1、第一章 行列式一、习题1. P22 2.2. P23 5.3. P23 6.4. P23 7.（1）5. P23 8.（3）提示：原式 .1121211232,34300iraaaa6. P23 8.（4）提示：见 P25 4.的解答7. P23 9.（1）8. P24 11.（2） 、 （3）提示：（2）原式 ;1,incaiix注意（2） 、 （3）的共性9. P24 11.（4）方法一 递推法分析：该行列式每一行（列）元素大多为 0，易采用降阶法. 按第 1 行（列）或按第n 行（列）展开. 两次降阶后产生由 2n 阶至 2（n-1）阶的递推公式.n1n112nn1n1adDcb0 b
2、nn1121n1n10 da()cdb0 22n1n2(1) ()abDc()dD.nn2(1)iii1cdabc方法二 分析：由于该行列式的特点，按 Laplace 展开会很简便.（1n(21n2nn2 DbcdaD.1iiin(2nn2 )dcba()(（* 该结果对于具有这种形式的行列式有通用性.10. P24 12.（1）提示：方法一 按最后一行展开方法二 产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的 倍加到后一列上.1x方法三 从最后一列开始，依次将后一列的 倍加到前一列，然后按第一列展开.x方法四 按第一列展开，产生递推公式 .1nnDa11. P24 12.（2）提示：方法一原
3、式1211nnaa 1122, 11121, 2121120 iirnnacni nn naaa 方法二原式1211nnaa nnnn aaa112221121 nnni aaa11)1( 22221 nnia10)1(21 .)(121nia二、计算实践实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；（2）利用行列式的性质尽可能多地把行列式的某一行（列）元素化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的方式达到计算行列式的目的；（3 *）利用 Laplace 展开式；（4）利用范德蒙行列式；（5）计算行列式的方
4、法有定义法、性质法、降阶法、加边升阶法、递推法、归纳法及方阵行列式法(参见第二章)等. 方阵行列式的一些可用结论：设 A，B 是同阶方阵，则， ， ，ABC0ABD.nmnnEDCED例 1.1 计算行列式7326894.5解 分析：该行列式任意一行或一列都无零元素且元素之间无完全的整数倍关系，仔细观察之后发现，如果把第 2 列加到第 3 列，则新的第 3 列元素之间成整数倍，这时利用性质易将第 3 列的元素大部分化为零，然后降阶，余下计算过程类似.原式2213cr76756894013543 13561()03413r041315()50.3例 1.2 计算行列式0 361 1 25 . 解
5、 分析：仔细观察之后发现，第 2 行为 0 的元素多且非 0 元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为 0，然后按第 2 行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1 行、第 3 行降阶.原式21c3 01 25 73 12520135()1721423c 14c02552()03321459.130 例 1.3 计算行列式 .1121n2 2n1n2nabab ()解 方法一 性质法分析：根据行列式的特点，采取列运算，原式11211nc2 212in1n21nab()a(b)()()i=12 2212aba()b, 0, .2121(a), n, 方法二 方阵的行列式法.分析：注意到
6、 1121n2 2n1n2nabab 112n2n a0bb 0 所以原式112n2n a0bb 0 112n2na0bb 0 .2121(a)b,n20, 例 1.4 计算12n123xa. ax解 方法一 分析：注意到每行元素都有完全相同的 n 个元素，所以每行的元素都加到一起会得到同一个数. 对列运用性质，容易将其化为三角形行列式.原式n1i2 12ncni123aax() axi1 1ncai222n113n 0 0xa() xanii1(xa)x.方法二分析：根据每列对角线以上元素、以下元素分别都相等的特点，所以对行运用性质易将其元素大部分化为 0.原式i112n1nr2, nn x
7、 a a 00 0 axa i=n+2n1i2ni121c22nnxa 0 00xa xa 1n22i1nnxa()axa .nii1(xa)(x)例 1.5 计算爪形行列式 .123n3 innbdda (b0,1,n) 解 原式ni2ni123n2acb 3i ndd 0 b b1.ni12n2adb例 1.6 计算行列式312nii123nxaax,1,n. （ ）解 方法一分析：根据每列对角线以上与以下元素都相等的特点，所以对行运用性质易将其化为爪形行列式，余下照例 1.7 计算.原式i123nr2n1 n x a a00 x a xan1ii2n1i23ni2ixacc 3a x 0
