1、第二编 线性代数59 题与书上答案不一样，请张老师核对一、选择题1. 【答案】D【解】基本题，直接按第一行展开 112 214 2223 31414333 444000()abaabababfxb. 231aab2. 【答案】B【解】 .1223() 5(1)34457xxf x【特别注意】有一种流行的错误说法说：行列式是一个数。这是不对的，事实上，行列式是一种对应法则，是一个函数，还可以出下面这样的题：设 ，证明：存在 ，使得 .232511()37fxx(0,1)()0f3. 【答案】C【解】 的列向量组、行向量组均线性相关. 事实上， 等价于说：组0A()RnAA成 的向量组一定线性相关
2、.4. 【答案】C【解】考矩阵基本运算， 12010212T 2TTTTABEE2E5. 【答案】B【解】 或 .当 时,显然 .()01rAnan1a()1rA6.【答案】C【解】伴随矩阵是重要考点， .1*A7. 【答案】C【解】 .*1*111()()()AA 21nnAA8. 【答案】B【解】学会将基本公式广义化，由于 ，于是写出 ，对于本题，*()E*()E狗 狗 狗.* 1*() )(nnnkAEkAkA9. 【答案】D【解】 现在的考研中，考“大块头”的伴随矩阵是考研的趋势。此题可以根据 逐一验证，*A也可以这样做： 1,AOCCAB.1*1 1*OBAO10. 【答案】B【解】
3、根据 ，得CE1,C分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆0AB2036ABB（ ）1110600AA1236002BA11. 【答案】D【解】考可逆矩阵的基本运算. ，故 是 的逆矩阵， ，选(D).()EBCABABCE12. 【答案】C【解】 .选(C).AB13. 【答案】C【解】 .选(C).00OAB14. 【答案】C【解】 .选(C).111111()()()ABEAB15. 【答案】C【解】 “ ”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：(1) .()msnOrs(2) 组成 的每一列都是 的解向量 . 对于本题，sABmsAXO.()31()3()PQrrPQ当 时, 1 或
4、2,则(A)和(B)都错;6t 2当 时, .选(C).()2()()rrr16. 【答案】C【解】 3212321321,(),.选(C).31,nm17. 【答案】B【解】可逆矩阵乘以任何矩阵 ，只要运算规则允许，则不改变 的秩，于是AA.选(C).1()(rrCr18. 【解】 ;又 ,则)OBn,()1,OBrB. 选(B).(),()rAnB19. 【答案】D【解】由秩的基本不等式， ,又 为 阶方阵.选(D).()min(),rArnAm20. 【答案】C【解】初等矩阵是考研出题频率极高的考点. .01010Q21. 【解】 .选(C).1122BAPA22. 【答案】C【解】初等
5、矩阵的考点。记住“左行右列” ，细心一点，选(C).23. 【答案】C【解】由题设，存在初等矩阵 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得） ，使得 12E，于是 ，即 ,BAE12 1*2*12*)( EAEA *12*B选(C)24. 【答案】C【解】 .由 ,则齐次线性方程组 只有零解,即 的列向量0TO()TrmTxOT全为零,故 .选(C).TB25. 【答案】C【解】 线性无关的充分必要条件是 中任意一个向量均不能由其余向量线性12,s 12,s表示. 选(C).26. 【答案】B【解】考虑线性相关定义的逆否命题. (A)、 （C ）存在不全为 0 的 有等式 成立,则
6、线性相关.12,mk 120mkk 12,m(B)（D）线性无关的定义判断 .选(B).27. 【答案】A【解】本题四个选项都是在说“行” ，所以 的行秩 的行向量组的最大()rAnrnA无关组含 个行向量.选(A).r28. 【答案】D【解】线性无关的通俗说法就是选项（D） ，这是基本概念题，送分的，选(D).29. 【答案】A【解】本题可用特值法，令 ,则 线性无关,(B)错; 线性相关,(C)错.0k123,1231,令 ,若 线性相关,则 能由 线性表示,(D)错.选(A).1k23,2,30. 【答案】B【解】齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .选(B).10mnAx()rA
7、n31. 【答案】B【解】考非齐次线性方程组解的结构. 线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故12,是对应齐次线性方程组 的基础解系; 又 ,故12,0Ax1212AAb为 的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B).Axb对(A): 为 的解.120Ax对(C): 为 的解,且 为 的解.12b120Ax对(D): 不一定线性无关.,32. 【答案】C【解】由 是 的三个线性无关的解，知 是 两个123， ， AX3121， 0Ax线性无关的解.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非齐次线性方程组解，从而是 的解.由非齐次线性方程组解的结构知23是 的通解.故应选（ C）.
