1、初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 1 页 共 12 页第二十六章 圆本章知识结构图：基础知识归纳：1圆的定义：(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点 P 是否在O 上设O 的半径为 R，OPd，则有dr 点 P 在 O 外；dr 点 P 在 O 上；dR(2)直线和O 有唯一公共点 直线 l 和O 相切 dR(3)直线 l 和O 有两个公共点 直线 l 和O 相交 dr)，圆心距 (1) 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离dRr(2) 没有公共点，且 的每一个点都
2、在 外部 内含 dRr(3) 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切d Rr初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 3 页 共 12 页(4) 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切d Rr(5) 有两个公共点 相交 RrdRr10两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点11圆中有关计算：圆的面积公式： ，周长 C2R圆心角为 n、半径为 R 的弧长 180nl圆心角为 n，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积 lRnS21360弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计
3、算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 l 的圆柱的体积为 ，侧面积为2Rl，全面积为 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 Rl ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有12相关定理（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）（2）切割线定理如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 13圆中常见的辅助线（1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等（2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行
4、证明（3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算（4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角（5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角（6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角（7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角（8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直； 不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径（9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点（10)遇到三角形的内心，常作：内心到三边的垂线；连结内心和三角形的顶点（11)遇相交两圆，常作：公共弦；连心线（12)遇两圆相切，常过切点作
5、两圆的公切线（13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 4 页 共 12 页第二十六章 圆练习题一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个2下列判断中正确的是（ ）（A）平分弦的直线垂直于弦 ;（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如图，在两半径
6、不同的同心圆中，AOBAOB60，则（ ）（A） （B ） （C） 的度数 的度数（D） 的长度 的长度4如图，已知O 的弦 AB、 CD 相交于点 E， 的度数为 60， 的度数为 100，则AEC 等于（ ）（A）60 （B）100 （C）80 （D）1305圆内接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数比是 236，则D 的度数是（ ）（A）67.5 （B）135 （C）112.5 （D）1106OA 平分BOC，P 是 OA 上任一点，C 不与点 O 重合，且以 P 为圆心的圆与 OC 相离，那么圆 P 与OB 的位置关系是 （ ）（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不确定7AB
7、C 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆的半径为 r，则ABC 的面积为（ ）（A） （abc）r （B）2（abc）21（C） （abc ）r （D） （abc）r38如图，已知四边形 ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线 MN 切圆于点 B，DC 的延长线交MN 于 G，且 cos ABM ，则 tan BCG 的值为（ ）23（A） （B） （C）1 （D）3 3初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 5 页 共 12 页9在O 中，弦 AB 和 CD 相交于点 P，若 PA3，PB 4，CD 9，则以 PC、PD的长为根的一元二次方程为（ ）（A）x 29 x120 （
