1、52 平面向量基本定理及坐标运算 一、 【教学目标】重点：掌握用基础向量表示其它向量的方法,掌握用坐标进行平面向量的加法，减法与数乘运算难点：用平面向量解决几何问题时，隐含的三点共线条件的应用能力点：培养学生的数形结合思想，转化思想和分类讨论思想，提高分析问题、解决问题的能力教育点：通过平面向量基本定理把向量和坐标联系起来，培养学生辩证唯物主义观点，通过向量两种形式的线性运算，提高学生思维的严谨性自主探究点：1平面向量基本定理的内容，应用；2恰当选择基底表示其它向量；3平面向量基本定理和向量共线定理的综合应用；4向量的坐标运算考试点: 平面向量的线性运算包括几何形式的运算和坐标形式的运算易错点
2、：向量的夹角和三角形的内角范围区分易混点: 向量共线的充要条件和向量垂直的充要条件拓展点: 使学生进一步提高运用转化的观点来解决问题的自觉性，体会消元思想、数形结合思想和分类讨论思想等二、 【知识梳理】1平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，12,e a_一对实数 ， 使 _12a其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组_,e（2）两个向量的夹角已知两个 _向量 ，在平面内任取一点 ,作 ， ，则a,bOAaBb叫做向量 与 的夹角（如图）AOB0ab向量夹角 的范围是_，当 _时，两向量共线当 _时，两向量
3、垂直，记作 （3）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解（4）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ，作为xy,ij基底，对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 ，a x，使 ，这样，平面内的任一向量 都可由 ， 唯一确定，把有序数yxya=i+j axy对_叫做向量 的坐标，记作 _，其中_叫做 在 轴上aaax的坐标，_叫做 在 轴上的坐标y设 ，则向量 的坐标 就是_的坐标，即若OAxijOA,xy，则 点坐标为_，反之亦成立（ 是坐标原点） ,y O2平面向量的坐标运算（1）向量的
4、加法和减法若 则122,xyab_,ab_,ab（2）实数与向量的乘积若 则,yR（3）向量的坐标若起点 终点 则 1,Ax2,Bxy_,_AAB3平面向量共线的坐标表示设 ，其中 ， _ 12,yab0ba /三、 【范例导航】例 1.如图，在平行四边形 中， 分别为 ， 的中点，ABCD,MNDCB已知 ， ，试用 , 表示 ， AMcNdcA【分析】选出平行四边形的两个邻边表示的向量为基底，其它向量用基底表示解方程得到【解答】方法一 设 ， Bab则 12ANadMDbca将代入得 1()2adca 代入43d得: 12()23bccd ,3ABdAD方法二 设 ， ABaDb因为 分别
5、为 DC，BC 的中点所以 , ,MN12BNbDMa因而 ,213adccbd即 ,23ABc23ADcd【点评】 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算变式训练：1 如图,平面内有三个向量 ,其中 与 的夹角为 ，,OABCAOBo120与 的夹角为 ，且 ，OACo30123若 则 的值为_(,)R答案： 6例 2已知点 ， ， ， ，0,O1,2A4,5B12OPtAB(1)求点 在第二象限的充要条件P(2)证明：当 时，不论 为何实数， 三点共线1t2t,(3)试求当 满足什么条件时， 能组成一个平行四边形2, ,【分析】本题的关键是写出相关向量的坐标,利
6、用坐标结合相应位置关系确定结果【解答】(1)解： ， 121212,3,3OPtttt在第二象限的充要条件是 有解 且120t2123tt0(2)证明： 当 时，有 ， ，1tPOAB2PtA不论 为何实数， 三点共线2,(3)解：由 ，得点 ,1123,OPtt12123,tt 能组成一个平行四边形有三种情况：,ABCBO A 当 ，有 ；OABP12345t12t当 ，有 ；123t120t当 ，有 OPBA12t12t【点评】1向量坐标化才能有利于代数运算；此外，如何运用平行四边形的性质，找解决问题的切入口2向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思
