第二章导数与微分.doc

1、 19 高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班 姓名 学号 第一节 导数概念一填空题 1.若 存在，则 = )(0xf xffx)(lim00 )(0xf2. 若 存在， = .)(0f hffh )()(li00)(20f= .003()lixfxf03()fx3.设 , 则 20)(f )(2(lim00ffx 414.已知物体的运动规律为 (米) ，则物体在 秒时的瞬时速度为 5（米/ 秒）ts2t5.曲线 上点（ ， ）处的切线方程为 ，法线方程为 xycos321031yx026.用箭头或表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 可导 连续 极限存在。|二

2、、选择题1设 ,且 存在，则 = B 0)(f)(fxf)(lim0（A） ( B) (C) (D) xf )0(f 21)0(f2. 设 在 处可导， , 为常数，则 = B )(fabxbfax(li0（A） ( B) (C) (D) x )(f)(fa)(xf3. 函数在点 处连续是在该点 处可导的条件 B 00x（A）充分但不是必要 （ B）必要但不是充分 （C）充分必要 （D）即非充分也非必要20 4设曲线 在点 M 处的切线斜率为 3，则点 M 的坐标为 B 2xy（A）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5.设函数 ，则 在 处 B |si

3、n|)f )(xf0（A）不连续。 （B）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D）可导，且导数也连续。三、设函数 为了使函数 在 处连续且可导， ， 应取什么1)(2xbaxf )(xf1ab值。解：由于 在 处连续, 所以 )(f )1()()(fff即 1ba又 在 处可导，所以 )(xf121()limxf1()lixabf a有 ， 2故 求得 ， a四、如果 为偶函数，且 存在，证明 =0。)(xf )0(f)0(f解：由于 是偶函数, 所以有 x0()()limxfff0()li(0)xtfft令即 ， 故 )(2f21 五、 证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成三

4、角形的面积为定值。 2axy解： 在任意 处的切线方程为22, ),(0yx020ay则该切线与两坐标轴的交点为： 和),(02x),(0所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为， （ 是已知常数）2021axA故其值为定值.22 高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班级 姓名 学号 第二节 求导法则（一）一、填空题1 , = ; , = .xysin)ec2(y 1cos2taxxeysinxesinco2 ， = ; y = ， =ox2si()xe2i23 ， = ; , =tanlcrlnlog2xrex22logl4. , = . ，)tl(sewwtseacs()yy21()

5、5. ; ( = .)1(2x2x21)2x6. = ; ( = .tanl cln2)21二、选择题1已知 y= ，则 = B xsiy（A） (B) (C) (D)2con2sincox2sinixxxsinco232. 已知 y= ，则 = C xs1iy（A） (B) (C) (D) co21cos2xxcos1xcos13. 已知 ，则 = A xeysy（A） (B) (C) (D)xtanxetansxetanxet4. 已知 ，则 = A )1l(2xyy（A） (B) (C) (D) 2x221x12x23 5. 已知 ，则 = D xycotln4|xy（A）1 （B）2

6、（C） (D) 2/126. 已知 ，则 = B x（A） (B) (C) (D) 2)1( 2)1(x2)1(x2)1(x三、计算下列函数的导数： (1) (2) 3ln()lyx)tan(lxy解： 解：23311(ln)x 1sec223(l)yx)(ln2x(3) (4 ) veu1sin2 )(lnsec3xy解： 解： vsi(si2 1(co2v )s(l2 x1)tan(lve1sin22 )t(llnec3xx(5) (6) 2ln(1)yx1arctnxy24 解： 解：221()yxx21()xy 22()1x21x22()x四、设 可导，求下列函数 y 的导数)(xf

7、dx（1） (2)(xfey )(cos)(sin22xfxfy解： 解：)(f i)()(efxf 2(cs)(sn)fxx )()( xxf ee 2inicof(3) (4)(arctnxfy )(si)(ixffy解： 解：)(12f con )(xf )(2xf )(six)(sff25 高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班级 姓名 学号 第二节 求导法则（二）一、填空题：1. , ; ,xey3cos2y)3sinco21(xex xy2ln1yx2ln12 ， ； ， ar|2xxaretnearct)(3 ， ysin21ciysi34设 ，则 lart2xxe1xd

