1、数学例题第 1 页 共 8 页例 1. 设 是两个实数，集合 ，集合ba、 ,|),(是 整 数nbayxA，集合 是平面内点的集合,讨论是否存在 153,|),(2是 整 数myxB 14|)(2yxC使得（1） ， （2） 两个条件同时成立.、 Bba),(【解】 为直线 在 时点的集合， 为抛物线 在 时点的Aaxy）（ 为 整 数nB532my）（ 为 整 数x集合。 ，即存在 及整数 使 成立，其几何意义是点 在直线、 p1532pba ),(baP上，又 的几何意义是点 在圆 内或边界上，因此0)153(:2pyxLC),( ),(baP14:2yxO要使(1),(2)同时成立，即
2、要求点 既在直线 上又在圆 的内部或边界上，所以，圆心 到直线PL )0,(O的距离 ，即 ， ， ，这与 为整数矛盾，因此这122pd0)32p（ 032p3pp样的实数 不存在.ba、例 2. 设 ，求证： .2,4x 12cotsx【解】 不妨构造一个等腰直角三角形 ， ABCR，在 上取一点 ，记90AC， D，则 ，xDB xxxcot1cotcs，利用 ，可得 ，在22s时等号成立 .4例 3. 在 中，已知 ，且 ，求ABCcab290,ACcb.sin:si：【解】 在 中，在 上取一点 使 ，则ABD，设 ，D， yBx，则有 ，在 中，cabxy，2ACRt可 得、消 去，
3、 又 byxc,)( 所ccaca6737-403822 ， 求 得以， )1(:)1(:sin:si bCBA：例 4. 已知 ，求证： 为定值.0cosco0iin CBA， CBA222coscos【解】 构造三点 ，则由重心坐标公式可得 的重心坐标为)in()in()sn( RQP， PQR数学例题第 2 页 共 8 页，即 的重心坐标为 .又0)sini(sin310)cos(cos31 CBAGyCBAGx， PQR)0,(G在圆心为原点的单位圆上，所以 的重心与外心重合，故 是正三角形.不妨设 的RQP, PQR RQP顺序是逆时针方向，则 ，于是32,2 23)2sin(34s
4、in2)2sin()sin(23)cos(213 co)(co1coco1cos CBACBACBCA AAB （例 5. 已知 ，求证：sinco4B1si4A【解】 设椭圆 ，则 在椭圆 上，又 也满足椭圆 的1si:2yxC)in,(co2AMC)sin,(co2BNC方程，可知 也在椭圆上，过点 的切线方程为 ，即 ，又NN1sinc2Byx1yx满足 ，所以点 也在切线上，由过椭圆上一点的切线唯一知， 重合，于)sin,(co2AM1yx NM、是 ，所以 .B222sini, 1sincosinco2424AA（设椭圆的标准方程为 ，切点为 ，则 （1），对椭圆求导得12byax)
5、,mP（ ba， 即切线斜率 ，故切线方程为 ,以(1)代入并化简得切线方程为yaxb2 nk)(2mxny）1bnm例 6. 若关于 的方程 有两个不等的实根，求 的取值范围.x0-)lg(2mxm【解】 原方程可化为 ，故要使方程有解， 在 的值域范围内即可.1lgl2x 1lg2x .l4l)1lg(1l2xx l2当 时取等号,故原方程有唯一解；而当 时，每一个 值对应两个 值（若 满足，则lgmmx必满足） 。故当 时，原方程有两解.1x2lgm数学例题第 3 页 共 8 页例 7. 解方程 .xx9412log21)(log【解】 令 ，得 ，原方程转化为 ，即 ，亦即t9lt t
6、tt)39(log12 ttt1239. ,此时 ，经检验 是原方程的根. 1)4(3tt t89x82x例 8. 实数 满足 求 的值.、 ,53,15322【解】 由 ，可得 ；由 ，可得30)1()（ 532.设 ，则 在 上单调递增.又02)1()( 23xxf )(xfR，于是 ，故ff 例 9. 求函数 的值域.)21(3xy【解】 由 得， ，问题转化为求 的取值范围，使关于 的方)(x )21(032xyx yx程 在 上有实根.设 ，由二次函数的图像可知： 或032y），（ 21yxf3)(2021)(yf，解得 . 0)2(1ff )2,4(y例 10. 已知两点 ，若抛物
7、线 与线段 有两个交点，求实数 的取值范围. ),3(,BA1mxABm【解】 问题等价于方程组 有两组解，即 在 上有两解.设)30(12xyxm02)(2x3,，则有 ， 2)1()(2xf 0321)(f 3812m例 11. 已知方程 有唯一实根，求实数 的取值范围. )(log42l axxa【解】 由 得 2)(20ax0)2(0axx数学例题第 4 页 共 8 页（1）当 ，即 时， ，满足 ， 满足条件.021a21xax21（2）当 ，即 时， ,又 ，故要满足题意，必须1a a，或 ，解得 . 所求 的取值范围为 . aa10120a 210a，例 12. 已知函数 的值域
8、为 ，求 的值.12log)(3xcbxf ,cb,【解】 设 ，则 ，根据求值域的判别式法.)(2tt )31(0)2( ttxt当 时，由 ，得t 04tcb 0824cbtct由题意知方程 有两解 ，由韦达定理 ，解得8)2(btt 31tt或 342cb2cb当 时，对应的 ，故不满足条件，所以 t 0x .2,cb例 13. 求同时满足下列条件的所有复数 ：（1） 是实数，且 ；（2） 的实部和虚部都是整数. Z10Z610ZZ【解】 设 ，则 ，故 ， .由 的实部 是整数，RmZ10242mim2402m知 只能在 2,4,6 中取，但同时使 为整数的值只能取 2,6，故同时满足
