1、例7 已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径 d = 20 mm， 许用应力 =160 MPa，F = 25 kN。 求：(1) 校核CD杆的强度； (2) 确定结构的许可载荷 F ； (3) 若F = 50 kN，设计CD杆的直径。,解：(1) 校核CD杆的强度,CD杆轴力FNCD：,SMA= 0 FNCD2a F 3a = 0, FNCD = 1.5F,CD杆应力 CD：, CD CD杆强度足够。,(2) 确定结构的许可载荷 F , F = 33.5 kN,(3) 若 F = 50 kN，设计CD杆的直径。,圆整，取直径 d = 25 mm。,例8 图示结构，BC杆 BC=160 MP
2、a，AC杆 AC=100 MPa， 两杆横截面面积均为 A = 2 cm2。 求：结构的许可载荷 F 。,解：(1) 各杆轴力, FNAC = 0.518F FNBC = 0.732F, F 3.86 104 N= 38.6 kN,SFx= 0 FNBC sin30 FNAC sin 45 = 0,SFy= 0 FNBC cos30 FNAC cos 45 F = 0,(2) 由AC杆强度条件：,0.518F A AC = 2104 100 106, F 4.37104 N= 43.7 kN,(3) 由BC杆强度条件：,0.732F A BC = 2104 160 106,(4) 需两杆同时满
3、足强度条件：应取较小值，F = 38.6 kN,87 胡克定律与拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形与胡克定律,轴向拉伸和压缩试验表明：,取比例系数 E： s = Ee 称为胡克定律。,比例系数 E 称为材料的弹性摸量，单位：GPa 1GPa=109 Pa,由s e 曲线可知：,E 为图中直线 OA 段的斜率，即,E ，材料受力后越不易变形，是用来衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。,碳钢： E = 196 210 GPa 。,在比例极限s p内，正应力与正应变成正比，即 s e,轴向拉伸试验中：,在 F 作用下：,杆的轴向伸长变形量为：,得：,Dl = l1 l,此时：,杆沿轴向的正应变为：,
4、代入胡克定律 s = Ee,整理：,为胡克定律的另一表达形式，可用来计算杆沿轴向的弹性变形。,l l1 ， b b1,杆长l、横向尺寸b,可知： Dl 与 FN、l 成正比，与 A 成反比。,另外：Dl 与 FN 符号相同，轴向拉伸时，杆伸长，Dl 为正； 轴向压缩时，杆缩短，Dl 为负。,当 FN、l 一定时， EA ， Dl ，, 称 EA 为杆横截面的拉压刚度，表示轴向拉压时杆抵抗弹性 变形的能力。,当杆为几段不同截面组成，或各段轴力不同时，杆的变形为：,轴向拉伸时，杆横向尺寸减小： b b1 Db = b1 b,试验表明：在 s sp 时，材料的横向正应变与轴向正应变之 比的绝对值为一
5、常数。,即：,横向正应变：,可知：轴向拉伸时 e 为负，轴向压缩时e 为正。,称 m 为泊松比(横向变形系数)，无量纲。,m 也反映了材料所固有的弹性性能。,低碳钢：m = 0.25 0.33,几种常用材料的弹性模量 E 与泊松比 m 的数值见表8-1，P143。,表 8-1 材料的弹性模量与泊松比,例9 变截面杆受力如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2，E = 200 GPa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。,AC段： FN1 = 30 kN (压),解：
6、 1) 计算各段轴力,2) 计算各段变形,CD段： FN2 = 20 kN (拉),AB段：,CD段：,DB段： FN3 = 20 kN (拉),DB段：,例9 变截面杆受力如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2，E = 200 GPa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。,3) 杆的总变形, 杆的总变形为,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。 求：图中节点C的位移。,解： 1) 计算各杆轴力,AC杆： FNAC (拉力),BC杆：
7、 FNBC (压力),2) 计算各杆变形,2) 计算节点C的位移：,过 C1 作 AC1 的垂线，,过 C2 作 BC2 的垂线，,交点即为变形后C点的位置C4(近似)。,实际位置为 C ，小变形条件下误差很小。,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。 求：图中节点C的位移。,DlAC,C1,C3,C4,O,C的水平位移：,C2,DlBC,C的垂直位移：, 节点C的位移：,解题方法：考虑三个方面,静力平衡条件；物理关系：胡克定律(变形公式)；变形几何关系：小变形条件。,概括为：平衡求内力；沿杆绘变形，垂线代圆弧，交点得位移。,注意：各杆变形应与其受力情况相对应。,
