1、1“说题”之“五说一看一内核”葫芦岛市第一高级中学 王晓声“问题是数学的心脏” ，这是美国当代数学家哈尔斯的话。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好老师用好问题引领学生去学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实于学生学的“有效”上。教师说题不能停留在“从解题角度看说题”这种浅表的意义上。我从建构主义的学习理论上对说题给三条浅说陋见：一是从建构主义知识观的角度上看“说题” ，你对题目所给出的答案不是该问题的最终答案，它必将随着学生认识程度的深入而不断变革、生华或改写，进而在学生的头脑中产生新的解释和假说；二是从建构主义的学习观角度上看“说题” ，学习不是教师把
2、知识简单传递给学生的过程，而是学生自己建构知识的过程，这里有“被动”和“主动”的重大差异。即便是你用所谓的“好题”做传输带，但你仅仅关注了自己的经验，而忽略了学生的经验，学生从你的传输带上也没啥东西可拿。因此，我们呈现的题目不应该是接力中的棒子，你的题目给的是“力” ，学生接的是“力” ，而非“接力棒”本身！三是从建构主义的教学观上看“说题” ，我们选择的“好题”必须切中学生原有的知识经验，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验。说题说到点儿上，这个点儿是度，即贴近学生的“最近发展区” 。“说题”的内核不是“拿嘴拿题来说” ，而是“用心用题去教” 。下面笔者通过两道高
3、考题的比对，阐释一下“说题”过程：问题 2009 年高考数学辽宁理 21 题 2010 年高考数学辽宁理 21 题题干 函数 f(x)= x2ax+(a1)lnx,a1.12 函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(I) 讨论 f(x)的单调性; 讨论 f(x)的单调性;(II) 证明:若 a1.f(x1)f(x2)x1x2 设 a1”；后者“翻译”为“若 a0,a1)a1x (x1)x(a1)xf (x)= +2ax= (x0)a+1x 2ax2+a+1x确定出讨论界点:a=1 和 a=2 确定出讨论界点:a=0 和 a=1(I)当 a=2 时,增区间是(0,+);减区间不存在当 a
4、(1,2) 时,增区间是(0 ,a1)和(1,+);减区间是(a1,a)当 a(2,+)时,增区间是(0,1)和( a1,+) ;减区间是(1,a1)当 a1 时,增区间不存在;减区间是(0,+)当1x2,只要证明 f(x1)f(x2)(x1x2)即证 f(x1)+x1f(x2)+x2,由此找到构造新函数的根据分析:无妨设 x1x 20,当 a0),g(x)=xa+ +1=x+ (a1)(x0,10,a1g(x) 2 (a1)xa1x设 g(x)=f(x)+4x(x0),据 x1x 20,恒有 f(x1)+4x1f( x2)+4x2(等号成立当且仅当 x1=x2)则 g(x)是(0,+)上的减
5、函数MN y=F(x)m n xx0x0 处的切线2=2 (a1)a1= (2 )0(10g(x)在(0,+)单增x1x2g(x1)g(x2) 0g(x1)g(x2)x1x2 =f(x1)f(x2)x1x2 g(x1)x1g(x2)x2x1x2= 11.证毕g(x1)g(x2)x1x2x(0,+ ) 时 g(x)= +2ax+40 恒成a+1x立,即 a (x0)恒成立4x12x2+1h(x)= (x0),h(x)= (x4x12x2+1 4(2x1)(x+1)(2x2+1)20),易知 h(x)在(0 , )单减,在( ,+)单增12 12h(x)min=h( )=212故 a2.总之 a(
6、,2“说题”之“四说思想方法”分类讨论思想(如何进行逻辑划分 ?参数讨论界点的确定) ；化归思想 (如何进入旧有的认知结构?)；数形结合思想( 隐藏着的)“说题”之“五说拓展引申”(I) 编拟“有意思”的含参数讨论的问题,采用逆向思维.比如,我们“随便”写一个导函数 f (x)= =ax(2a+1)+ ,进而(ax1)(x2)x 2x求出 f (x)的一个原函数 f(x)= x2(2a+1)x+2lnx,呈现问题:“设函数 f(x)= x2(2a+1)x+2lnx,讨论 f(x)的单调性.”a2 a2(II)比如我们以三次函数为载体,设 f(x)=x3+ax2,受论证方法的启发,设 g(x)=
