3mJ。求：（1）通过截面积平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）7波的平均能量密度。解：（1）通过截面积平均能流： ；13207.107.
9、 sJtWP（2）波的平均能流密度： 21223.9. mSI（3）波的平均能量密度： 14065.34019Juw13.13 一列平面简谐波沿 X 轴负方向传播周期为 T=1s，波长 =8m ，振幅A=0.1m，已知 X=/2 时，质点的振动初相为 /4，求：（1） 、/4 处质点的振动方程；（2） 、当 t=T/2 时，X=-/4 处质点的振动速度。解： ；=8m43,2,)(2cos1.0 000 xty在简谐波波函数： ；438.t（1） 代入波函数，可得质点的振动方程： ；4x )52cos(1.ty（2） 当 t=T/2 时，X=-/4 处质点的振动速度： smvtdtyty T
10、/4.0)in(.0),452sin(.0),5cos(.0 2/ 13.14 S1和 S2是波长均为 的两列相干波的波源，相距 3/4。S1 位相比S2超前 /2。若两列波单独传播时，在过 S1和 S2的直线上各点的强度相同，不随时间变化，且两波的强度都是 I0，则在 S1和 S2的连线上 S1左侧和 S2右侧各点，合成波的强度分别是：160（A）4I0，4I0； （B）0，0；（C）0，4I0； （D）4I0；，0。 解：已知 ，I0= ，依题意作图：波源 S1B 位于坐标原点43L21AuO，OS2=L， 研究 A 和 B 点处的合波强 IA和 IB： S1 S2（1） 、求 IB，设
11、， A O L B X21,rSr, ； )2cos(rty11, ； 图 13.722A02在 B 点处两列波的位相差为： ， 23.43,)( 12121212 rr即两列波传播到 B 点（S2 右外侧任一点）振动都是反相的，合振幅为零，故；0I（2） 、求 IA，如上图所示，令 ，同理可得：21,rASO 23.43,)( 12121212 r其振动都是同相，A=2A0，I=4I0，故（D）4I0，0；为正确答案。13.15 两列相干波源 S1和 S2的振动方程分别是 ，S121)cos(ytAy距 P 点 3 个波长，S2 距 P 点 4.5 个波长。设波传播过程中振幅不变，则它们同时
12、到达 P 点的振幅是： 。解：两列相干波源 S1和 S2的叠加，其振幅的大小决定于其相位差，反向、相互抵消，合振幅为零。3)35.4()(12 r13.16 两列波传播方向成 90，在两波相遇区域内的某点处，甲波引起的振方程是 乙波引起的振方程是 则在 t=0 时，),(cos.01SIty ),(3cos4.01SIty该点的振动位移的大小是： 。解法一 解析法：两列波传播方向成 90，即 ，212，振动频率相同、振动方向相同，即为相干波，321该点的合振动位移： 。mAA 5.04.30cos22121 解法二 图解法： Y A2161令矢量 位于 X 轴， ,3cos.01ity令矢量
13、位于 Y 轴， Y1 O A1 X 42jY2 图 13.8mA5.04.221 如图所示，Y1 沿 X 轴方向传播，Y2 沿 Y 轴方向传播，在两波相遇区域内的 O 点处相遇，则合振幅如图所示。图解法很形象地帮助我们理解题意，找出解题思路！13.17 如图所示，波源 S1和 S2发出的波在 P 点相遇， S1P 点距波源 S1和 S2的距离分别为 3 和 10/3， 为两列 3波在介质中的波长。若 P 点的和振幅总是极大值，则两列波 P的振动方向： ；振动频率是： ，波源 S2的相位比 S1 10/3的相位领先： 。 S2 解：两列波在相遇点 P 的叠加时，若振幅总是极大值， 图 13.9则
14、它们必须是相干波，即它们的振动方向相同、振动频率相同，有故定的相位差，且 ，3,10,212k，X1=3，X2=10/3，)cos(xtA， 。6,3212x 326)13(213.18、在均匀介质中，有两列余弦波沿 OX 轴传播，波动方程分别为：，试求 OX 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。解：根据同频率、同方向、固定相位差两列余弦相干波的叠加，其合振幅为： )/4cos(5)/4cos()2(cos22121 xAxAAA 当 ；,3210(,/4,)/4cos( ma kkxx即振 幅 为 最 大时当 ),(,4),12(/,1)/( xi即振 幅 为 最 小时故 Xmax和