8、1321()()kkAX33. 【答案】D【解】 有无穷多个解 有非零解. 选(D).Axb()()rBnr0Ax34. 【答案】A【解】基本概念问题，验证 .选(A).12,AO35. 【答案】A【解】 仅有零解 的列向量线性无关.选(A).0x()rn36. 【答案】C【解】对(A): ,1234123410,又 可逆， 不可逆且秩是 3,1234,0011故 ,则 线性相关. 12341(,)34r12341,同理可讨论(B),(C),(D).37. 【答案】C【解】 理由同上题，请自练，答案选(C).38. 【答案】B【解】由于（1） “初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向
9、量组的线性相关性不变”; （2）“初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变” ，于是,12345103210321,2754TTA向量组的极大线性无关组是 .选(B).12,39. 【答案】D【解】 , 于是1 1()()()()0mmkkkk ,1 1mm 故 线性相关.选(D).1 1,m 40. 【答案】D【解】三条直线交于一点 线性方程组 有唯一解1122330axbyc1212(,)(,)rr于是， 线性相关， 线性无关. 选（D）.123,41. 【答案】D【解】任何可逆矩阵都可以通过若干次初等行变换化为同阶单位阵，所以如果 为同阶可逆矩阵,则AB都与同
10、阶单位阵等价,故 等价.故选(D).AB,AB42. 【答案】A【解】 .选(A).()()mrrm43. 【答案】D【解】秩 =秩( ) ,则 必有非零解.选(D).0TA1n0TAxy44. 【答案】A【解】设 1123(,)(,)Pabcabc.122323(,)abc则 共面, 于是两直线共面. 又121233231211, 0,cabP 满秩矩阵 仍为满秩矩阵,所以 不平行,即两直线不112121223333abcabc12平行. 选(A).45. 【答案】C【解】 有非零解 .若 ,由 得 ,矛0,0ABAx01A0BA0盾.故选(C).46. 【答案】C【解】 线性无关,于是 线
11、性无关; 又 线性相关,得 可由 线性表示,也必可由,线性表示. 选(C).,47. 【答案】B【解】 .选(B).()min(),in,rArBm48. 【答案】B【解】由题意， 可由向量组 线性表示，故，如果 也可由 线性表示，12, m121,m则 可由向量组 线性表示，矛盾，故(C),(D)错. 可由向量组 线性表示, 12,m 则存在一组数 ,使得 , 其中 .若 , 则k 11mmkk 0mk可由向量组 线性表示, 矛盾. 可由 线性表示.故(A) 错. 选(B). 121,m 21,注意，这类问题是考研中重要的出题角度，涉及的逻辑推理性比较强，考生要高度重视.49. 【答案】D【
12、解】 与 相似,存在可逆矩阵 ,使得 ,则ABP1AB,1 1()()tEttEPtEA 即 与 相似. 选(D). 对于(A): ；对于(B): 与 相似,则 B与 有相同的特征值,但特征向量不一定相同；对于(C): 与 不一定能够相似对角化.50. 【答案】D【解】 线性无关1,m 111(,)(,)(,)mmmrrr 等价. 选(D).()rAB51. 【答案】C【解】 的基础解系含 个解向量 .可取()30x4()1rA.选(C).12(,5)T52. 【答案】A【解】 (1) ,即 的解是 的解;0()()0TTAxxAx0TAx(2) ,即 的解是T T的解. 故， 与 同解. 选
13、(A).xxTx53. 【答案】B【解】 .选(B).*()()()AAAxx54. 【答案】B【解】 阶方阵 具有 个不同的特征值则 与对角阵相似这是由矩阵可相似对角化的判定定理可知该nn命题是充分不必要条件.选(B).55. 【答案】B【解】 有一特征值 ,则 有一特征值 .选(B).213A214321()A3456. 【答案】A【解】对于实对称矩阵，相似必合同， 为实对称矩阵且 的特征值为 . 选(A).,0二、填空题57.【答案】-28【解】 .41243412430422871MA58. 【答案】40【解】 .23423488()40AB AB59. 【答案】3【解】1011110