8、静不定问题的处理方法：,88 简单拉压静不定问题,静定问题： 未知力数 静力平衡方程数,静不定问题(超静定问题)： 未知力数 静力平衡方程数,此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量，必须建立补充方程，与静力平衡方程联立求解。,一、静定与静不定问题,未知力数 静力平衡方程数 = 静不定问题的次数(阶数),由数学知识可知：n 次静不定问题必须建立 n 个补充方程。,二、简单静不定问题分析举例,除静力平衡方程外须寻求其他条件。,材料力学中从研究变形固体的变形出发，找出变形与约束的关系(变形协调方程)、变形与受力的关系(物理方程)，建立变形补充方程，与静力平衡方程联立求解。,例11 设横梁为刚性梁，杆
9、 1、2 长度相同为 l ，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。 试求：杆 1、2的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F = 0 (a),2) 变形几何关系,Dl2= 2Dl1 (b),3) 物理关系,代入(b),例11 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l ，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。 试求：杆 1、2的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F =
10、 0 (a),代入(b),联立(a) (c) 解之,注意：静不定问题中各杆轴与各杆的拉压刚度有关。,静不定问题的解题方法：,1. 静力平衡条件静力平衡方程；,2.变形几何关系变形谐调条件；,3.物理关系胡克定律。,变形补充方程,解题步骤：,1. 由静力平衡条件列出应有的静力平衡方程；,2.根据变形谐调条件列出变形几何方程；,3.根据胡克定律(或其他物理关系)建立物理方程；,4.将物理方程代入变形几何方程得补充方程，与静力平 衡方程联立求解。,解题关键：又变形谐调条件建立变形几何方程。,注意：假设的各杆轴力必须与变形关系图中各杆的变形相一致。,例12 杆 1、2、3 用铰链连接如图，各杆长为：l
11、1=l2 =l、l3，各杆 面积为A1=A2=A、A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2 =E、E3。 F、a 已知。 求各杆的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SFx= 0 FN1sina + FN2sina = 0,SFy= 0 2FN1cosa + FN3 F = 0 (a),FN1= FN2,2) 变形几何关系,Dl1= Dl3 cosa (b),3) 物理关系,(c),代入(b),联立(a) (c) 解之,连接件：在构件连接处起连接作用的零部件，称为连接件。,如：螺栓连接：,89 连接部分的强度计算,例如：螺栓、铆钉、销、键等。,连接件虽小，但起着传递载荷的作用。,铆钉连接：,工作时传递
12、横向载荷。,工作时传递横向载荷。,此外剪板机剪断钢板：,钢板受横向剪切力作用。,若工作时连接件失效，则会影响机器或结构的正常工作，甚至会造成灾难性的严重后果。,键连接,工作时传递转矩。,连接件的受力和变形一般较复杂，难以进行精确分析。,工程上根据实践经验，采用简化的实用方法进行计算。,一方面对连接件的受力和应力分布进行简化，计算其“名义”应力；同时对同类的连接件进行破坏试验，确定材料的极限应力，从而建立有关的强度条件，进行实用计算。,键受力：,1. 剪切的概念及特点,以铆钉为例：,受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近 的平行力系作用。,变形特点：构件沿两平行力系间的相 邻横截
13、面发生相对错动。,一、剪切与剪切强度条件,发生相对错动的横截面称为剪切面。,受力过大时铆钉沿剪切面被剪断。,同时存在两处剪切面时称为双剪。,2. 剪切时的内力,截面法：,剪切面上内力 FS，与截面相切。,SFx= 0 F + FS = 0,FS 称为剪力，为一分布力系。, FS = F,此外剪切时常伴有挤压作用。,挤压：一种局部受压现象。,3. 剪切时的应力,剪力FS 位于截面内，组成 FS 的应力也位于截面内。,假定：剪切面上的切应力均匀分布。, 剪切面上存在切应力 t 。,t 称为名义切应力(平均切应力)。,As为剪切面的面积。,注意：剪切面与剪力平行。,4. 剪切强度条件,由剪断试验测定
14、剪断时的载荷Fb，,考虑安全因数，得剪切许用切应力 t ：,得材料的剪切极限切应力 t b ：, 剪切强度条件,由剪切强度条件可进行三种类型的剪切强度计算。,常用材料的剪切许用切应力可查阅有关资料。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,挤压的概念及特点,挤压：连接件中受剪切的同时发生的局 部受压现象。,在连接件接触表面局部受压处的力称挤压力 Fbs。,当挤压应力过大时会引起挤压破坏。,二、挤压与挤压强度条件,如铆钉和孔被挤压产生显著的塑性变形、 压溃，使连接松动，发生失效。,由挤压力引起的应力称为挤压应力 sbs。,挤压应力只分布于接触面的附近区域，在接触面上的分布也比较复杂，工程中采取简化的实
15、用方法进行计算。,假定：挤压面上的挤压应力均匀分布。,Fbs为挤压力，Abs为挤压面的面积。,挤压强度条件：,sbs为材料的许用挤压应力，可查阅有关设计手册。,由挤压强度条件可解决三种类型的挤压强度计算问题。,挤压面面积 Abs的计算：根据接触面的情况而定。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,接触面为平面：如平键。,挤压面面积 Abs 按接触面实际面积计算，即,接触面为圆柱面的一部分：如螺栓、铆钉、销等。,挤压应力的分布为：,挤压应力的最大值位于接触面的中点，,计算中以直径平面面积ABCD作为挤压面的面积：,所得挤压应力数值与接触面上实际最大应力值大致相等。,注意：挤压面面积与挤压力垂直。,分
