1、1,医学信号处理,参考教材：刘海龙编著，生物医学信号处理，化学工业出版社教师：任小梅,2,本课程主要内容 一、随机信号的特征和描述方法； 二、随机信号及线性时不变系统； 三、信号检测和信号的参数估计； 四、功率谱估计； 五、自适应滤波； 六、匹配滤波； 七、维纳滤波和卡尔曼滤波； 八、小波变换和小波滤波；,3,第一章 绪论 一、生物电现象 二、生物医学信号的特点； 二、生物医学信号处理系统框图； 三、干扰和噪声； 四、确定信号的描述方法。,4,动作电位,5,生物子系统,信号变换子系统,信号放大子系统,信号记录及显示子系统,模数及数模转换子系统,计算机子系统,6,第二章 随机信号的 特征 和 描
2、述方法Random signal Representation,7,2.1 基本概念,随机过程：随某些参量变化的随机变量称为随机函数。通常将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机信号。自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程和随机过程 确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描绘。 随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的过程。,8,随机过程的定义：定义1：设随机试验的样本空间为S=ei，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数X(t, ei) 与之对应;对于空间的所有样本 ，可有一族时间函数X(
3、t,e)与其对应，这族时间函数称为随机过程，简记为X(t)。,定义2：设有一个过程X(t)，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t)为随机过程。,9,2.1.1 随机过程的分类,1) 按照时间和状态是连续还是离散来分类：连续型随机过程随机过程X(t)对于任意时刻 ， X(ti)都是连续型随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随机过程为连续型随机过程。,连续随机序列随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列。,10,离散随机过程随机过程X(t)对于任意时刻 ， X(ti)都是
4、离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。,离散随机序列对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字信号。,11,12,2) 按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和非平稳随机过程。,13,平稳随机过程随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，如白噪声。否则，就是非平稳随机过程，如脑电信号。 平稳随机过程还有弱平稳和强平稳之分。前者只有一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、功率谱密度等）具平稳特性；后者则任何阶统计特性都具平稳特性。 平稳随机过程又分为各态遍历的随机过程和一般平稳随机过程。,14,各态遍历随机过程所有样本
5、在固定时刻的统计特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平稳随机过程。非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把它看成分段平稳的“准平稳”过程，所以，平稳过程的分析方法是研究非平稳过程的基础。信号还可以分为功率信号和能量信号，随机信号一般属于能量无限、功率有限的功率信号。,15,2.1.2 随机信号的性质 随机信号是普遍存在的。 1、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的随机变量； 2、信号可以用它的统计平均特征来表征。,16,2.2 随机信号的表示法,图中每一条曲线代表随机信号的一个样本。,17,为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随机信号各个
6、时刻取值的高阶概率密度函数，即每一时刻一阶概率密度函数p(xi,ti)每一时刻二阶概率密度函数p(xi,xj,ti,tj)每一时刻三阶概率密度函数p(xi,xk,xj,ti,tk,tj),等等。 采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处理计算太繁琐，很少采用。 通常用一阶、二阶统计特征描述，如均值、均方、自相关函数、功率谱等。,18,概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随机变量取值的统计特性。,2.2.1 概率密度函数,随机过程的概率分布函数 1. 一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。,19,若 的一阶偏导数存在
7、，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。,20,2. 二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量X1,X2，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。,若 对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。,21,对于任意的时刻t1,t2, tn， X(t1),X(t2), X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。,为随机过程X(t)的n维概率密度。,22,随机过程X(t)和Y(t)的
8、四维联合概率密度,23,概率密度函数完整地表现随机变量和随机信号的统计特性，但是信号经处理后往往很难求其概率密度函数。处理后信号也并不需要了解其全部统计特性，这时只需了解随机过程在某一时刻的平均值和实际值相对于这个平均值的分散程度，所以可以引用随机变量的均值、方差等数字特征。,2.2.2 统计特征量,24,1. 均值：反映随机过程在各时刻的平均值。对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即,数学期望就是t时刻所有样本的总体均值，当过程平稳时，均值与时间无关，为常数。如果平稳过程各态遍历，总体均值将等于时间均值，此时均值可根据单
9、样本求得。,25,2. 均方值：即全部样本集合在固定时刻的平均平方值。,对各态遍历过程，均方等于时间均方，反映的是随机信号的平均功率。,26,3. 方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为DX(t)，即,27,28,数字特征表示单一时刻随机变量的特征，自相关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。,2.2.3 自相关函数和协方差函数,29,自相关函数t1时刻随机变量X(t1)和t2时刻随机变量X(t2)乘积的统计均值。设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，pX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概
