1、常微分方程习题 李立康习题1.用 Euler 方法求初值问题 0)(21ut在 时的近似解（取 ） 。1t4h2.初值问题 130u()有解 。但若用 Euler 方法求解，对一切 和 ,都32/u(t)t NT,HTh只能得到 ，试解释此现象产生的原因。Nt,.103.用 Euler 方法计算 1)0(u在 处的值，取 ，将计算结果与精确值 相比1t6和41h e）1（u较。4.设 满足定理 2.1 的条件，对改进 Euler 法（2.10 ）式证明：),(utf（1）其局部截断误差为 ；)(1243hOtuh（2）当 时，其整体截断误差满足：1hL )1(22LtnlTmehRe（3）方法
2、具有二阶收敛速度且稳定。5.导出用改进 Euler 法求解 1)0(u计算公式 mmhu2取 计算 的近似值，并与习题 3 的结果比较。41h)(u6.就初值问题 0)(ubat分别导出用 Euler 方法和改进 Euler 法求近似解的表达式，并与真解相比较。btau27.证明改进 Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面 。0)Re(h8.对初值问题 1)0(2u用 的 Euler 方法求解，求出实际计算值 与真解 在41h tut1处的误差，并将它与定理 2.3 的估计式（2.22）式相比较。)(u9.证明：Runge-Kutta 方法中 关于 满足 Lipschitz 条件);,(h
3、utu或t的充分条件是 关于 或 满足 Lipschitz 条件。),(utf10.证明定理 2.6.11.证明定理 2.7 的推论（推论 2.1）：“ 级 Runge-Kutta 方法相N容的充分必要条件是 ”。Nic112.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令，则可将 取为utfuftg),();,(hut，),(32),(; utfgh证明这是一个二阶的单步方法。提示：利用 Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。13.证明三阶 Runge-Kutta 方法23 121 32143,),()49khutfkutfkkkhmm对于求解微分方程 tu与三阶
4、Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。14.对 Heun 二阶方法（2.10）式作出如图 2.3 那样的几何解释。15.用 Taylor 级数法求方程 1)0(u的 的近似值（取 ） ，并说明近似值精度情况。)2,0(1u4q16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。 （取 为参数）017.求具有最高阶的三步方法的计算格式。18.设 无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充)(,分必要条件是 )1(2)1(,1019.证明：与算子 相应的线性多步方法 阶相容的充分必;htuLq要条件是 ,.10,nn而 此时误差常数为.0;1htLq)!(11cqq20.讨论最高阶的两步方法（Miln
5、e 方法（2.69 ）式）和最高阶的三步方法（习题 17）的稳定性。21.检验四步方法 4421883mmmhu(fff)是否收敛。22.证明：方法 mmmmm fhfhu6)42(6211 的阶为二23.推到计算格式 221212 , mmmmmm uhuhu的系数 使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。,124.讨论最高阶三步方法（习题 17）的绝对稳定性。25.讨论多步方法 )(32)( 12121 mmmmm fahuua当 取那些值时是稳定的；当 取那些值时有绝对稳定区域非空。aa26.在两步三阶方法 yuffhuu mmmm 5)12(4)2(55134000 中，讨论当 在什
6、么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝0对稳定区域在实轴上的范围是 ，求 的值。,ba27.用公式（2.101）推到 和 时的 Gear 方法。3k428.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数：（1） （向后 Euler 公式） ；11mmhfu（2） ；m2342（3） 和 时的 Adams 外插公式和内插公式。k29.证明：一步 Gear 方法（习题 28 之（1） ）和两步 Gear 方法（2.102）式都是 A-稳定的。30.求一级、二级隐式 Runge-Kutta 方法（2.116）式、 （2.117 ）式局部的截断误差项。31.证明：（2.116）式（2.1