8、y24()1e5设 ，则32)(xy0|xy6设 有连续的导数， ，且 ，若函数f )(fbf)0(,sin)()(xAaxF在 处连续，则常数 A = 0b二、选择题：1设 ，则 D )(xfyy（A） （B） （C） （D） )(xf )(xf )(xf2设周期函数 在 可导，周期为 4, 又 , 则曲线)(xf, 12(1lim0fx在点 处的切线的斜率为 D fy5,（A） （B） （C） （D）210126 3. 已知 ，则 = C 21arctnxyy（A） (B) (C) (D) 12x12x12x4. 已知 ，则 = C )larcsi(yy（A） (B) (C) (D) xl

9、n2)ln(1x2)ln(1x1ln)(2x三、已知 ，求： 2arct)(,23fxfy0|xdy解：令 ， 则 且u)(ufy2arctnu)3(t)(2xfdxy22)3arctn)3(1x0xdy 43)t()( 022 x四、设 时，可导函数 满足： ，求 0x)(xf xfxf3)1(2)(f0x解：令 ，则 ，即t1tt(1)xfxf3)(2)(又 (2) ff)1()(27 由(1)式和(2) 式可得 xf12)(2)12()xf五、已知 ，且 ，证明：)(2(xfa)(ln1)(xfaf )(2x证明：因为 ，又)(l)()(22 ffxf )(ln1fa所以 )(2)()(

10、2xxxf六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。证明：设 是奇函数且可导. 则 , 即)(xf )()(xff)(f)()(ff从而 是偶函数.x28 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班 姓名 学号 习题四 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1设 ，则 = .yxeye22. 设 ，则 = .)tan(rr)(csr3. 设 ,则 = 。xyyxtanl2y4设 ，则 = ， = 。teytcosidtcosi3|tdx2二、选择题1. 由方程 所确定的曲线 在（0，0）点处的切线斜率为 A 0inyx)(y（A） （B）1 （C） （D）121212. 设由方程

11、 所确定的隐函数为 ，则 = A 2xy)(xyd（A） （B） （C） （D）ddxydxy3. 设由方程 所确定的隐函数为 ，则 = A 0sin21x )(xy（A） （B） （C） （D）ycoyicos2xcos24. 设由方程 所确定的函数为 ，则在 处的导数为 B )cs1(intax )(xyt（A） （B）1 （C）0 （D） 215.设由方程 所确定的函数为 ，则 B 2lnarctxy)(xyd（A） （B） （C） ； （D） .21t1t12t t.29 三、求下列函数的导数 dyx1 ， 2. 2233xya 3cosinxaty解:方程两边同时对 求导,得 解:

12、x2ta3cosita113320y3x3 4. 2310yexexy1sin解:方程两边同时对 求导,得 解: x )1ln(4sil2ll xe320xyyey )(sico1 xxy321xyye )1(4cot2(1sin xx eey 四、求曲线 在 处的切线方程，法线方程021sin3yx解: dd)(cossinexex, 从而 i1xdcos)in1)(23(xedy当 , 0,0x030 故 切线方程为 )1(2xey法线方程为 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班 姓名 学号 习题五 高阶导数一、填空题设 ，则 = , = .cosrrsincrcossin

13、22设 ,则 ， )1ln(2xyy21xy2/3)1(x3 若 , 且 存在，则 ， =)(2tf)(tfdt)tf2dt )(422tftf设 ，则 = , =yxe1ye232)(ye5设 ，且 ，则 = 。arctgyf)(tdx2xt4126. 设 ,则 =12xne)(ny12!xne7设 ，则 )0()f )(f!201二、选择题1若 , 则 = D xyln2y（A） （B） （C） （D）1ln2x2lnx3ln2x2.设 ， ,则 = B )(ufxed（A） （B） （C） （D）2fex )(2uffu )(2ufe )(uffu31 3设 则 A xy2sin)(ny

