1、平面几何专题讲座第三讲 三角形的五心 （第 1 页 共 4 页）GDAB CDEFOAB CDPIAB C第三讲 三角形的五心一、基础知识1、重心 设 是 的重心， 的延长线交 边于 ，GABCGC则（1） ；（2） ；DABCS31（3） .)(422、外心 设 是 的外心， 于 交外接圆于 和 ，其中 和OODE在 的同一侧，则ABC（1） 或 ；A2)180(（2） 分别为弧 ，弧 的中点；FE,BC（3） D（4） （正弦定理） RcbAa2sinisin3、内心 设 是 的内心， 于 ， 的延长线交外接圆于 ，则IABIPI（1） ；（2） ；BC190 DC（3） ；cot()Pr
2、bca（4） ；（5） DIEA1()2ABCSabcr定理、 （欧拉公式）设 的外接圆半径、内切圆半径分别为 ，其外心，rR、内心分别为 、 .则 .OI)2(rR4、垂心 设 是 的垂心， 于 ，则HABCBOD（1） ；（2） ；018 22HCBA（3） ；（4）点 关于三边的对称点均在 的外接圆上；2D（5） 的外接圆是等圆H,定理 2、 （三角形的欧拉线）设 分别是ABC 的外心、GO、重心和垂心则 三点共线（欧拉线），且 .、 215、旁心 设 在 内的旁切圆 与 的延长线切于ABC1()IrAB,则（1） ；(2) ；P1902I cot()Pabc c a br1P I1 A
3、B C平面几何专题讲座第三讲 三角形的五心 （第 2 页 共 4 页）（3） ；（4） ； 12AIBC )(21cot1 cbaCArBP（5） ，其中 为旁切圆半径()Srbca定理 3、（圆幂定理）设 为定圆 所在平面一定点，过 作一直线与 相)(ROPO交于 两点.（1）若 在 外，则 ；（2）若 在BA,P)( RPBA内，则 .)(RO2R二、典型问题选讲例 1、若 分别为 中 边的中线， 为 的重心.BEAD,ACB,GABC求证：若 ，则 ；反之，也成立.22GE例 2、已知 切 的三边于点 ，那么 是（ ）IABCFD,E（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形
4、（D）以上都有可能 例 3、 设 是 的内一点， 所在直线交 的外接圆于 ，IIABCD若 ，求证： 是 的内心.II例 4、已知 分别是ABC 的外心、重心和垂心， 于 HGO、 O求证：（1） ；（2） 三点共线（欧拉线），且 .DA、 21GH例 5、设 的外接圆半径、内切圆半径分别为 ，其外心，内心分别为 、BCrR、.延长 交 于 ，求证：II（1） ；（2）（欧拉公式） .RrA )2(OI例 6、锐角 的外接圆为 ， 于 ， 于 . 分别ACBEABFMD,为 的中点，求证： .EFBC, ADM例 7、设 是 的 的平分线， 分别是BC21,O的外接圆的圆心.求证： .AD,
5、例 8、在锐角 中, 为垂心, 的外心分别为 .HAHBC, 321,O平面几何专题讲座第三讲 三角形的五心 （第 3 页 共 4 页）求证： 三线共点.321,COBA例 9、四边形 内接于 ，对角线 与 相交于 ，设 ，DACBDPBCPA,和 的外接圆圆心分别为 .求证： 三线共点.DP4321,OO,4231例 10、在 中，内切圆切 于 .ABC（1）若 ，求证： ；（2）若 ，求证：90DBASBC DBASBC.C例 11、在不等边 中， ， 和 分别是外心和内心.OI求证： .AIO例 12、四边形 内接于 ， ， 和 的内心分别BCDACDB,BAC为 .求证： 是矩形.43
6、21,II4321I例 13、在 中， ， ，点 是外心，两条高 交于点A60OFE,，H点 分别在线段 上，且满足 ，求 的值.NM,HFB, CNBMH例 14、在 内取一点 ，使 与 分别是ACPDACBPA,E和 的内心.求证： 三条直线相交于一点.PED,例 15、已知 依次是 的外接圆的弧 的中点， 交 于RQ,BB,R， 交 于 .求证：DACEC例 16、四边形 内接于 ，对角线 与 相交于 ，设 与OADPAB的外接圆相交于 和另一点 .求证： .PPQP例 17、在ABC 中，O 为外心，I 为内心，ABAC，ABBC，D 和 E 分别是边AC，BC 上的点，且满足 ADABBE。求证：IODE 。例 18、在给定的 中， ，其内切圆 与ABCabcABa, I边切于 ， 是 的直径， 的延长线交 于 ， 是 的中点，直线ABDEIEPMAB交 于 .（1）求证： ；（2）试求线段 的长.MICQ)(1bPMQ例 19、在 中， ，外心为 ，内心为 ， 于 ，且OICD平面几何专题讲座第三讲 三角形的五心 （第 4 页 共 4 页）在线段 上. 求证： 的外接圆半径等于 边上的旁切圆半径.IODABCBC(注： 的 边上的旁切圆是与边 、 的延长线以及边 都相切的圆)ABC