7、17）均为 A-稳定的方法。计算实习1.编一个用 Euler 方法解atuf)(,0 Tt0的程序，使之适用于任意右端函数 ，任意步长 和任意区间 。h,0Tt用 分别计算初值问题16,84h .0615)0(4,(ut在结点 上打印出问题的精确解（真解为6,.10(i） 。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，teu6)分析输出结果（这与获得输出结果同样重要） 。2.编一个与上题同样要求的改进 Euler 法的计算程序， 的初值1mu用 Euler 方法提供，迭代步数 为输入参数。用它求解上题的问题，s并将两个结果加以比较。3.编一个程序用 Taylor 级数法求解问题.1)0(,ut
8、取 Taylor 级数法的截断误差为 ，即要用 的2hO )(),.(20tutu值。提示：可用一个简单的地推公式来获得 。31)(n4.用四阶古典 Runge-Kutta 方法（或其他精度不低于四阶的方法） ，对 时的标准正态分布函数：0xrtxdex020,11)(产生一张在0,5 之间的 80 个等距结点（即 ）处的函数值表。16h提示：寻找一个以 为解的初值问题。 )(x5.（一个“ 刚性”的微分方程）用四阶古典 Runge-Kutta 方法阶初值问题： ,0)(,301512utt取 每隔 8 步打印出数值解与真解的值 ，画出它.1h tu2)(们的大致图像，并对产生的结果做出解释。
9、提示：当初值 时，方程的真解变为 。)0(u ttu2)(6.分别用 Adams 三步和四步外插公式，用 求解16h1)0(30,7482utt将计算结果与真解 t 进行比较，并对所产生的现象进20et行理论分析。7.用 Adams 三步内插公式预测、 Adams 四步外插公式校正 次的预- 校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原因。8.对（1.3 ）式所示的 Lotka-Volterra“弱肉强食”模型，令即,53,503,12,4 0 yxtkdlekr.5)0(,324yxtx50x（1）取 ，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结41h果至少有三位有效数字
10、。作出 的图像及 关于 的图像。)(,tyxyx（2）对 解这同一个模型，分别画出 关于 的函5.2,1)0(y数图像。（3）讨论所获得的结果并分析原因。提示：注意 平面上的点（3,2） ，它被称为平衡点。xy习题 抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式： u)1(的截断误差，并证明当 时，截断误差的阶达到最高，为r2。)(42hO2.求 Richardson 格式的改进形式 Dufort Frankel 格式：huua2的截断误差。3.讨论双向加权对称格式： 22126512 huhuauu 的截断误差。4.用分离变量法求古典隐格式（5.36）的差分真解。5.用分离变量法对六点对称格式（
11、3.38）推导其差分方程的真解。6.利用题 4 和题 5 的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。7.列出求解： .0),1(0 ,0()1,)(102tuox Ttxaaa的古典显格式，并证明当 时格式是稳定的。21ha8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）：（1）当 时，是绝对稳定的。12（2）当 时，稳定条件为 。0)21(r9.证明：题 3 所给出的双向加权对称格式是绝对稳定的。10.证明：题 1 所给出的三层差分格式是绝对稳定的。11.证明：用最大模方法和传播因子法证明题 8 的结论。12.证明半隐格式： 是 偶 数是 奇 数jhuuauij
12、ijijijiji jijijijijiji ,2111 1是绝对稳定的。13.证明（ Von Neumann 条件为充分条件的）定理 5.14 中的情况（6）的情况（7） 。14.证明： DuFort-Frankel 格式（5.86）绝对稳定。提示：利用上题的结果15.用分离变量法证明求解波动方程的三层加权格式（5.123）（1）当 ，格式是绝对稳定的。214（2）当 ，格式稳定的条件是 。041r16.将“ 跳蛙”格式（5.118）推广到求解线性双曲型方程组（5.136） ，请写出相应的计算格式，并讨论其稳定性。提示：利用定理 5.14 中的情况（6 ）17.导出 F-L 格式（5.140
13、 ）和 L-W 格式（5.141）的增长矩阵，从而说明 4.4 中所给出的稳定性条件是正确的。18.建立求解二维扩散方程的 DuFort-Frankel 格式，并证明其绝对稳定性。19.用直接法证明：阶二维扩散方程的六点对称格式是绝对稳定的。20.将局部一维格式推广到三维情形，并证明他的绝对稳定性。提示：此时，延拓后的 的特解可取为 这里),(zyxu ea)(。,),(321x21.写出空间变量时三维情形时对应于格式（5.158）的计算格式。22.对格式（5.158）和（5.159）导出类似于题 8 的稳定性条件。计算实习1. 对定解问题： 0),(,1,0()2xutT若在 处有一个扰动