14、033360. 【答案】 10011其中， ， .11OABB(,)(,)Eijij61. 【答案】 4x【解】1 124 1jc cxxDx 2134 43420(1).cxxx 62. 【答案】 1()nnab【解】按第 1 列展开,得 1 1000() ()000n nnbaDa abab 63. 【答案】 (1)mnb【解】 (1)mnn nOA AOCB B 从 第 +列 开 始 每 一 列 与 前 n列 逐 列 交 换.(1)m(1)mnab64. 【答案】 5432【解】行列式的计算.解 10101100aaDaa,544001()01aDaa则 543254325 1()()
15、1Da a.432a65.【答案】 1()n【解】与 59 题计算方法相同.0110101101nnA 110011010nnn 66. 【答案】23n【解】 .211*1*12/3nnABAB67. 【答案】-3【解】 或 .当 时 ;当 时 .3()0kkk()1RA3k()RA68. 【答案】1【解】 .11212 ()100i narinbabARA69. 1232n【解】 ()()()()()nTnTTTTA 11123()()2TnTnn70. 【答案】102【解】 .1010 12(2)12BOBOAI AI 其中， ， .11OB1dbabcac71. 【解】 .1A11205
16、25130O72. 【解】 .12()0ABBE73. 【答案】1OBA【解】设 ,由 ,得12X1221212XAXEOABO,21 11122212,EABX所以 .OA74. 【答案】0【解】 ，其中*()2341()0RRA*,(),()110,.nRA若若若75. 【解】1 1121 21 1nnn nOaaaOAa a .11210000nnaa76. 【答案】 3,dig【解】由 得 .16AB16()3,2BAEdiag其中， ,其中 全不为零.112 21n n 12,n77. 【解】 *1*101()5320AA78. 【答案】2【解】 可逆,则 .B()(RA79. 【答
17、案】 3【解】 ,得 ;又 ,得 ,则0()3BO()1RB. 又 .()272103tt80. 【答案】 (,42)diag【解】 *8828ABEABABE.1()(2)(,4)Ediag81. 【答案】 O【解】 212().nnAAAO82. 【解】 1()()()BEEBEA102()2()().324A83. 【答案】2【解】1234412345()2.607rARA84. 【答案】3【解】 ,则 .1231210044530rAtt33tt85. 【答案】 123a【解】,则11 22 33 144010r aaBAb .1230a86. 【答案】 为任意常数.(,),Txkk【
18、解】 的秩为 ,则线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为AnAx.()(1)Rn由 的各行元素之和均为零,知向量 是线性方程组 的一个非零解,故线性方程组,T 0Ax的通解为0x为任意常数.(1,),Txkk87. 【答案】 【解】 .2()011A88. 【答案】 (,0)Tx【解】 ,方程组有惟一解. 为方程组的解.1Tijjina(1,0)Tx89. 【答案】【解】,2121(|)3301()3rBAbaa 所以当 时, ,方程组无解.1a()2,()RB90. 【答案】 .【解】方程有无穷多个解 ，可得 ，解得10a1,2.a时线性方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，舍去.所以，
19、1a .91. 【答案】 4【解】 ，故 .311(4)AE492. 【答案】 .2()1【解】 有特征值 ， .由 ，可知 是 的一个特征值.则 必有特A01AA*2()AE征值 .2193. 【答案】 1,0n【解】由已知 阶矩阵 的元素全为 1,可知 ，因此 有 个 0 特征值.A1rA1n由特征值的性质：矩阵 的 n 个特征值之和等于 对应所有对角线上的元素之和，可得出 的另一个特A征值是 .94. 【答案】24【解】 与 相似,则 与 有相同的特征值,即 的特征值为 , 的特征值为 ,ABB1,23451B2345的特征值为 ,所以 .1E12341E95. 【答案】 ()na【解】 的特征值为 ,则 的特征值为 ,所以A0naA2na.(2)()nE96. 【答案】 .24【解】相似矩阵具有相同的特征值， 与 有相同的特征值. 的特征值为 1,2,3,4 所以BE13B97.【答案】 2t【解】 二次型的矩阵 正定 .102tA12230,20ttA98. 【答案】 .123,1xx【解】 ,解得 .1123123(,)auax123,1xx
