1、第五章 异方差一、填空题1. 以 数据为样本建立起来的计量经济 模型中的随机误差项往往存在_，表示为 。2. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS）估计量仍是无偏但不再 ，通常使用的 t 检验和 检验是无效的。3. 在存在异方差情况下，常用的 OLS 法可能是高估也可能是低估了估计量的 。4.在应用工作中，异方差究竟与哪个或哪些解释变量有关往往是未知的，需要尝试构造残差序列 与可能导致异方差的解释变量之间的回归模型，根据 来确定。ie5. 利用格莱泽检验（Glejser test）进行异方差的检验，可以达到两个目的：和 。6. 异方差的检验方法有多种，很 难说哪种方法是最好的，但有一个共
2、同的思路，就是_。7. GoldfeldQuandt 检验用于 检验递增（或递减）即单调变化的 。8. 法是解决模型异方差的有效方法之一。二、选择题1产生异方差性的主要原因是 （ ）A.模型中省略了某些重要变量； B.模型设定误差；C.测量误差的变化； D.截面数据中总体各单位的差异。2.异方差性的检验方法有( )A.图示检验法 B.格莱泽检验 C.怀特(White)检验 D.回归检验法 E.DW 检验 F. Goldfeld-Quandt test(G-Q 检验)G. ARCH 检验3.Goldfeld-Quandt 检验法的过程做法是（ ） A模型除了存在异方差问题外，其它假定条件均 满足
3、B样本容量尽可能大C将与异方差相关的某解释变量按其观测值的大小顺序排列 D. 随机误差项服从正态分布、零期望、无自相关E. 将排列在中间的约1/4的观测值删除掉, 形成两个子样本F. 构造F统计量，判断异方差是否存在4. 针对存在异方差现象的模型进行估计，下面哪些方法可能是适用的（ ）。A. 加权最小二乘法 B. 工具变量法 C. 广义差分法 D. 广义最小二乘法 E. 普通最小二乘法 三、问答题1.简述异方差性的含义。2.简述异方差性的后果。3.列举异方差性的检验方法。4.检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇帕甘 检验（Breusch Pagan）和怀特（White）检验，请说明这二
4、种检验 的差异和适用性。5.简述异方差检验方法的共同思路。6.列举异方差的解决办法。7. 对变量取对 数通常能降低异方差性，但须对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。例如，设模型为 ，对该模型中的变量取对数后得如下形式：uXY21lnln2(1)如果 要有零期望值， 的分布应该是什么？ul(2)如果 ，会不会 ？为什么？1)(E0)(luE(3)如果 不为零，怎 样才能使它等于零？ln四、实践题1. 设消费函数为iii uXY210式中， 为消费支出； 为个人可支配收入； 为个人的流 动资产； 为随机误差项，并且i iX1i iu（其中 为常数）。 试回答以下问题：2)(,0)(iiiu
5、VaruE2(1) 选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；(2) 写出修正异方差后的参数估计量的表达式。2某地区 19752006 年中的个人 储蓄及个人收入资料如下表 :年份 储蓄(Y) 收入(X) 年份 储蓄(Y) 收入(X)1975 264 8777 1991 1702 241271976 105 9210 1992 1578 256041977 90 9954 1993 1654 265001978 131 10508 1994 1400 276701979 122 10979 1995 1829 278691980 107 11912 1996 2200 283001981 4
6、06 12747 1997 2017 284501982 503 13499 1998 2105 295601983 431 14269 1999 1600 321001984 588 15522 2000 2250 325001985 598 16730 2001 2420 335001986 898 17663 2002 2570 360001987 950 18575 2003 1720 362001988 779 19535 2004 1900 378501989 819 21163 2005 2100 382001990 1222 22880 2006 2300 40100要求：利用
7、 G-Q 检验考察是否存在异方差。若存在异方差，假定异方差的形式为，进行回归 分析。2)(VariuiX3. 表中给出 1985 年我国北方几个省市农业总产值，农用化肥量、农用水利、农业劳动力、每日生产性固定生产原值 以及农机动力数据，要求：（1）试建立我国北方地区农业产出线性模型；（2）选用适当的方法检验模型中是否存在异方差；（3）如果存在异方差，采用适当的方法加以修正。 农业总产值 农业劳动力 灌溉面积 化肥用量 户均固定 农机动力地区 （亿元） （万人） （万公顷） (万吨） 资产（元） （万马力）北京 19.64 90.1 33.84 7.5 394.3 435.3天津 14.4 95