9、条件的复数是 . 240 i3,1例 14. 求方程 的正根的个数.02x【解】 如果通过解出方程的根再判断正根的个数，那么要解一元三次方程 ，这很困难。可转化为求023x函数 与函数 图像在 轴右侧的交点个数，问题就迎刃而解了。通过画草图可知，函数2xyxy2y图像开口向下，过三、四象限，而函数 的图像位于一、三象限，结合图像可知两函数图像xy2在 轴右侧没有交点。所以方程 的正根的个数为 0 个。y 02x例 15. 若一元二次方程 的两个正根 满足 ，求实数 的取值范围.0142ax,1a数学例题第 5 页 共 8 页【解】 由韦达定理得， 即 a141 ， ，即 . 01041402)
10、(41)(1a当 时， 有最小值 ；当 时， 有最小值 .2a1或 602故求实数 的取值范围是 .6024a例 16. 设不等式 对满足 的一切实数 均成立，求实数 的取值范围.)1(22xm2mmx【解】 原问题等价于 在 时恒成立。因此有 ，解01)()2xf 2,012)()2xf得 ，因此，使得原不等式在 时恒成立的 的取值范围是 2137x mx.3,7例 17. 一条河宽 1km，两岸各有城镇 和 ， 和 的直线距离为AB4km，今需铺设一条电缆连接 与 ，已知地下电缆的修建费是 2万元/km，水下电缆的修建费是 4 万元/km，问应如何架设电缆方可使总的修建费最少？（假设两岸为
11、平行的直线）【解】 过点 作与 成 30的射线 ，过 作ADCE于 ，过 作 于 ， 交CEMBANBN于 。则总修建费用FEEMEA 4)(442 ， .3B315FD例 18. 已知关于 的不等式 的解集是 ，求 的值.x )0,(122kRkxx且 ），（ 3k【解】 不等式可化为 3)(k不等式的解集是 ， 是关于 的方程 的解，且），（ 3xxx32)1(kxk，解得 .0)1(k5k例 19. 已知函数 ，设 ，证明： xfln)(ba .2ln)(2)(0)(abbfafaf【解】 ，令 ，则由ln(lnl)2()(fbfaf 2ln)(ll)( xaxxF，得 .又 ， ，即0
12、lnln)( xaxxF axb0)()ab数学例题第 6 页 共 8 页又设 则由 ，得 .0)2()(baffaf .2ln)()(axFxG .0ln2)( axxFG.0x ， 即Gb .0l)b .l)(ab故原不等式成立.2ln(2)()(abfafaf例20. 设在高校篮球联赛中，某高校男子篮球队要从8名队员中选出平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如下表所示：队员号码 身高/m 擅长位置1 1.92 中锋2 1.90 中锋3 1.88 前锋4 1.86 前锋5 1.85 前锋6 1.83 后卫7 1.80 后卫8 1.78 后卫同时要求出场阵容必须满足下列条件：
13、中锋只能上场1名；至少有1名后卫；如果1号队员和4号队员上场，则6号队员不能上场；2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场。试确定该篮球队符合要求的出场阵容?【解】 设 则 满足以下约束条件：,82,110jjxj号 球 员 上 场， 第 号 球 员 不 上 场， 第 jx(1)中锋只能上场1名 ;2x(2)至少有1名后卫 ;1876(3)如果1号队员和4号队员上场 ,则6号队员不能上场 ;2641x(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场 ;2x又因为篮球比赛要求每队上场队员为5名，所以还应该有.587654321 xxx根据上述分析可以得到所讨论问题的数学模型(线性规划模型) 如下:
14、 ,78.10.3.81.6.1.90.1.ma 65432 xxf 1,05. 876543268721jxxxxts通过MATLAB 编程处理,程序如下:数学例题第 7 页 共 8 页clearf=-1.92,-1.90,-1.88,-1.86,-1.85,-1.83,-1.80,-1.78;A=1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,00 ,0 ,0 ,0 ,0 ,-1 ,-1 ,-1 1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ;b=1 ; - 1 ;2 ;1 ;5 ;x=bintprog(
15、f ,A ,b , , )h=-f*x/5解为x =10111010h =1.8620即经计算得该球队符合要求的出场阵容是:1 ,3 ,4 ,5 号和 7 号队员,球队的平均身高为 1.862 m.例21. 设 ，已知 ， ，求 的值.Ryx、 1)(197)(3xx 1)(19)(3yyyx【解】 构造函数模型 ，则已知条件等价于 因为 为R上的单调奇函数，ttf ,)(,fxf )(tf所以，由 得，)()()( yfyfx .2y即例22. 解方程 .23432x【解】 构造函数 ， ，因为 的定义域为 ，而当 时，xf4)(23)(xg)(xf 23|x23x，所以原方程的解为 .0g
16、f例23. 解方程 .32sinx【解】 原方程可变形为 ，构造函数 ， ，则 的值域为-1,1, 32sinxxfsin)(32)(xg)(xf的值域为2,+,因为-1,12,+=，所以原方程无实根。)(xg例24. 解方程 .543【解】 显然 是原方程的一个解。将原方程变形为 ，构造函数 ， ，2x 1543x）（）（ xf）（ 53)(xg）（ 54)(显然 都是R上的单调递减函数，当 时， ，当 时，)(,gf 2x 1453)(2）（）（gf 2，所以原方程的解为 .1543)(2）（）（x数学例题第 8 页 共 8 页例25. 解方程 .032)1(212xxx【解】 原方程可变形为 02)1()(2 x