14、（A） （B）11 2)1(cos21nxn（C） （D） 2)(si2xn i4. 设 ，则 A ey)(ny（A） （B） （C） （D）(x)(nxe)(2nxenxe三、设 存在，求下列函数 的二阶导数)f y2dy1 (xefy解： xd)xxefefxy)()(222 lnf解： )()(1xfxfdy222)(f四、求下列函数 的二阶导数y2dxy1. cosinxatyb解: cotsitba32 2 231(cot)sinsidybbxatat2. 2arctnly解:方程两边同时对 求导,得 xy, x 2(1)()1yxy 23()yyx五、设 ，求 12)(ny解: 2

15、(3)yx3()42()yx(4) 53()依此类推, 得 () 12!(3)nnyx33 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班 姓名 学号 习题六 函数的微分一 已知 ，计算在 处 xy22（1）当 时， ， = 1.0y31.dy.0（2）当 时, = , = 。 x 3二（1）函数 在 处的一次近似式为21arcsinxy21()()3fxx（2）函数 在 处的一次近似式为)o(ex0cossinf（3）计算近似值 48354三填空（求函数的微分）1、 = )sin2(dd)cos2si(2、 = dlcoxtax3、 =)1(ln2d)1l(4、 =taseclxdxs

16、ecn25、 =)1(rtfdf)1(art26、 sin(co)xcotx7、 = 2idx3sin28、 369()3614x34 四将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。(1). ( ); (2). ( );dxc23 dx)23sin(1cos32)xc(3). ( ); (4). ( );2(3)32xex2ex2(5). ( ); (6). ( );dxa21cartn13dx1ln3)c(7). ( ); （8） ( )(e2xecos(2)si2x(9). =d ( ) ; (10). ( );21xcrsi lnxdlc五求下列函数或隐函数的微分(1). , 求12byax

17、dy解: 对方程两边求微分得02bax所以 yd2(2). ，求yxyarctnd解: 对方程两边求微分得21ydxy所以 235 (3). ，求xysindy解: 由于 xelsi所以 sinsincolxyd高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班 姓名 学号 第二章综合练习（一）一、填空题1设 存在， 为常数，则 = 。)(xf0ahaxffh)()(lim0)(2xf2若抛物线 在点（1，1）处的切线平行于直线 ,cbxy2 01y则 ， .bc3.若 可导，且 ，则 = .)(xf )sin(efy )sin()(cosef4.若 , 且 , 则 = .)1ln(2tyftdx

18、y22x2t5.若 ，则 .02xeye216. 若 则 = .uy)1( u)二、选择题1若 = ，且在（0，）内 0， 0)( （C） 0， 0， 0)(xff )(xf)(f2设函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应地函u)(2xfy11.x数增量 的线性主部为 0.1，则 D y1f（A） （B）0.1 （C）1 （D）0.5136 3设 ，则 C 1arcsin)1()xxf（A） （B） （C） （D） 不存在0f )(f 4)1(f )1(f4设 ， 则 = B xxytanlcos2tanly（A） （B） （C） （D） .cosi xcotlnsi xtanlt三

19、、设函数 由方程 所确定，求 .)(xey)0(解: 方程两边对 求导得:0eyyex2)(1yye3)(yex当 , 得 . 所以 0x1y210四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 .dxy2dxy1. 2.tyxarcn1l2 3sincoay解: 解: tdtx12 tan)si(coi2dxxtyd)(2 dxy)t()(237 322211tt sinco31se22ase14五、设 ，用对数求导法求xeydxy解: 函数两边取对数得:elnl上式两边对 求导得xxyxl1所以 d)ln(exe)l(x高等数学练习题 第二章 导数与微分系 专业 班 姓名 学号 第

20、二章综合练习（二）一.填空题1.设 存在，则 = .)(xf )(1(limxfhfh38 2当 时，两曲线 ， 相切，切线方程是ae12axyln21exy3若 在（ ， ）内有一阶连续导数且 ，当 时，)(xf0)(fA)0(fg(x)= 在（ ， ）内连续。0xA4y= ， =baxb)()(dy dxabaxbbx ln)()(5 ( ) = ， d( ) = .dc32x3ln2cf)(lnf6 若 ，则 = ， = 。uveduevdvue二选择题1设 ，则其导数为 C xf)(（A） （B） （C） （D） xfln)( )1(ln)xf 1)(xf2. C )(af； ；xfa