14、，取 分别用古典显格式和)0,21(u102,216rhRichardson 格式计算 8 层：（1）打印出第 8 层上个结点处的计算值。（2）预测继续算下去计算值的变化趋势。（3）分析上述趋势产生的原因。2.用古典显格式求解定解问题： .)12sin()0,0,(,2xkxutT分别取 和 ，取 ，计算 1020 层：52t316h（1）对固定的 ，比较 和 时计算值的差别；k52r3（2） 分别取 观测稳定和不稳定格式的计算值随初始函,4321数变化的情况。3.改用 DuFort-Frankel 格式（5.86）算出实习题 1 在第 8 层上的值，并与 Richardson 格式的计算值作
15、比较。4.任选一种差分方法求自由振动问题).,2(0,sin0022tuxxut的周期解，求出 处一个周期的计算值。1t5.对定解问题： 0),1(01,2,0()1,02tuxx Ttxuatu分别用表 5.13 的左偏显式和中心显式，取 分别为 和rh,1653分别为 计算 10 层，并分析所得到的计算结果，说a,52)3,210(4n说从中可获得什么规律性的东西。6.用 分别为 和 的古典显格式计算rh,165460),1(0,)12sin(22tuxkxxTu，比较计算结果间的差别。)5,4321(k习题 椭圆型1.用二阶 Gear 公式导出区间左端的第三类边界条件：)(au的类似（3
16、.8）式的差分形式。2.用极值原理证明：当差分方程组（3.13）的两个边界条件都是第一类或都是第三类时，相应的差分方程组的解仍存在且唯一。3.用 “不可约对角占优矩阵必定非奇”的结论证明第 2 题。4.证明：若将差分方程组（3.13）左端点的条件也改为第三类边界条件，则差分解收敛于原微分方程的解，且收敛速度亦是 。)(2hO5.证明：采用差分格式（3.31） ， （3.32）求解微分方程（3.20 ）时，其截断误差满足估计式（3.33） 。6对九点差分格式（3.34 ）证明余项（3.35）式。7.用积分守恒公式在矩形网格或三角形网格上构造逼近方程： Gyxfyupxupup ),()()()(
17、的五点差分格式，这里 .0,8.证明：当取所有三角形单元为相同的直角三角形时，在内点上按2.3 的方法导出的差分格式恰为2.1 中的污点差分格式。9.对边长为 的正三角形组成的网格的内点证明公式（3.47） 。h10.对正六边形（边长为 ）网格的内点导出 Poisson 方程相应的h差分格式。11.证明：三角形网格上的 Poisson 方程的第一或第三边值问题的差分格式的系数矩阵对称。12.对 Laplace 方程：,)1(,)1(022xuyu取 做矩形部分，请用五点差分格式求出内点处 的近似值。21h )(yu13.记 是 平面上以 为顶点的六边形区域，XYO)0,3(21是其边界，以边长
18、为 2 的正三角形对 做剖分，将 4 个内点从（1,0）起按顺时针方向依次编为 1,2,3,4 用差分法求方程),(2),(02yxyxu在结点 处的近似解i431i14.对方程 1)(0,02uxd取 ，令 为 的差分解 ，求出 。同2.0hiu)(ihxi5.2iiu时求出方程的精确解在 处的值，比较 与 的误差情况并分析)x产生这种情况的原因。15.验证矩形网格上的五点差分格式（3.25）和三角形网格上的差分方程（3.45）满足条件（3.19）式和（3.50 ）式。16.证明：椭圆型差分方程的极值原理（定理 3.1） 。17.利用 “不可约对角占优矩阵必定非奇”证明差分方程（3.48）的
19、解存在且唯一。18.证明：当 充分小时，第三类边值问题的差分方程的解存在且h唯一。19.证明：若 则方程Gd,0的解满足 vmax(当 在 上恒为零时，本命题就是定理 3.3)ihG20.对非正则内点采用（3.40）式处理的五点差分格式，试仿照定理 3.5 的证明过程导出其收敛速度的阶。21.证明（ 3.57）式。计算实习1.取 和 ，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确641h28（1） 5.0)1(,0122uxxd精确解： ；x（2） ,3)(,200sin2euxd精确解： ;cox（3） )(,00,cos22uxdx精确解： ；xsin并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有些小的原因。2.设 G 是以原点为中心的单位正六边形的内部，用 的正方81h形网格作剖分，用五点差分格式求方程： ),(01yxuG的数值解。3.对方程： ),(0yxuG的形状如图 3.11 所示，其中曲线部分为单位圆的 。取 ，求G 4141h出所有内结点上的差分解。4.考虑图 3.12 所示的不规则区域上的热的分布问题：在 两 侧 。,0u在 底 部 ，1在 顶 部 ，在 内 部 ，决定相应的线性方程组并求出 10 个内部结点处的温度)10,.2(ui