7、想求解变式训练：2已知 ， ， ，且 ， ，试求点 ，,4A3,1B,4C=3MCA2NBM和 的坐标NM答案： ， ，2, =1863CAB又 ,42N又设 ，则 ，,Mxy,43,2xy 34,02.M同理可得 ，因此 99,18N所求 ， , 0, 例 3 平面内给定三个向量 ,请解答下列问题：3,4abc（1）求满足 的实数 ；mnc（2）若 ，求实数 ；2k/ k（3）若 满足 ，且 ，求 d()()ab5dcd【分析】 （1）把坐标带入利用向量相等的充要条件列方程组求解；（2）利用向量共线的充要条件列方程；（3）把两个条件转化为坐标形式的方程组求解【解答】 （1）由题意得 ，所以
8、，3,21,4,mn432mn得 598mn（2） 34,2,5,2kkacba ,()()/340k 163k（3）设 , ,1xyxydc24ab由题意得 ,22405解得 或 ，31xy5 或 ,d,【点评】 （1）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合（2）根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用变式训练：3已知 1,02,ab（1）求 ；（2）当 k 为何实数时， 与 平行，平行时它们是同向还是反向？kab3【答案】 （1） 358（2） ,此时向量 与 方向相反1kkab四、 【解法小结】1在解决具体问题时，合
9、理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多，处理问题时要关注隐含的三点共线问题2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 ，点 的位置被 所唯一确定，OAaa此时 的坐标与点 的坐标都是 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一aA,xy一对应的，即向量 、向量 、点 相互一一对应要把点的坐标与向a,xy量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 ， 则 1,2A3,4B2,A五、 【布置作业】必做题： 1(20
10、13 年高考山东文 15)在平面直角坐标系 中，已知 ，xoy1,Ot若 ，则实数 的值为_ 2,OB90ABOt2(2013 年高考山东理 15) 已知向量 ， 若 ，且3AB2CAPBC，则实数 的值为_ APC3已知向量 ， ， ， ，且 ，则实数 的值为1,2a,1xb2uabva/uvx_ 4设 ， ， ， ， 为坐标原点，若,O,B,0OC,0bO三点共线，则 的最小值是_ ,ABC12ab5如图所示， 是 内一点，且满足PA23,PABC设 为 延长线与 的交点，令 试用 p 表示 QB,Q必做题答案:1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5711285解： 设 PABa,b,由已知条件
11、 ,CPAB即 ，32p,Qa+b1PAPABB,又由平面向量基本定理得 解得 ，因此 32PQCp选做题：1.（2010 杭州模拟）在 中， ， ， 若点 满足 ，则ABCcAbD2BC_AD2已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点的1,03,1,5坐标3如图所示，在 中，点 是 的中点过点 的直线分别交直线 、ABCOOAB于不同的两点 、 ，若 ， ，则ACMNmACnNmn的值为_4已知向量 ,若点 能构成3,46,35,3BABC又三角形，则实数 满足的条件是 _ m5已知点 , , ,且 ,0O12AOPAt（）当 取何值时，点 在 轴上运动？点 在 轴上？点
12、在第二象限?tPxyP（）四边形 能否成为平行四边形？若能求出相应的 值；若不能，请说明理由Bt选做题答案:1 ； 2 或 或 ； 3bc3,5,1,53 ； 4 12m5 （） ，若 在 轴上，只需 ，3,OPAtBtPx230t ；若 在 轴上，只需 ， ；若 在第二象限，只需32ty1031t, 01t31t（） 若四边形 为平行四边形，则(, 2) (, 3t)OAPBtOABP，PB由于 无解，故四边形 不能构成平行四边形231tAP六、 【教后反思】本教案的亮点：1向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而利用向量解决平面几何中的许多相关问题2在向量的运算中注意了待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用本教案的不足：1向量的夹角和三角形的内角的区别与联系没有举例巩固2应强调若 ，则 的充要条件不能表示成 ，因12,xyxya=ba /b12xy为 有可能等于 ，所以应表示为 2,xy01210xy