21、x)(limxafBx)()lim).(0； taffCt )(li).(0 sffDS2li).(03. 设 ，且 可导 则 = C cosxffyfy（A） （B）)(in()(x )(cos)(xffsicoff（C） )(cos)(xfx )(sin()coxfxf（D） (csff if4. 设 具有任意阶导数，且 ，当， A )(x 2)(xff )(xn39 (A) (B) ( C) (D) 1)(!nxf 1)(nxf nxf2) nxf2)(!5设函数 则 在 处 B ,0,si)(xf )(f0(A) 不连续 (B) 连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 (D)可导，且

22、导数也连续。三计算题1设 （其中 ， 为常数） ，试求 xxxaayrcos1201ady解: xadd xx )(rcos)rcos()(ln22 daaaa xxxxx )ln1ln12l( 222 dxxrcosln22已知 ，用对数求导法求 。yxdxy解: 方程两边取对数, 得: lnl上式两边对 求导, 得 xxyylll整理得 xyln24已知 , 求 . )1ln(ty)(ny解: lt40 ty122)()(33tty44)4( )1(!)!依此类推, 得 )1()(!1)(!)(!)1() nnnnnn tttty 高等数学练习题 第二章 微分中值定理与导数的应用系 专业

23、班 姓名 学号 习题九 微分中值定理一选择题1 在区间 上，下列函数满足罗尔中值定理的是 A 1,(A) （ B） （C） （D ）23fx21fx32fx2 若 在 内可导, 、 是 内任意两点，且 ，则至少存在一点 ，)(fba12),(ba21使得 C （A） （ ） ； )()(ff（B） （ ） ；11xbxbb（C） （ ） ；)()(22fff 21x（D） （ ）axax3下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 B （A） , （B） , 21)(xf xf)(12（C） , 0,1 （D ） ,543 )ln034 若 和 对于区间内每一点都有 , 则在 内必有 B

24、)(fg)(xgf ,(ba41 （A） （B） （C） （D）)(xgfxgf)( 1)(xgfCx)(二填空题1. 对函数 在区间 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理rqxpxf2)( ba结论中的 ，总是等于 ba2. 若 在 上连续，在 内可导, 则至少存在一点 ,)(xf,)( )(ba使得 成立.)()(afbfe)(abff3.设 ,则 有 4 个根,它们分别位于 )4321xxxf ()0fx区间 （0,1）; (1,2); (2,3), (3,4) 内.4设 在闭区间 上满足拉格朗日定理，则定理结论中的 = 3y,0 3三证明题1 当 ，试证：0ablnaba证：令 ，

25、 可知 在 连续，在 上可导)(xfxln)(xf,),(b由拉格朗日定理可知，存在 )a使得 abbabf lnl(1)( 又 ， 所以 ， 且 ，00)(即 。 得证lnbaba2 证明： rcsiros2x证明：令 xfarci)(42 则 在 上可导，且 )(xf1, 01)(22 xxf所以， （c 为常数） ， 又 ，farcsinros2f 故 arcsinros2x3 证明方程 只有一个正根.510证: 令 ，则 在 上连续，且()fx()fxR(1)0,()10ff由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ，使得 。,即 有一正根。又假设 ， （ ） ，()fx()0,()fafb

26、ab又 在 上连续，在 可导，所以由拉格朗日定理可知，存在a,b，使得 ，但 矛盾，假设不成立。所以。 。 。(,)f() 4f()1高等数学练习题 第二章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号 习题十 洛比达法则一填空题1 2 2 0limsnxeaxa3lim623 = 4 = 13211lix30lnti5x5 = 6 1li()tan2xx 10lixe6下列极限能够使用洛必达法则的是 C ：（A） ； （B） ； bxxsin1lm 21limx43 （C） ； （D） 的值， )arctn2(limxx xxsin1lm20二、判断题：（正确的括号内打“” ，错误的在括

27、号内打“” ）1 （不存在） si1oslilxx2 2000coincoslilil122xxxeee三计算题1 2 cos0limnxxe 30arcsinlimxxcoscos0ilixxx30rsilix201l3xe1 201()(1lim66xx3 41limlnxx 201li()sinxx11()ln()liilxxx 22400ilimlixx1lni2()x 3200sncos1lili43xx5 6)1ln(arctim30xx xxln10)(cotlim则 230lix x1lny=(t)令 ycotx1lln44 230lim(1)xx cotx2y000lntan