15、Xmix为所求。13.19、如图所示，在平面波传播方向上，有一障碍物 AB。根据惠更斯原理，定性地绘出波绕过障碍物 AB 的情况。解：惠更斯原理指出：介质中波传播到的各点都可以看作开始发射子波的点波源，在以后的任一时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波前。据此作图如下：波线 波线162A AB B 波阵面 波阵面 波线图 13.9说明：图中实线为波线，虚线为波阵面。13.20 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动：（A） 、振幅相同，位相相同：（B） 、振幅不同，位相相同：（C） 、振幅相同，位相不同：（D） 、振幅不同，位相不同。 解：驻波波动方程为： ，两个相邻波 xAtxA2cos:,co
16、s2振 幅 为节间各质点的振动随着 X 的不同而不同；位相 t 相同。故（B）为正确答案。13.21 设声波在媒质中传播的速度为 u，声源的频率为 。若声源 S 不动，而接收器 R 相对于媒质以速度 VR沿着 S、R 连线向声源 S 运动，则位于 S、R 连线中点的质点 P 的频率为： （A） 、 ； （B） 、ssu（C） 、 （D） 、 。 sVusV解：声源 S 不动，Vs=0，波的频率就是波源的频率 ；接收器收到的频率s为 ，而不是质点 P 的振动频率，故（A）为正确答案。SRu13.22 两相干波源 S1和 S2的振动方程是 和 ，)2/cos(1tAy tAycosS1距 P 点
17、6，S2 距 P 点 13/4，两波在 P 点的相位差的绝对值是： 。解：根据两相干波叠加公式：。 521)64/13(201212 r13.23 如果入射波的方程是 ，在 X=0 处发生反射后)/(cos1xTtAy形成驻波，反射点为波腹，强度不变，则反射波的方程 ，在 X=2/3 处，质点振动的振幅等于： 。163解：入射波的方程是 ，表示波沿 X 轴负方向传播；)/(2cos1xTtAy在 X=0 处发生反射后形成驻波（反射点为波腹） ，反射波沿 X 轴正方向传播，则反射波的方程 ；又反射时强度不变，质点振动的振)/(2cos1xty幅等于 A。13.24 一列驻波中两波节的距离为 d=
18、0.5m，质元的振动频率为=1.0010HZ，则形成该驻波的两列相干波的传播速度 ；波长 。解：波节的位置为： ，两波节的距离为 d= ；,210,4)12(kx2所以 ， 。md0.5.2 smu/102313.25、由振动频率为 400HZ 的音叉，在两端固定拉紧的弦线上建立驻波。着列驻波有三个波腹，其振幅为 0.30cm,波在弦上的速度为 320m/s。（1） 、求此线的长度；（2） 、若以弦线中点为坐标原点，试写出驻波的方程式。解：（1） 、线的长度：；)8.0432(,2.14033 muTmuL （2） 、驻波的方程式： A=,8.,1.初相可由初始条件)cos().0(.3)co
19、s()( 1 txtxAy决定。 入射波 u13.26、一列平面谐波某时刻的波形，如图所示：波速 u 沿 X 轴正向传播，振幅 B D X为 A，频率为 。 （1）若以 B 点为 X 轴原点且此时刻 t=0，写出此波的波动方程；（2）图中 D 点为反射点，且为一节点。 图 13.20若以 D 点为 X 轴原点，且此时刻 t=0，写出此入射波的波函数和反射波的波函数；（3）写出合成波的波函数，并写出拨腹和波节的位置坐标。解：（1）若以 B 点为 X 轴原点，且此时刻 t=0，由图可知：质点 B 的初相 =（ ） ， ,1cos,)(cos: AuxtAy标 准 波 函 数 为波速 u 沿 X 轴
20、正向传播，所以此波的波动方程； ；)(2uxty（2）若以反射点 D 为 X 轴原点 y0=0，t=0，x0=0，沿 X 轴正向，V00， 2)(cos,cos,)(cos 1 tAVuxty 因反射点为节点，有半波损失 ，故反射波的波函数为：2/164（反射波沿 X 轴反向运动） ，2)(2cos2uxtAy（3）合成波的波函数、波腹位置和波节位置，txAuxtAty cos2in)(cos)(21 )(,2sin)2(coscs,o2cs ),4(2,)()( ,2,scosco Tuxxt xttxxt ，波腹位置：当| ,210,4)(,2)1(,1|2sin kxkx因为坐标原点在反射点，X0，所以波腹位置坐标为： ,453,x波节位置：当| ,210,2,0|2sinkxkx所以波腹位置坐标为： 313.27 一位观察者站在铁路旁，听到迎面而来的火车汽笛声的频率为440HZ，当火车驶过他身旁之后，听到汽笛声的频率为 392HZ。问火车行驶的速度为多大？（已知空气中声速为 330m/s）解：此题是研究现实生活中的多普勒效应现象： 观察者站在铁路旁（接收器静止）时， ，火车汽笛（波源）向接收SRVuv器运动时 VS取正值，远离时 VS取负值， 。)/(36)40921(3)1( smuRss