8、B）x 29 x120（C）x 27 x 90 （D）x 27 x9010已知半径分别为 r 和 2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距 d 的取值范围是（ ）（A）0d3 r （B）rd3 r （C）rd3 r （D ）rd3 r三、填空题（每题 2 分，共 20 分）11某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为_12如图，已知 AB 为O 的直径， E20，DBC50，则CBE_13圆内接梯形是_梯形，圆内接平行四边形是_ 14如图，AB、AC 是O 的切线，将 OB 延长一倍至 D，若DAC60，则D_15如图，BA 与O 相切于 B，OA 与
9、O 相交于 E，若 AB ，EA1，则O 的半径为_516已知两圆的圆心距为 3，半径分别为 2 和 1，则这两圆有_条公切线17正八边形有_条对称轴，它不仅是_对称图形，还是_对称图形18边长为 2 a 的正六边形的面积为_19扇形的半径为 6 cm，面积为 9 cm2，那么扇形的弧长为_，扇形的圆心角度数为_20用一张面积为 900 cm2 的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_三、判断题（每题 2 分，共 10 分）21相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段（ ）22各角都相等的圆内接多边形是正多边形（ ）23正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形（ ）24三
10、角形一定有内切圆（ ）25平分弦的直径垂直于弦（ ）四、解答题：（共 50 分）初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 6 页 共 12 页26 （8 分）如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，且 AE1 cm ，EB5 cm，DEB60，求 CD 的长27 （8 分）如图，AB 为O 的直径，P 为 BA 的延长线上一点，PC 切O 于点 C，CDAB，垂足为 D，且 PA4，PC8，求 tan ACD 和 sin P 的值28 （8 分）如图，已知 ABCD 是圆内接四边形，EB 是O 的直径，且 EBAD ，AD 与 BC 的延长线交于F，求证 DABC初中数学资料 第二十
11、六章 圆 模块复习第 7 页 共 12 页29 （12 分）已知：如图，O 1 与O 2 内切于点 P，过点 P 的直线交O 1 于点 D，交O 2 于点 E；DA 与O 2 相切，切点为 C*（1）求证 PC 平分APD ；（2）若 PE3，PA6，求 PC 的长30 （14 分）如图，O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，点 D 是劣弧 的中点，连结 AD 并延长，与过 C 点的切线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E （1）求证 OE AC；21（2）求证： ；（3）当 AC6，AB 10 时，求切线 PC 的长AD2CB初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 8 页 共 12
12、页第二十六章 圆练习题参考答案1.【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故不对 【答案】B【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件2.【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧 【答案】C3.【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而AOBAOB，所以 的度数 的度数 【答案】C4.【提示】连结 BC，则AECBC 60 1008021【答案】C5.【提示】因为圆内接四边形的对角之和为 180，则ACBD180又因为AB C236，所以BD35，所以D 的度数为
13、 180112.5 【答案】C856.【提示】因为以点 P 为圆心的圆与 OC 相离，则 P 到 OC 的距离大于圆的半径又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点 P 到 OB 的距离也大于圆的半径，故圆 P 与 OB 也相离 【答案】A7.【提示】连结内心与三个顶点，则ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以ABC 的面积为ar br cr （abc）r 【答案】A21218.【提示】连结 BD，则ABMADB因为 AD 为直径，所以AADB90，所以 cos ABM cos ADBsin A，所以A60又因四边形 ABCD 内接于3O，所以BCGA60 则 tan BCG 【答
14、案】D 39.【提示】设 PC 的长为 a，则 PD 的长为（9a） ，由相交弦定理得 34a （9a） 所以 a29 a120，故 PC、PD 的长是方程 x29 x 120 的两根 【答案】B10.【提示】当两圆相交时，圆心距 d 与两圆半径的关系为 2 rrd2 rr，即 rd3 r【答案】B11.【提示】如图，AB 为弦，CD 为拱高，则 CDAB，ADBD ，且 O 在 CD的延长线上连结 OD、OA，则OD 5（米） 所以 CD1358（米） 2ADO213初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 9 页 共 12 页【答案】8 米 12.【提示】连结 AC设DCA x ，则DBA
