1、39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念教学目标1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题3.
2、增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个路标 ，因为有了运算，向量的力量无限”的说法任务分析1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：（1）设 i，j 为 x，y 轴方向上的单位向量，则任一向量可唯一地表示为 xiyj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说 a（x，y）（2）任一向量可平移成 ， 一一对应点 A（x，y），从而可说 a（x，y）3. 在接触过 xOy 平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化
3、的过渡教学设计一、问题情景1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力 F1 和木块产生的垂直于斜面的压力 F2（如图）一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底对于平面上一个向量 a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数 x，y 使xiyj，
4、这样平面内任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，（ x，y）叫 a 的坐标，记作a（x，y）显然，i（1，0），j（0，1），0（0，0）若把的起点平移到坐标原点，即 ，则点 A 的位置由唯一确定设xiyj，则 的坐标就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x，y）也就是的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示2. 学生思考讨论已知 a（x 1，y 1），b（x 2，y 2），你能得出 ab，a b，a 的坐标吗？（x 1，y 1），b（x 2，y 2），x 1y 1，bx 2y 2（x 1x 2）i（y 1y 2）j ，（x 1x 2，y 1y
5、2）同理（x 1x 2，y 1y 2），（x 1，y 1）上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标三、解释应用例 题1. 已知 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），求 AB的坐标解：如图 39-3，AB （x 2，y 2）（x 1，y 1）（x 2x 1，y 2y 1）总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标思考：能在图中标出坐标为（x 2x 1，y 2y 1）的 P 点吗？平移 到 ，则 P（x 2x 1，y 2y 1）2. 已知 A（2，1），B（1，3），C（3
6、，4）（1）求 的坐标 （2）求 ABCD 中 D 点的坐标放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法（1）解法 1： （1，2）， （5，3）， （1，2）（5，3）（4，1）解法 2： （4，1）（2）解法 1：设 D（x，y）， ，即（1，2）（3x，4y），xy2，D（2，2）思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法 1 是间接的思想，即方程的思想，解法 2 是直接的思想）3. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，2），点 B（2，4），求向量 的方向和长度解：由已知，得 （3，2）， （2，4）设 ，则 （3，2）（2，4）（1，6）由两点的距离公式，得
7、设 相对 x 轴正向的转角为 ，则查表或使用计算器，得 8032答：向量 的方向偏离轴正向约为 8032，长度等于 ，向量 的方向偏离 x 轴正向约为 11634，长度等于 2 练 习1. 已知 a（2，1），b（3，4），求 3a4b 的坐标2. 设 ab（4，3），ab（2，1），求 a，b解法 1：2a（4，3）（2，1）（2，2），2b（4，3）（2，1）（6，4），a（1，1），b（3，2）解法 2：设 a（x 1，y 1），b（x 2，y 2），则3. 已知（1，1），（1，1），（1，2），试以，为基底来表示解：设 ck 1ak 2a，即（ 1，2）k 1（1，1）k 2（1 ，
8、1），即（1，2）（k 1k 2，k 1k 2），四、拓展延伸1. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），求线段 AB 中点的坐标解：设点 M（x，y）是线段 AB 的中点（如图 39-5），则 （ ）将上式换为向量的坐标，得（x，y） （x 1，y 1 ）（x 2，y 2 ）即 .这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式2. 对于向量 a，b，c ，若存在不全为 0 的实数 k1，k 2，k 3，使 k1ak 2bk 3c0，则称a，b，c 三个向量线性相关，试研究三个向量 （3，5）， （0，1），（3，4）是否线性相关解法 1：显然有 0，三者线性相关解法 2：由 k1 k 2 k 3 0，即 k1（3，5）k 2（0，1）k 3（3，4）0，即（3k 13k 3，5k 1k 24k 3）（0，0），取 k1k 2k 31，则 0，故三个向量线性相关点 评这篇案例设计完整，思路自然由斜边上物体所受重力的分解，联想到向量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础
