1、 高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 1 高 三 数 学 总 复 习 .高高 考考 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习 (一一 ) I. 基础知识要点 集合 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 ；A空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 ，同时 ，那么 A = B.BA如果 .C， 那 么，注 ：Z= 整数 （） Z =全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（） （例：S=N ； A= ，则 CsA= 0）N 空集
2、的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = D （ 注 ： CAB = ） .3. （x ， y）|xy =0，x R，y R坐标轴上的点集.（x ， y）|xy 0，xR，y R 二、四象限的点集. （x ， y）|xy 0，xR，y R 一、三象限的点集.注 ：对方程组解的集合应是点集.例： 解的集合(2，1).132点集与数集的交集是 . （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB = ） 4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5. 一
3、个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例：若 应是真命题.35bab或， 则解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. .，且1yxyx解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.,故 是 的既不是充分，又不是必要条件.2且 321yx且小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若 . 5xx或， II. 竞赛知识要点1. 集合的运算. ）（）（ ）（）（ CBA）（）（）（ ）（）（）（ CABCA高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 2 De Morgan
4、 公式 CuA CuB = Cu（ A B） CuA CuB = Cu（ A B）2. 容斥原理：对任意集合 AB 有 . .BA)(高 三 数 学 总 复 习 .高高 考考 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习 (二二 ) I. 基础知识要点 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在 上为减函数.），（），（ 3. 反函数定义：只有满足 ，函数
5、才有反函数. 例： 无反函数.yx 唯 一 )(xf2xy函数 的反函数记为 ，习惯上记为 . 在同一坐标系，函数 与它的)(fy)(1f1y )(xfy反函数 的图象关于 对称.1注 ：一般地， 的反函数. 是先 的反函数，在左移三个单位. 是3)f(x)(f3)(xf1f() 3)f(先左移三个单位，在 的反函数.4. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数 y = f（x）定义域，值域分别为 X、Y. 如果 y = f（x）在 X 上是增（减）函数，那么反函数在 Y 上一定是增（减
6、）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. )(1f一般地，如果函数 有反函数，且 ，那么 . 这就是说点（ ）在函数)(fbaf)(af)(1 ba,图象上，那么点（ ）在函数 的图象上.ab,15. 指数函数： （ ） ，定义域 R，值域为（ ）.xay0,0当 ，指数函数： 在定义域上为增函数；1xy当 ，指数函数： 在定义域上为减函数.0aa当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1xyy10a6. 对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，a1,0bNbaN记作 （ ，负数和零没有对数） ；其中 叫底数， 叫真数.bNalog对数运算：）（
7、，）（ yxO1=x0高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 3 naaacbNanaaaMNn1121 logl.logllllog1llll)(3og)2)1(推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 ）10且.a,c0,b,0, n21注：当 时， .)log()l()l(b：当 时，取“+ ”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“”.MM0例如： 中 x0 而 中 xR ）.xaaalog2(llog22la （ ）与 互为反函数.xy1,0yl当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1axalogx107. 奇函数，偶函数：偶函数： )(ff设（ ）为偶函数上一点，则（ ）
8、也是图象上一点.b, ba,偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.y12xy),满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(ff 0(f 1)(xf奇函数：设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点.ba, ba,奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数.3xy)1,满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(ff 0(f 1)(xf8. 对称变换：y = f（x） ）（轴 对 称 xfyy y =f（x ） ）（轴 对 称 xfy =f（x ） ）（原 点 对 称 fy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带
9、根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.212122121 )()( bxxbxff ）（高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 4 例如：已知函数 f（x）= 1+ 的定义域为 A，函数 ff（x ）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的x1关系是 . 解： 的值域是 的定义域 ， 的值域 ，故 ，而 A ，故 .)(f)(fB)(fR1|x11. 常用变换： .)()()( yfxfyfxyf 证： )()( yfffff )()()( yfxyfxyf 证： )(fxfyff 12. 熟悉常用函数图象：例： 关于 轴对称. |2x
10、y|y |21xy|1xy|2xy x x(0,) x(-2,) 关于 轴对称.|12|y|yx熟悉分式图象：例： 定义域 ，3721xy,3|Rx值域 值域 前的系数之比.,|R四川师大附中高 2006 届高三数学总复习（三）3. 数数 列列 知识要点知识要点AB xy23高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 5 1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ),2(1为 常 数dnan2 ( ) ( 为常数).bkn,看数列是不是等比数列有以下四种方法： )0,2(1且为 常 数qan ( ， )2 1na注：i. ，是 a、 b、 c 成等比的双非条件，即 a、 b
11、、 c 等比数列.cb cbii. （ac0）为 a、 b、 c 等比数列的充分不必要.aiii. 为 a、 b、 c 等比数列的必要不充分.cbiv. 且 为 a、 b、 c 等比数列的充要.0注意：任意两数 a、 c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个. ( 为非零常数).nqa,正数列 成等比的充要条件是数列 （ ）成等比数列.nxalog1等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式 ； mdan；1mna通项公式 dnan)1( （ ）nqa0,中项 （2kA）0,*nNk （)(knknaG）0,*Nkn前 项和n)(21aSdnn)2(1)(1qa
12、qaSnnn重要性质 ),(*qpmNqpnmaan ),(*qpnmNqpnaaqpnm 高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 6 数列 的前 项和 与通项 的关系：nanSna)2(11nsan注 ： （ 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等dd11差数列）若 不为 0，则是等差数列充分条件）.等差 前 n 项和 可以为零也可不为零为等差的充要条a ndaBnAS212件若 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等差数列的充分条件. d非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差
