1、一、主副处理都按随机区组安排的裂区设计试验资料的分析如果在一个裂区设计的试验中，主(整) 区因素(A)有 a（i1, 2, , a）个水平，按随机区组方式安排了r（ j1, 2, , r）次重复，共有 ar 个主区；又，副(裂) 区因素(B) 有 b（k1, 2, , b）个水平，每个整区再被划分为 b 个副(裂)区，于是整个试验共有 abr个副(裂)区，即整个试验共有 abr 个观察值。此类试验资料中各观察值的数学模型为： ijkikkijijijkikkjkijkx )()(（i1，2，a；j 1，2，r ；k1，2，b）其中 为整区 jk 的效应值，ijijjk为第 j 主区组的效应值，
2、 为第 i 个 A 水平的效j i应值， 为主区误差效应； 为第 k 个 B 水平的效ijk应值， 为 Ai 与 Bk 之间的交互作用， 为裂ik)( ijk区误差。从数学模型看出，对于这类资料的分析可以分两步进行：1 先按模型 将整区效应按普通ijijjk随机区组的方法分解为主区组间变异、A 因素各水平间变异和主区误差变异。这是一个两向分类的方差分析，方差分析表如表 8.44 所示。其中列出了计算各项自由度和平方和的计算公式。但是作者还是建议弄懂这些公式的文字描述，而不是死记那些洋符号。关于各公式的文字描述，详阅下面的例题。如果这一步中对 A 因素各水平间差异的 F 测验显著，就对 A 因素
3、各水平的平均数进行多重比较。不论对 A 因素各水平间差异的 F 测验显著不显著，都要进行第二步分析，以考察因素 B 各水平间的差异和因素 AB 之间的交互作用。表 8.44 第一步：将总变异分解为主区组间变异、主处理(A)间变异和主区误差变异来源自由度 平方和 均方 F 值主区组间dfrr 1CabTxabS jjr /)(22A间dfAa 1brTxbrSiiA /)(22 MSA MSA/ MSea误差Adfea(r1) (araTAeaSS MSea 1)整区变异dfTAar 1 CbTxbS ijijTA /)(222 按模型 将试验的ijkikkjkijkx )(总变异分解为整区间变
4、异、B 因素各水平间的变异、交互作用(AB)引起的变异和裂区误差效应 。方差分析表如表 8.45 所示。表 8.45 第二步：按模型将总变异进行分解 ijkikkjkijkx )(变异来源自由度 平方和 均方F值整区变异dfTAar1CbTxbSijijTA /)(22B间dfBb 1CraTxraSkkB /)(22 MSB 视模型而确定AB互作dfAB(a1) (b 1)BAtABSSMSAB误差Bdfeba(r 1) (b 1)ABBTATeb SSS MSeb总变异dfT ab1CxSijkT2 MST将表 8.44 与表 8.45 合并起来就得到总的方差分析表，如表 8.46 所示，
5、其中列出了各种模型中各项变异的期望均方，它们决定了各项 F 测验中计算 F值的方法。表 8.46 主区副区都是随机区组的裂区试验资料的总方差分析表期望均方(EMS)变异来源自由度 固定模型 随机模型 A 固定 B 随机 B 固定 A 随机主区组间dfrA间 dfA2212Aeerb221ABeerb221ABeerb221Aeerb误差Adfea 212ee 212ee 212eeb212ee整区变异dfTAB间 dfB22Bera222BABera2Bera 222BABeraAB互作dfAB 22ABer22ABer 22ABer 22ABer误差Bdfeb 2e2e2e2e总变异dfT
6、例 8.8 考察三种药物(A 1, A2, A3)对心脏的副作用。找了 15 只白鼠作试验，用微量输液器以每分钟0.031ml 的速度，从它们的尾部静脉连续输注药液。每 5 只注射一种药物，从第 0 分钟起，每隔 20 分钟纪录一次心电图的 PRc 间期（msec） 。观察一小时，所得数据如表 8.47 所示（数据已简化） ，试对资料进行适当的分析。本例中，主区因素(A)为药物种类，有 a3 个水平；每只白鼠为一个区组，主区组数 r5；测定时间为副区因素(B)，副区因素有 b 4 个水平，每种测定时间为一个副处理。试验有 ar3515 个整区；表 8.47 例 8.9 的裂区试验数据资料白鼠编
7、号药物(A)时间(B) 1 2 3 4 5 处理之和0 m 3 4 3 4 3 1720 m 4 4 5 6 3 2240 m 4 5 5 6 4 24A160 m 5 5 5 5 5 25整区和 16 18 18 21 15 880 m 3 4 3 4 4 1820 m 3 4 4 4 4 1940 m 4 4 4 5 5 22A260 m 6 5 6 7 7 31整区和 16 17 17 20 20 900 m 4 3 4 3 3 1720 m 4 3 3 4 4 1840 m 3 4 4 4 4 19A360 m 4 3 4 5 4 20整区和 15 13 15 16 15 74组区组和
8、 47 48 50 57 50 252整个试验有 abr34560 个裂区，即 60 个观察值。裂区设计试验资料的分析分为两步进行：第一步：对整区按普通的随机区组的方法进行分析，即把整区变异分解为主区组变异、主处理变异和主区误差。为了计算方便，将表 8.47 中各整区之和按随机区组的样子进行整理，作成表 8.48。然后计算各项自由度和平方和：整区自由度 dfTA整区数1 ar 115 114主区组自由度 dfr主区组数 1 r 15 14主处理(A)自由度 dfA主处理数 1 a 13 12主区误差自由度 dfea( r 1) (a 1)428 或df TAdf rdf A14 4 28表 8