15、x，所以CABx20因为 AB 为直径，所以BCA90，则CBACAB90又 DBC50， 50x（x20）90 x10 CBE 60 【答案】6013.【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形同理可证圆内接平行四边形是矩形 【答案】等腰，矩形14.【提示】连结 OA AB、AC 是O 的切线， AO 平分BAC ，且 OBAB又 OBBD ， OADA OAB DAB 3DAB60 DAB20 D 7015.【提示】延长 AO，交O 于点 F设O 的半径为 r 由切割线定理，得 AB2AE AF （ ） 21（12 r） 5 r2 【答案】216.【提示】因为
16、圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线【答案】317.【提示】正 n 边形有 n 条对称轴正 2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】8，轴，中心18.【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等每个等边三角形的面积为（2 a） 2 a2，所以正六边形的面积为 6 a2433319.【提示】已知扇形面积为 9 cm2，半径为 6 cm，则弧长 l 3；设圆心角的度数为 n，则 3 91806cm，所以 n 【答案】3； 0020.【提示】面积为 900 cm2 的正方形的边长为 30 cm，则底面圆的周长 30 cm设直径为 d，
17、则d30，故 d（cm） 【答案】 cm321.【答案】【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段22.【答案】【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形23.【答案】【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 10 页 共 12 页24.【答案】【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为 I，过 I 作一边的垂线段，则以点 I 为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆25.【答案】【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直26.【分析】因为 AE1 cm， EB5 cm，所以 OE （15）1
18、2（cm） 在 RtOEF 中可求 EF 的长，则 EC、ED 都可用 DF 表示，再用相交弦定理建立关于 DF 的方程，解方程求 DF 的长【略解】 AE1 cm ，BE5 cm， O 的半径为 3 cm OE312（cm） 在 RtOEF 中，OEF60， EFcos 60OE 21（cm） OFCD， FCFD ECFCFEFD FE，ED EFFD即 ECFD1，EDFD 1由相交弦定理，得 AEEBECED 15（FD1） （FD1） 解此方程，得 FD （负值舍去） 6 CD2FD2 （cm） 627.【提示】连结 CB，易证 PCAPBC，所以 BCAP由切割线定理可求 PB 的
19、长，所以 tanACDtan CBA 连结 OC，则在 RtOCP 中可求 sinP 的值【略解】连结 OC、BC PC 为O 的公切线， PC2PA PB 824PB PB16 AB16412易证PCAPBC BCAP AB 为O 的直径， ACB 90又 CDAB ， ACDB tan ACDtan B 1682 PC 为O 的切线， PCO90 sin P OC106 5328.【提示】连结 AC，证ABCFDC显然FDCABC因为 AD直径 EB，初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 11 页 共 12 页由垂径定理得 ，故DABACB又因为FCDDAB，所以FCDACB，故ABC
20、FDC，则可得出待证的比例式【略证】连结 AC ADEB，且 EB 为直径， ACBDAB ABCD 为圆内接四边形， FCDDAB，FDCABC ACBFCD ABC FDC FDABC29.【提示】 （1）过点 P 作两圆的公切线 PT，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证PCAPEC，得到比例式 ，则可求 PCECA*（1） 【略证】过点 P 作两圆的公切线 PT，连结 CE TPC4，3D 4D5， 23D 5 25 DA 与O 相切于点 C， 51 12即 PC 平分 APD（2） 【解】 DA 与O 2 相切于点 C， PCA4由（1） ，可知21 PCAPEC 即 PC
21、2 PAPEPECA PE3，PA6， PC218 PC3 230.【提示】 （1）因为 AOBO，可证 OE 为ABC 的中位线，可通过证 OEAC 得到 OE 为中位线；（2）连结 CD，则 CDBD，可转化为证明 先证PCDPAC，得比例式 ，两边平APD2CACDP方得 ，再结合切割线定理可证得 ；（3）利用（2）可求 DP、AP，2ACD2P2PAD2再利用勾股定理、切割线定理可求出 PC 的长（1） 【略证】 AB 为直径， ACB90，即 ACBC D 为 的中点，由垂径定理，得ODBC ODAC又 点 O 为 AB 的中点， 点 E 为 BC 的中点 OE AC21初中数学资料 第二十六章 圆 模块复习第 12 页 共 12 页*（2） 【略证】连结 CD PCDCAP ，P 是公共角， PCDPAC PCDA 又 PC 是O 的切线， PC2PDDA22 ，PAD2C BD CD， 2 PAD2CB（3） 【略解】在 RtABC 中，AC 6，AB10， BC 82610 BE4 OE 3， ED2则在 RtBED 中，BD 2 ，AC21 2BED5在 RtADB 中，AD 4 ，BD5ACP2 54PD3620解此方程，得 PD5 ， AP9 又 PC2DPAP ，5 PC 159