16、析：,例13 一铆钉连接如图示，受力F =110 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d =1.6 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿1-1截面被拉断；,钢板沿2-2截面被剪断，一般较少见。,解：1) 铆钉剪切强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F = 28 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d
17、 =1.6 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,2) 挤压强度, 剪切强度满足。,bs bs 挤压强度满足。,3) 钢板拉伸强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F = 28 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d =1.6 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。, 拉伸强度满足。, 综上，铆钉连接安全。,例14 木榫接头如图所示，a = b =12 cm，h = 35 cm，c
18、= 4.5 cm,F = 40 kN。试求接头的切应力和挤压应力。,如图示：,解：1) 剪切面、挤压面,2) 切应力,3) 挤压应力,AS = bh Abs = bc,解：1) 键的受力分析如图,例15 齿轮与轴由平键(bhl = 2012100)连接，传递的转矩 M = 2 kNm，轴直径 d = 70 mm，键的许用切应力= 60 MPa，许用挤压应力bs=100 MPa。试校核键的强度。,SMO= 0 F d/2 M = 0,2) 键的剪切强度,例15 齿轮与轴由平键(bhl = 2012100)连接，传递的转矩 M = 2 kNm，轴直径 d = 70 mm，键的许用切应力= 60 M
19、Pa，许用挤压应力bs= 100 MPa。试校核键的强度。,3) 键的挤压强度, 键满足强度 要求。,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 = 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 MPa。 试设计键的长度 l 。,解：1) 键的受力分析如图,SMO= 0 F d/2 M = 0,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 = 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 M
20、Pa。 试设计键的长度 l 。,2) 由键剪切强度条件,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 = 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 MPa。 试设计键的长度 l 。,3) 由键挤压强度条件, 应 l = 53.3 mm，圆整，取 l = 55 mm,受力分析如图：,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t =1 cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用应力为 = 160 MPa；铆钉直径 d =1.6 cm，许用剪应力 =140 MPa ，许用挤压应力
21、 bs= 320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,假定每个铆钉受力相等。,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t =1 cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用应力为 = 160 MPa；铆钉直径 d =1.6 cm，许用剪应力 =140 MPa ，许用挤压应力 bs= 320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,分析：,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿截面2-2或截面3-3被拉断；,解：1) 键的剪切强度,2) 键的挤压强度,截面3-3： FN3 = F, 综上，铆钉连接安全。,截面2-2 和3-3 为危险面：,截面2-2：,3) 钢板的拉伸强度,例18 已知钢板厚度 t =10 mm，剪切强度极限为tb= 300 MPa。 现需在钢板上冲出直径 d = 25 mm的孔，求冲剪力Fb数值。,分析：,破坏条件为： t t b,解：,Fb t bp d t = 300 106p 10 25 106 = 235619 N = 235.6 kN,