9、.48 对整区数据的整理白鼠编号(区组)药物(A) 1 2 3 4 5 iTji22iTixA1 16 18 18 21 15 88 1570 7744 4.4A2 16 17 17 20 20 90 1634 8100 4.5A3 15 13 15 16 15 74 1100 5476 3.7jT47 48 50 57 50 252 4304 21320 4.2ij2737 782 838 1097 850 43042jT2209 2304 2500 3249 2500 12762矫正项 C.T.(观察值总和) 2/(观察值总数)252 2/601058.4整区平方和 SSTA (各整区之和
10、) 2/每整区中的观察值数目C 4304/41058.4CbTij/217.6主区组平方和 SSr (各区组之和) 2/每区组中的观察值数目C 12762/12 1058.CabTj/245.1主处理(A)平方和 SSA (各 A 处理之和) 2/每 A处理中的观察值数目C 21320/201058.CbrTi/247.6主区误差平方和SSeaSS TASSaSS r17.65.17.64.9将以上自由度和平方和填入表 8.49 得第一步（整区部分）的方差分析表。第二步：将整个试验的总变异分解为整区变异、副处理(B) 变异、主副因子(AB)之间的交互作用和副区误差。为了计算交互作用，将表 8.
11、47 中各处理组合之和列成二向表如表 8.50 所示。然后计算各项自由度和平方和：表 8.50 例 8.9 的 AB 二向表B1 B2 B3 B4 iTkix22iTixA1 17 22 24 25 88 1974 7744 4.4A2 18 19 22 31 90 2130 8100 4.5A3 17 18 19 20 74 1374 5476 3.7kT52 59 65 76 252 5478 21320 4.2ix2902 1169 1421 1986 54782kT2704 3481 4225 5776 16186ix3.467 3.933 4.333 5.067 4.2表 8.49
12、第一步：整区部分的方差分析表变异来源自由度平方和 均方 F F0.05 F0.01主区组间 4 5.1 1.2750 A 间 2 7.6 3.8000 6.204* 4.459 8.649 主区误差 8 4.9 0.6125 整区间 14 17.6总自由度 dfT 观察值总数目1裂区总数目1abr 160 159处理组合自由度 dft处理组合数112111副处理(B)自由度 dfB副处理数 1b 14 13AB 互作自由度 dfABdf AdfB23 6 或dfABdf tdf Adf B11236副主区误差自由度dfebdf Tdf TAdf Bdf AB59 14 3 636总平方和 SS
13、T各观察值2C(3 24 24 2)1058.411161058.457.6处理组合平方和 SSt (各处理组合之和) 2/每处理组合中观察值数目C 5478/51058.4 37.2CrTik/2副处理(B)平方和 SSB各副处理(B)之和 2/每副处理(B)中观察值数 C 16186/151CarTik/2058.420.667AB 互作平方和SSABSS tSS ASS B37.27.6 20.66678.933副区误差平方和SSebSS TSS TASS BSS AB57.617.620.6678.93310.4将以上自由度和平方和填入表 8.51 得第二步的方差分析表。表 8.51
14、第二步：裂区部分的方差分析表变异来源自由度 平方和 均方 F F0.05 F0.01整区间 14 17.6B 间 3 20.667 6.889 23.846* 2.866 4.377 AB 互作 6 8.933 1.489 5.154* 2.364 3.351 副区误差 36 10.4 0.289 总变异 59 57.6最后，将两个方差分析表合并得到一个总的方差分析表，如表 8.52 所示。表 8.52 例 8.9 的方差分析总表变异来源自由度 平方和 均方 F F0.05 F0.01整区部分主区组间 45.11.2750 A间 2 7.6 3.8000 6.204* 4.459 8.649
15、主区误差 84.90.6125 整区间14 17.6B间 3 20.667 6.889 23.846* 2.866 4.377 AB互作 68.9331.489 5.154* 2.364 3.351 副区误差 3610.40.289 裂区部分总变异 5957.6由于 A 间差异显著，因此要对 A 各水平的平均数进行多重比较。以 Duncan 法为例，表 8.53 列出了比较标准，其中 0.175，按主区误20/615.0SE差自由度 dfea8 查 Duncan 表。表 8.53 对因素 A 的比较标准 表 8.54 对因素 A 的多重比较g SSR0.05SSR0.01LSR0.05 LSR
16、0.01 药物 ix3xi1xi2 3.26 4.74 0.57 0.830 A2 4.5 0.8* 0.13 3.39 5.00 0.59 0.875 A1 4.4 0.7*A3 3.7表 8.54 列出了比较结果。比较结果表明 A1 和A2 之间没有显著差异，但这两种药物的反应都显著高于 A3。从方差分析表中可知，因素 B 各水平之间也有显著差异。因此要对其平均数进行多重比较。以Duncan 法为例， 表 8.55 列出了比较标准，其中0.139，按副区误差自由度 dfeb3615/289.0SE查 Duncan 表。表 8.56 列出了比较结果。结果表明，随着时间的延长，当然也由于注入的