8、.2 34.95 3.9 567.5 450.7河北 149.9 1639 .0 357.26 92.4 706.89 2712.6山西 55.07 562.6 107.9 31.4 856.37 1118.5内蒙古 60.85 462.9 96.49 15.4 1282.81 641.7辽宁 87.48 588.9 72.4 61.6 844.74 1129.6吉林 73.81 399.7 69.63 36.9 2576.81 647.6黑龙江 104.51 425.3 67.95 25.8 1237.16 1305.8山东 276.55 2365.6 456.55 152.3 5812.0
9、2 3127.9河南 200.02 2557.5 318.99 127.9 754.78 2134.5陕西 68.18 884.2 117.9 36.1 607.41 764新疆 49.12 256.1 260.46 15.1 1143.67 523.34. 1998 年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据资料： 行业名称 销售收入 销售利润 行业名称 销售收入 销售利润食品加工业 187.25 3180.44 医药制造业 238.71 1264.10食品制造业 111.42 1119.88 化学纤维制造 81.57 779.46饮料制造业 205.42 1489.89 橡胶制品业 77.8
10、4 692.08烟草加工业 183.87 1328.59 塑料制品业 144.34 1345.00纺织业 316.79 3862.90 非金属矿制品 339.26 2866.14服装制造业 157.70 1779.10 黑色金属冶炼 367.47 3868.28皮革羽绒制品 81.73 1081.77 有色金属冶炼 144.29 1535.16木材加工业 35.67 443.74 金属制品业 201.42 1948.12家具制造业 31.06 226.78 普通机械制造 354.69 2351.68造纸及纸制品 134.40 1124.94 专用设备制造 238.16 1714.73印刷业 9
11、0.12 499.83 交通运输设备 511.94 4011.53文教体育用品 54.40 504.44 电子机械制造 409.83 3286.15石油加工业 194.45 2363.80 电子通讯设备 508.15 4499.19化学原料制品 502.61 4195.22 仪器仪表设备 72.46 663.68试完成以下问题:(1) 求销售利润与销售收入的样本回归函数，并对模型进行经济意义检验和统计检验；(2) 分别用图形法、Glejser 方法、 White 方法检验模型是否存在异方差；(3) 如果模型存在异方差，选用适当的方法对异方差性进行修正。5. 表中 给出 1969 年 20 个国
12、家的股票价格（Y ）和消费者价格年百分率 变化（X ）的一个横截面数据。 国家 股票价格 变化率%Y 消 费者价格变化率% X1.澳大利亚 5 4.32.奥地利 11.1 4.63.比利时 3.2 2.44.加拿大 7.9 2.45.智利 25.5 26.46.丹麦 3.8 4.27.芬兰 11.1 5.58.法国 9.9 4.79.德国 13.3 2.210.印度 1.5 411.爱尔兰 6.4 412.以色列 8.9 8.413.意大利 8.1 3.314.日本 13.5 4.715.墨西哥 4.7 5.216.荷兰 7.5 3.617.新西兰 4.7 3.618.瑞典 8 419.英国
13、7.5 3.920.美国 9 2.1试根据资料完成以下问题:(1) 将 Y 对 X 回归并分析回归中的残差；(2) 因智利的数据出现了异常，去掉智利数据后，重新作回归并再次分析回归中的残差；(3) 如果根据第 1 条的结果你将得到有异方差性的结论，而根据第 2 条的结论你又得到相反的结论，对此你能得出什么 样的结论？ 参考答案一、填空题1. 横截面，异方差， ；2.有效；F。3. 统计检验结 果。 4. 标准差。 5.检验异)()(2iuiXfVar方差的存在性、获得异方差的形式； 6. 检验残差项的方差与解释变量观察值之间的相关性。7.异方差。8. 广义最小二乘法 (GLS)二、选择题1.A
14、BCD; 2. ABCFG; 3.ABCDEF; 4.AD三、问答题1. 答：对于模型， i=1,2,niikiii uXXY210同方差性假设为： ， i=1,2,n常 数)(uiVar如果出现： ，i=1,2,n)()(2iuiXfVar即对于不同的样本值，随机扰动项 的方差不再是常数，而是互不相同的。即常数（ ，称 为随机扰动项异方差。2)(iuiVar),.1ni2答：（1）参数估计量仍然具有无偏性，但非有效，在大样本情况下仍不具有一致性。（2）变量的显著性检验失去意义。（3）模型的预测失效。3答：主要有图示检验法、格莱泽检验、戈德菲尔特夸特检验（G-Q test）、布罗歇帕甘检验（B
15、reusch Pagan）、怀特（ White）检验法等等。图示法。异方差是指 的方差随解 释变量的变化而变化。可以利用 Y-X 的散点图，或者ie残差平方 与 X 的散点图来近似判断称 为图示法。图示检验法只能进行大概的判断，其他2ie检验方法更为严格。常用的是格莱 泽检验。格莱泽检验。该法以 为被解 释变量，以原模型的某一或多个解释变量 为解释变量，ie iX建立如下方程： 。选择关于 的不同函数形式，对方程进行估计并进行)(10iiXfbiX显著性检验，如果存在某一函数形式，使得方程显著性成立，说明原模型存在异方差。这种方法需要反复试算。Gold-Quandt 检验简称 G-Q 检验。将