28、(-csx)limilim1xx20li()xx20tali-snxx原式yolim(n)1e.x7 8（见下一页）lim(arctn)xx令 则 x2yt2arctnxyl2arctnxyllini1xx 21arctlimx2limarctnx2所以 原式yylimliee.xx810234lixx令 ， 则 1xx+y=()3lnx2+34()y=00lnlimix24()xx0lnl3ln4limxxxx +()2341， 314l所以，原式= yln0iexy324oli(n)lex45 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号 习题十一 函数的单调性

29、与极值一填空题1函数 在区间 单调减少, 在区间 3295yx(13)(,1)3+和 （ ， ）内单调增加2 在区间 内单润减少，在区间 10（ -， ） 和 （ ， ） -（ ， ） 和 （ ， ）内单调增加3函数 的单调增区间是 R 。3yx4函数 在区间 内单调减少, 在区间 内单调增加2ln102（ ， )1(,)25当 时，函数 有极值，那么 1x3yxpqp6函数 ，在区间 上的极大值点 0 .)2sin(y,0x二选择题1设函数 满足， ， 不存在，则 D )(xf0)(xf)(1xf(A) 及 都是极值点 (B) 只有 是极值点01 0x(C) 只有 是极值点 (D) 与 都有

30、可能不是极值点x 12下列命题为真的是 D (A) 若 为极值点，则 (B) 若 ，则 为极值点 0 0)(xf 0)(xf0x(C) 极值点可以是边界点 (D) 若 为极值点，且存在导数，则0 0)(xf3设 ， 是恒大于零的可导函数，且 ，则当)(xfg )()(xgfxf46 时，有 bxa A （A） （B）)()(xgff )()(xgafxf（C） （D）bx4设函数 连续，且 ，则存在 ，使得 C )(f0)(f0（A） 在 内单调增加 （B） 在 内单调减少x,0)(xf)0,（C）对任意的 有 （D）对任意的 有)()(fxf ()0(fxf5当 时, ,当 时, ,则 必定

31、是函数 的 D 0xfx00x)f(A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对三求函数 的单调区间与极值223(5)(1y23()x21233y5(1)(x5) 2136(x)()令 可得 y0x= 52或当 时 不存在 1由 ， 把 分成四个部分区间，并列表讨论如下：x,(,)()121(,5)2(5,)f ()负 不存在 正 0 负 0 正x递减 极小值 递增 极大值 递减 极小值 递增47 四证明题：1 证明 31tanx(0)2x证明：令 3f()t故 222se1tanxx又， (0,)t0所以， ，即 在 单调递增ff(),)2， 即 。 得证x,)x

32、231tanx高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号 习题十二 函数的极值与最大值和最小值一填空题1当 2 时，函数 在 处取得极 大 值时，其极 大 axaxf3sin1i)(值为 .32函数 在 上的最大值为 ，最小值为 xxfcos)(2,0623. 在 3 处取得最大值 11 , 在 2 428y(1)x处取得最小 值 .4二.选择题1如果 在 达到极大值,且 存在，则 A ()fx00()fx0()fx(A) ; (B) ; (C) ; (D) 02设函数 在 内连续，其导数的图形如图所示，则 有 C )(f), )(xf（A）一个极小值点和两个极大

33、值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点0yx48 3函数 在定义域内 A )1ln()(2xxf（A）无极值 （B）极大值为 2ln1（C）极小值为 （D） 为非单调函数l )(xf4若函数 的极大值点是 ，则函数 的极大值是 D 2xy21xxy(A) (B) (C) (D)2116849235.函数 在 内的最小值是 D xy),0(（A）0 （B）1 （C）任何小于 1 的数 （D）不存在6函数 在区间 上的最大值是 D 2),(（A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在7设有一根长为 L 的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S1，正方形面积为 ，当 最小时， C 2S2121S(A) (B) (C) (D) 41444三求下列函数极值1 y3295x=6(x3)+1令 可得 0= -或当 时， 当 时 x1yy0所以 在 处 取得极大值 (1)当 时 当 时 -30x3所以 在 3 处 取得极小值 。yy()2