17、药物量的增加，副作用越来越明显。表 8.55 对因素 B 的比较标准 表 8.56 对因素 B 的多重比较gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01药物 ix3xi3i 1xi2 2.88 3.86 0.399 0.500 B4 5.071.60*1.133*0.733*3 3.03 4.04 0.421 0.600 B3 4.330.87* 0.400*4 3.11 4.14 0.432 0.600 B2 3.93 0.47*B1 3.47方差分析表也表明，药物与时间之间有显著的交互作用。也就是说，副作用最大的药物输注时间最长时副作用反而不是最大的了；相反，副作用最小的药物输
18、注时间最短时副作用未必是最小的。因此要对处理组合进行多重比较。表 8.57 A 同 B 不同的比较标准 表 8.58 对其它处理组合间比较的标准按 dfeb 查表 按 dfea 查表 综合算出的gSSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 gSSR0.05SSR0.01SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.012 2.88 3.86 0.692 0.928 2 3.26 4.74 3.189 4.577 0.867 1.2453 3.03 4.04 0.728 0.971 3 3.39 5.00 3.323 4.820 0.904 1.3114 3.11 4.
19、14 0.748 0.995 4 3.47 5.14 3.403 4.952 0.925 1.3475 3.19 4.2 0.767 1.010 5 3.52 5.23 3.459 5.039 0.941 1.3706 3.24 4.28 0.779 1.029 6 3.55 5.32 3.492 5.127 0.950 1.3947 3.28 4.33 0.788 1.041 7 3.56 5.4 3.508 5.201 0.954 1.4158 3.31 4.38 0.796 1.053 8 3.56 5.47 3.514 5.268 0.956 1.433因为两个因素 A 与 B 的重复
20、次数不同，测验时所用的误差估计值也不同。因此，在裂区设计资料中，不同的处理组合进行比较时，采用不同的误差估计。其规则是：A 相同 B 不同的处理间进行比较时，按公式表 8.59 不同处理组合平均数之间的多重比较处理组合 ix A 2B4 6.2 2.8* 2.8* 2.6* 2.6* 2.4* 2.4* 2.2*1.8*1.8*1.4* 1.0A 1B4 5.0 1.6* 1.6* 1.4* 1.4* 1.2* 1.2* 1.0* 0.6 0.6 0.2A 1B3 4.8 1.4* 1.4* 1.2* 1.2* 1.0* 1.0* 0.8 0.4 0.4A 1B2， A 2B3 4.4 1.0
21、* 1.0*1.0* 0.8 0.80.8* 0.6 0.60.6 0.4A 3B4 4.0 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2A 2B2， A 3B3 3.80.40.4 0.4 0.20.20.2 0.2A 2B1， A 3B2 3.60.20.2 0.2A 1B1， A 3B1 3.434567B1 B2 B3 B4图 8.4 药物与时间的交互作用A2A1A3rMSSEeb/求标准误，按 dfe df eb 查 t表 、Duncan 表 或 q表 ， 得ta、 SSRa 值 ，再 将 SE 乘 上ta（ 或 SSRa）值 得 比 较 标 准 。其它处理组合间进行比较时，按公式
22、计算标准误，又分别brMSbSEeaeb/)1(按 dfe df eb 和 dfe df eb 查 t 表 、 Duncan 表 或 q表 ， 得 ta（ 或 SSRa） 和 tb（ 或 SSRb） 值 ， 再 将SE 和 这 些 表 中 查 得 的 值 将 ta 和 tb（ 或 SSRa 和SSRb） 代 入 公 式得 到 综 合)1/()1( eaebaebe MSbtMSt 的 t 或 SSR， 最 后 将 SE 乘 上 综 合 的 t 或 SSR，计 算 出 比 较 标 准 。本例中，以 Duncan 法为例，A 相同 B 不同的处理间进行比较时， 0.240，df e 5/289.0SE36。比较标准如表 8.57 所示。对其它处理组合平均数间的差异进行比较时，4.472 ，比较标准如20/615.0289.)14(SE表 8.58 所示。对处理组合间的多重比较结果如表8.59 所示，其中用粗线条框着并且有斜线背景的差数是 A 相同 B 不同的处理间的差异，是采用表 8.57 的标准进行比较的；其余差数则采用表 8.58 的标准进行比较。图 8.4 显示了 AB 间的交互作用。从中可见，A2 的副作用随时间延长和药物输注量的增加显著增大，而 A3 的副作用变化较稳定，A 2 则处于中间。各处理组合之间的差异显著性可参阅表 8.59。