16、 样本分为两个部分： 样本（1）和样本（2），然后分别对样本（1）和样本（2）进行回归分析，分 别求出 和 ，用 和 的比构成 F1RSRS2统计量，进行检验，判断异方差是否存在，称为 G-Q 检验。该检验的前提条件为；（） 样本容量较大， （）异方差是递增或递减型的， （） 服从正态分布，除异方差之外，满足其他假设条iu件。布罗歇帕甘检验（Breusch Pagan）。与 G-Q 法不同， 该方法不要求按照误差大小对观察对象进行排序，也不要求删 掉部分观察对象，故 这种方法的操作性更 强。考虑模型的异方差形式： )(2iuZfi该函数可以取线性或非线性。 变量 Z 是一个向量，它可以包括回归
17、模型中的解释变量 X，也可以是 X 之外的其他变量。该检验的做法是，首先利用 OLS 法估计回归模型并得到残差序列 ，接着进行下列辅助回归 ：iepe2102该回归式的可决系数用 表示。 对该回归结果进行 F 检验或拉格朗日乘子（ML）检验， 则eR)1/()(2nFe检验异方差的 LM 统计量为：2enRLM该统计量渐近服从自由度为 p 的 分布。 查相应的统计分布表，可以确定原模型残差序列是否存在异方差。如果辅助回 归式中只有一个 Z，变可以利用估计结果提供的信息对异方差进行校正。怀特（White）检验。建立检验异方差的辅助回归模型，即 对所有解释变量及其平方项2ie（或加上交叉项）进行回
18、归。举 例来说， 对于二元线性回归模型 iiii uXY210进行回归分析后求出 ，可建立如下 检验异方差的辅助回 归模型：2ie（不含交叉项） 24213210 iiiii X或（含交叉项） 215242132102 iiiiii Xe 对其回归可得 。R该检验的假设为：不存在异方差0H： 存在异方差1检验的统计量为：2nRm为样本容量， 为可决系数， 近似服从自由度为 (解释变量的个数)的 分布。查n2 k2分布，确定是否应该接受不存在异方差的原假 设。24答：当人们猜测异方差只取决于某些解 释变量时，布 罗歇 帕甘检验（Breusch Pagan）比较适合使用；当人们猜测异方差不仅取决于
19、某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特（White）检验比较适合使用。 虽 然，有时使用布罗歇帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用 怀特（White）检验却能检测出来。不过，怀特（White）检验要用掉很多自由度。5答：由于异方差性，相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么 检验异方差性，也就是 检验 随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。各种检验 方法就是在这个思路下发展起来的。6答：常用两种方法：对数法、广义最小二乘法（GLS）、加权最小二乘法（GLS）。（1）对数法。将模型中的被解释变 量和解释变量都采用对数的
20、形式。双对数模型形式压缩异方差的效果比较明显。（2）广义最小二乘法。原理是，对于线性回归模型： uXY如果残差项的方差为 PuVaru2)(其中 , 可以分解为 , 且 P 为非奇异阵，以 左乘原模型两边，得I 1XY1即： uXY则： I)()()( 211uPEuPVarur 可见以上对原模型的 GLS 变换消除了异方差问题。以代数的形式表示以上异方差问题，一般地写 为： )()(2iuii XfEVar用 GLS 法处理原模型，为 )()()(1)(0 iiii fXffXfY以一元线性回归模型 为例。u10如果对该模型估计后已知异方差的形式为: 22)(iuii XEVari由 GLS
21、 法的原理：iiiXY10该式的残差平方和为22102210 )()( iiiiiGLS eXYXR （3）加权最小二乘法（WLS）。当 已知或能够估计时，处理异方差性的方法iuiVar或一般采用加权最小二乘法。即 选择适当的权数 ，使其 变 化趋势与异方差变化的趋势相反，iW越大 越小， 越小 越大， 经过加权处理使得异方差经过某种均匀地“压缩”和“ 扩2iuiW2iui张”过程，变异方差 为同方差或接近同方差，这种处理异方差的方法称 为加权最小二乘法。加权最小二乘法以 作为权数，利用 OLS 法的原理，模型 的残)(1iVar uXY10差平方和为 2102)(iii XYeRS利用 对
22、RSS 做如下加权处理, 即 WLS 法的做法，则：)(iuVar22102 1)()1)( iuiiiWLS eXYuVaruareR和 的差异是 。两种方法得到的模型参数估 计结果是一样的。 实际上，GSS2/WLS 法是 GLS 法的特殊形式。四实践题5. 答：（1）估计回归模型： XY754.0613.4(4.2495) (5.0516), 58.2R183.2F作残差的平方 e2对解释变量 X 的散点图:由图形可以看出，模型有可能存在异方差。（2）去掉智利的数据后，回归得到如下模型XY215.0738.6（2.8254）（0.3987）,9.2R89.F作残差平方对解释变量的散点图, 从图形看出，异方差的程度降低了。Xe2（3）比较情况（1）和情况（2），实际 上根据所给的数据，我 们发现 情况（1）的异方差性比情况（2）的异方差性要低。Xe2