8、00 xa n xan1i2ni2ixa a（进一步整理得） n111i2ni2ixaa+ xa.nn1iii 1ixaxa方法二 分析：采用加边升阶法，然后运用性质易化得简单的爪形行列式.原式12n12naa0x ax i112nr2 n a ax0 xa n1i1i ni12niccxa 2n a a 0 x a .nniii1i1axa（如果有某 xi=ai， ，那么该行列式易化为三角形行列式.）例 1.7 计算三对角行列式 .123nn21abc D ab c 解 这类题的一般做法是产生递推公式. 按第 n 行展开有12n()n n1n21abcDaDa0cb n(1)(1)n1 n2
9、2abcD. 令 ，则 是方程 的根，代入上式得n1xyabcx,y2n1nzabc0，nnn2D()D11n2n2121xyx ry, (rDx)3n1nn2n2r() xDx. 对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.例 1.8 计算三对角行列式 .n nab ab 解 方法一 利用例 1.9 得到的递推公式.nn1n2D(ab)aD（这里递推公式中的 x，y 显然分别为1n(b)a，b） n1n2n1aabb. 方法二 （1）nn1Da考虑到对称性，也有（2）nn1b联立（1） 、 （2） ，解之得 .n1ab对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.例 1.9 计算三对
10、角行列式 .123n1n a a a 解 分析：把第 2 至第 n+1 行依次加到第 1 行，那么新的第 1 行元素将只有最后一个元素不为 0，然后降阶.原式123n1n a a （上三角行列式）n1i2 12r(n1) n1 a 1(n).例 1.10 计算行列式 n1n1222in1n1naba, (b0,i1,n). 解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果.如果第 1 至第 n 行分别提取公因子 ，那么可将其化为范德蒙行列式.n1a,原式 n11n122n12 n1nbaaba .nji121jia例 1.11 计算 n 阶行列式 .12n2n2n21 1
11、aa aa 解 分析：该行列式酷似范德蒙行列式，而实不然，但形式上已表明它一定会要使用到范德蒙行列式的结果.与范德蒙行列式比较，能想到利用加边升阶法构造一个 n+1 阶的范德蒙行列式.12n2n2n2111nn2 1aax aax niji1jini1(a)(xa)可见原行列式是该行列式中元素 xn-1的余子式 ，而 xn-1的代数余子式 An+1即为上式n1M右端项中 xn-1的系数，所以原式nn1n1iij1jinMAa(a).例 1.12 计算行列式 .2n111222nnnaxax解 分析：行列式元素构成中有范德蒙行列式元素的影子，所以想到会要使用到范德蒙行列式的结果. 通过加边升阶法
12、有原式2n111222nnn 0 0axax aaa i12n11c 22nnaxx a2n1122nn 0 xxa 2nn11112222nnn n(a)a 0 xx x a （两个范德蒙行列式）1n1n11n22i 2211n1n nn xxaa nnijiiij1jni11jin(a)x()ax(x) .ii ij1i11jin()()以下是几道行列式知识的活学活用题.例 1.13 已知行列式 ，计算 M41+M42+M43+M44.3042275解 容易想到的方法是按余子式的定义直接计算，但要计算 4 个三阶行列式，有M41+M42+M43+M44 .0430302222877其实还有
13、另一种好的计算方法，即利用余子式与代数余子式的关系以及代数余子式的定义，把 M41+M42+M43+M44转化为一个四阶行列式，有M41+M42+ M43+M44-A 41+A42-A43+A4430422713240(1)72134071r.3428一般来说，高于 3 阶的情形益采用后一种方法.例 1.14 已知 5 阶行列式 ，求 和 .12345127435041243A45A解 ， （按第四行展开）4124A， （第二行元素乘以第四行元素的代数余子435A式） 41243459, 18.例 1.15 A 是 n 阶方阵，a 为 矩阵，b 为 矩阵，且 ，求证nnAa0bd.Aabc(d)et证 Aa0bcd(c).A0(cd)etAb本题利用了行列式的拆分与降阶性质.例 1.16 设 a 是 n 维向量，且 ，证明 .TTa1,Ea0证 因为 ，即 a 是 n 个变量 n 个方程的齐次线性方程 Ax0 的非零解，TA0,所以 .
