1、5.6 指數成長與衰減,5.6 指數成長與衰減,學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。,P.5-38,第五章 指數與對數函數,指數成長與衰減,本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。,P.5-38,第五章 指數與對數函數,指數成長與衰減,P.5-38,第五章 指數與對數函數,在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。,指數成長與衰減（證明）,P.5-38,第
2、五章 指數與對數函數,因為 y 的變化量與 y 成正比，所以顯然 y Cekt 為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt kCekt ，再代入方程式也得,學習提示,在模型 y Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t 0 時，y Cek(0) C(1) C。,P.5-38,第五章 指數與對數函數,應用,放射性物質的衰減是以半衰期 (half-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列鈾 (238 U) 4,470,000,000 年鈽 (239 Pu) 24,100 年碳 (14 C) 5,715 年鐳 (226 Ra) 1,599 年鑀
3、 (254 Es) 276 天鍩 (257 No) 25 秒,P.5-39,第五章 指數與對數函數,範例 1 放射性物質衰減的模型,某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？,P.5-39,第五章 指數與對數函數,範例 1 放射性物質衰減的模型 （解）,令 y 表示在樣本中的鐳物質 (公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y Cekt，其中 t 為時間(年) 。已知當 t 0 時 y 1，代入模型可得 1 Cek(0) 以 1 代入 y，0 代入 t因此 C 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t 1599 時y 1/
4、2，再代入模型即可解得 k。,P.5-39,第五章 指數與對數函數,範例 1 放射性物質衰減的模型 （解）,所以 k 0.0004335，故指數衰減模型為 y e0.0004335t。 若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t 1000 代入模型，經計算可得 y e0.0004335(1000) 0.648 公克即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。,P.5-39,第五章 指數與對數函數,範例 1 放射性物質衰減的模型 （解）,P.5-39 圖5.18,第五章 指數與對數函數,檢查站 1,以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需
5、的時間。,P.5-39,第五章 指數與對數函數,應用,請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k的正確值可得這個公式清楚地顯示半衰期：當 t 1599，y 值為 1/2，當t 2(1599)，y 值為 ，以此類推。,P.5-39,第五章 指數與對數函數,應用,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 2 數量成長的模型,研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 2 數量成長的模型 （解）,令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t 2 時，y 100
6、和當t 4 時，y 300，代入模型 y Cekt 得 100 Ce2k 和 300 Ce4k若要解 k，先解出第一方程式中的 C，再代入第二方程式。,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 2 數量成長的模型 （解）,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 2 數量成長的模型 （解）,因為 ，可得 C 100/e2(0.5493) 33。即指數成長模型為y 33e0.5493t如圖 5.19 所示。所以，5 天後果蠅的數量有y 33e0.5493(5) 514 隻,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 2 數量成長的模型 （解）,P.5-40 圖5.19,第五章 指數與對數函數
7、,範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。,P.5-40,第五章 指數與對數函數,代數技巧,檢查站 2,如果果蠅數量兩天後有 100隻，四天後有 400隻，求其指數成長模型。,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 3 複利的模型,在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 3 複利的模型 （解）,以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型A Pert 指數成長模型其中 P 為原始存款值，r 為年利率 (以小數表示) 且t 為時間 (年)。已知 t 6 時，A 2P，如圖
8、 5.20 所示，即可解得 r。,P.5-40,第五章 指數與對數函數,範例 3 複利的模型 （解）,P.5-40 圖5.20,第五章 指數與對數函數,範例 3 複利的模型 （解）,所以，年利率為或者大約 11.55%。,P.5-41,第五章 指數與對數函數,檢查站 3,已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。,P.5-51,第五章 指數與對數函數,應用,本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型 y Cabt也可以是指數成長模型 (因為該模型可寫成 y Ce(ln a) bt)。在某些實際生活的例子，不以 e 為底數反而較
9、方便。,P.5-41,第五章 指數與對數函數,應用,譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下也吻合範例 1 的結果。,P.5-41,第五章 指數與對數函數,學習提示,是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為 ？注意：當t 1599 時，y 值為 1/2，當t 3198 時，y 值為 1/4，以此類推。,P.5-41,第五章 指數與對數函數,範例 4 銷售量模型化,在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化，再
10、過四個月後的銷售量為何？,P.5-41,第五章 指數與對數函數,範例 4 銷售量模型化 （解）,令 y 為 MP3 的銷售量，t 為時間 (月)，並考慮指數衰減模型 y Cekt 指數衰減模型從已知條件可知當 t 0 時，y 100,000，即100,000 Ce0,P.5-41,第五章 指數與對數函數,範例 4 銷售量模型化 （解）,所以 C 100,000。若要解 k，則須利用當 t 4 時，y 80,000 的條件，所以,P.5-41,第五章 指數與對數函數,範例 4 銷售量模型化 （解）,則 ，所以此模型為y 100,000e0.0558t再過四個月 (t 8)，銷售量將衰減為y 100,000e0.0558(8) 64,000 台 MP3如圖 5.21 所示。,P.5-41,第五章 指數與對數函數,範例 4 銷售量模型化 （解）,P.5-41 圖5.21,第五章 指數與對數函數,檢查站 4,根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？,P.5-42,