10、率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数。,30,自相关函数的性质：,对于平稳随机信号，有：,31,自协方差函数把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相关函数。设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函数,对于平稳随机信号，有：,32,当 时， 当 时，,33,若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。,若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。,34,若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。
11、,35,2.2.4 互相关函数和互协方差,有时需要同时观察几个信号。当研究几组随机信号的相互关系时，需要采用联合统计特征来描述。广义联合平稳如果二维联合概率密度函数f(x,y,t1,t2)不依赖于时间原点的位置，只与时间差=t1-t2有关，则称此两过程是广义联合平稳的。,36,互相关函数说明两个随机信号X、Y在不同时刻取值之间的关联程度。设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为,互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依赖程度。,37,互协方差函数从信号X和Y中去掉均值再做互相关函数，所
12、得结果称为互协方差函数。定义两个随机过程的互协方差函数为,38,若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有,若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有,39,当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时， X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。,40,2.3 随机信号频域表示,随机信号持续时间往往是无限的，且是非周期信号，其性质上属于功率信号。其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度。,41,自相关函数和自谱密度函数构成一对
13、傅立叶变换对。自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显示了随机过程的频率结构。实际应用中，-f不可能出现，所以往往处理成单边谱。双边谱Sx(f)与单边谱Gx(f)的关系为：,自功率谱密度函数,42,互谱密度互相关函数的傅立叶变换为互谱密度。,43,2.4 离散时间随机信号,随机信号的采样定理：如果随机信号x(t)的功率谱是限带的，其最高频率成分为fmax，当采样间隔Ts1/(2fmax)时，则采样值的加权和,可以保证：,即 在均方误差意义下收敛于x(t)。,44,数学特征是时间n的函数（物理意义）： 1：均值（数学期望） 2：方差 3：均方值,45,（4）自相关函数 （5）自协方差函数
14、：“集合平均”，该集合平均是由X(n)的无穷样本在相应时刻对应相加（或相乘后再相加）来实现。,46,（6）互相关函数 （7）互协方差函数 如果 称信号X和Y是不相关的 。可得：,47, 2.5 常见分布,2.5.1 常见的离散型分布 一. 两点分布如果随机变量X的分布为则称X服从两点分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为01分布。,48,二. 二项分布 设随机试验E只有两种可能的结果 且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事 件A发生m次的概率为称为二项分布。,49,三. 泊松分布 设随机变量X的可能取值为0,1,2,且分 布密度为则称X服从泊松分布。,50,2.5.2 常见的连续分布 一
15、. 均匀分布 设连续型随机变量X在有限区间a,b内 取值，且其概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布。,51,随机变量X的分布函数为,52,一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：,二. 高斯分布,概率分布函数,53,对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令 ，归一化后的概率密度为,54,服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为,服从 的高斯变量Y，其特征函数为,55,（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且,特点：,（2）高斯变量之和仍为高斯变量。,56,推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即 若Xi服从 ，则其和
16、的数学期望和方差分别为,57,若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布无关。,（3）中心极限定理,结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。,58,三. 分布,1) 中心 分布若n个互相独立的高斯变量X1, X2, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和的分布是具有n个自由度的 分布。,59,其概率密度为,60,当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是 时，Y的概率密度为,性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别
17、为n1和n2，其和的自由度为n= n1+n2。,61,2) 非中心 分布若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,n)的方差为 ，数学期望为 ，则为n个自由度的非中心 分布。,62,其概率密度为称为非中心分布参量,63,例2. 1 随机相位正弦序列,式中A,f均为常数，是一随机变量，在02内服从均匀分布，即,显然，对应的一个取值，可得到一条正弦曲线（因为在02内的取值是随机的，所以其每一个样本x(n)都是一条正弦信号）。求其均值及其自相关函数，并判断其平稳性。,64,解 由定义，X(n)的均值和自相关分别是：,65,由于 及 所以随机相位正弦波是宽平稳的。,66,例2. 2 随机振幅正弦序列如下式
18、所示：,式f中为常数，A为正态随机变量，A：N(0,2) ，试求X(n)的均值、自相关函数，并讨论其平稳性。,解 : 均值,对于给定的时刻n，,为一常数，所以,67,自相关函数,由此可以看出，虽然X(n)的均值和时间无关，但其自相关 函数不能写成,的形式，也即,和,的选取位置有关，所以随机振幅正弦波不是宽,平稳的。,68,例2. 3 讨论例1. 1随机相位正弦序列的各态遍历性。(不要求）,解: 对,，其单一的时间样本,，,为一常数，对,作时间平均，显然,69,由于上式是对n求和，故求和号中的第一项与n无关，而第二项应等于零，所以,这和例1. 1按集合平均求出的结果一样，所以随机相位正弦波既是平
19、稳的，也是各态遍历的。,70,1、产生长度为200的随机序列和正弦或余弦序列以及上述随机序列和正弦序列之和； 2、计算它们的均值、均方、方差、相关函数（包括自相关rxx(0)、rxx(1)和互相关rxy(0)、rxy(1)等）。 3、设x(n)和y(n)是有限长序列，x(n)=1,0.1,-1,0.1, y(n)=0.1,1,0.1,-1，计算这两个序列的线性相关函数和四点循环相关函数。(循环相关不做）,作业,71,4、考虑两个谐波信号x(t)和y(t)，A、c为正的常数，为均匀分布的随机变量，其概率密度为B是一个零均值和单位方差的标准高斯随机变量，其分布函数为,72,求（1） x(t)的均值、方差、自相关函数和自协方差函数；（2）若和B相互独立，求x(t)和y(t)的互相关函数和互协方差函数。5、随机信号x(t)具有零均值和功率谱20，求x(t)的自相关函数和功率。,