13、为原公差的 k2 倍 ；.,23kkSS若等差数列的项数为 2 ，则 ；Nn，奇偶 ndS1na偶奇若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，121 na偶奇 1S偶奇. 得 到 所 求 项 数到代 入 2n3. 常用公式：1+2+3 + n = 2 613212 2n注 ：熟悉常用通项：9，99，999， ； 5，55， 555， .10na 1095na4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题：n生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，ar公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：r11)(nra.)()(.)()( 12 rann银
14、行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则ar每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款：annra)1(= .)(.)()1()( 02rr )1(2ra分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； 为年利率.a r1111.112 mmmm raxxrxrrxrxra5. 数列常见的几种形式： （p 、 q 为二阶常数） 用特证根方法求解.nna12 高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 7 具体步骤：写出特征方程 （ 对应 ，x 对应 ） ，并设二根 若 可qPx222na1na21,
15、x21设 ，若 可设 ；由初始值 确定 .nnxca21.21nc1)( 2,c （P 、 r 为常数） 用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转化为的形式，再用特征根方法求 ； （公式法） ， 由 确定.nnqa12 na12nPc21,c,a转化等差，等比： .)(11 rxxan选代法： rPran2 xPaPannn 111 )()(.Pn21用特征方程求解： .相 减 ，ran11na 11nnn Paa）（由选代法推导结果： .rrcPrcPcn1212 ）（，6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方
16、法：nnS0dnSn一是求使 ，成立的 值；二是由 利用二次函数的性质求 的值.,01a daSn)2(12如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：n ,.),.(4321n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 的最小公倍数.21d，高高 考考 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习 （四四 ） I. 基础知识要点 三角函数 1. 与 （0 360）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：
17、Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180|终边在 y 轴上的角的集合： ,9| 终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0|终边在 y=x 轴上的角的集合： ,4518| yxSINCO三 角 函 数 值 大 小 关 系 图sinxco1234表 示 第 一 、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域 1234sixco高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 8 终边在 轴上的角的集合：xyZkk,45180| 若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：k360若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：18若角 与角 的终边在一条直线上，
18、则角 与角 的关系： k0角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：9362. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.3. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinx)(f Rx|cosxtanxf Zk,21| 且cotx)(f x|且secx kRx,|且cscx)(f Zx|且4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)ct(anassi)i(公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anassi)i(xc
19、ot)2t(ansi)i(xcot)t(ansi)i(（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincs)cs( csin2ioo 222sin1cosiocs 公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+s=1oeitaeta2高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 9 sincosin)si( 2tan1taiii cositan1t)tan( 21costt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1si2tan1costat2, , , .4675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan 3215cot7tan5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性
20、质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0当 奇函数单调性2,k上为增函数；,1k；上为增函数 12,k上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（ ）Zk上为减函1,k数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数；coscs21sinocosinsi21sinco2isinosiccsiisinco1sicotanZkx,21|且 Zkx,|且ytytxysxysi sin)21cos(s)si(cttasi)2(csinotta高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 10 23,k上为减函数（ ）Z
21、)(23),(Ak上为减函数（ ）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相反.一般xysinxysi xycosxycs地，若 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba)(xf,ba 与 的周期是 .ico 或 （ ）的周期 .)sn(xy)s(xy02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. ta2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称)sin(xy kxZ0,k)cos(xy轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称中心（ ）.kZ0,21)tan(xy0,2kycos)s(2cos 原 点 对 称当 ； .tan,1)Zkta,1)(Z
22、k 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycs2i )(xy)cos()()( xk.函数 在 上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytanR为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原)(f点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数： ）)(xf)(xff奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定义域不关xytan)31tany于原点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此性质）x0)(f0)(fx xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxyOyx yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象