7、f(x)+kxg(x)=3x2+2ax+k=3(x+ )2 +k,希望 g(x)单增,故使 +k0,即a3 a23 a23a23k(命 k0)|a|错误！未定义书签。 ,于是呈现问题:3k“设函数 f(x)=x3+ax2,证明:若 k0,及| a|错误！未定义书签。 ,则对任意3kx1,x2R(x 1x 2), k(解除所给函数模型的桎梏). ”f(x1)f(x2)x1x2这样编拟的问题虽然有刀刻斧凿的痕迹,不如原题浑然天成,但比原题多了一个解题入口:= =x12+x22+x1x2+a(x1+x2)=x12+(x2+a)x1+x22f(x1)f(x2)x1x2 (x13x23)+a(x12x2
8、2)x1x2+ax2=(x1+ )2+ x22 x2 a2=(x1+ )2+ (x2 )2 =kx2+a2 34 a2 14 x2+a2 34 a3 a23 a23 3k3等号成立x 1+ =x2 =0x1=x2= ,矛盾,故 kx2+a2 a3 a3 f(x1)f(x2)x1x2此题还有一个附加的功能,它解释了这样一个事实:“函数 f(x)在区间( m,n)(m0)成立,求正实数 a 的取值范围.(答: a)132(解除“拉格朗日中值定理”的桎梏 )“说题”之“一看教师素养”通过你说题时内蕴的数学素养,看你外显的教师素养.我们不追求“太语文”,而是追求“很数学！”综上，在葫芦岛市教育学院两位
9、专家型院长吴桂双和赵光千的引领下，高中部专家型数学教研员舒凤杰指定了“说题”标准，由“学者” （学习者的意思）王晓声在这里执行这个标准。我把它称之为 “舒式说题法” ，这样称呼的原因是，这样说题我感到很“舒适”！简言之， “舒式说课法 ”就是“五说一看一内核” ，即一说“题目立意” 、二说“背景出处” 、三说“解答策略” 、四说“思想方法” 、五说“ 拓展引申” ；“一看”是看“教师素养” ；“一内核”是“用题去教” 。从“说课”到“说题” ，不但不是退步，反而是最大的进步！一脚迈进课的最深处，入微了，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，因而， “说题”应该成为教师常态的 “探究”
10、活动。“说题”之“说” ，不是教师的“单口” ，而是课堂上的“对口”甚至“群口” 。我们引领学生对问题进行评价，这样，我们教师就给学生引荐了更贴身的老师问题，这就是 “以题为师”的理念。传统课堂，门关得很严，遮掩着“无效”的“苦劳” ，最终是“教”者无奈、 “学”者无助。传统课堂中的题目,很多时候是用来砌墙的，很少有铺路的功能。教师手中的题，只是别人烧好的砖块，他从那里搬到这里，或者鼓动学生做“码砖块”的游戏，热热闹闹一节课，结结实实一堵墙！“教”和“学” ，一个墙里、一个墙外，何谈“教学”？“教”的归宿是“学”！课靠“教师教”来支撑，但课的生命是“学生学”的律动！“学会”是天、 “会学”是地
11、，对于教师而言， “教”的意义就是让学生感悟“立地”方可“顶天”！“有效教学”中的“有效”一定要通三次曲线 三次曲线三次曲线中心处的切线3过学生学的“有效”来实现，也许， “好的问题”是两个“有效”之间的最短距离。“说题”中的“题”要精选，这个“题” ，应该是“一只产金蛋的母鸡” ，不要扼杀它！哲学告诉我们， “从实际情况出发，按客观规律办事” 。 “说题”的“实际情况”或者“客观规律”无一能脱离学生。清阮元的吴兴杂诗恰好说明了这个道理：交流四水抱城斜，散作千溪遍万家。深处种菱浅种稻，不深不浅种荷花。附注：笔者被称为数学“资深”教师，既然“资深”，就应该保护好自己的“身架”，不应在本该给青年教
12、师搭建的台面上随便抛头露面了。但当舒老师找到我委派“说题”这个任务时，我没有推却，原因是我高度认同。我愿意做辽宁省第一个敢吃“虾爬子”的人！就“说题”而言，第一个吃螃蟹的人是人家“江浙”人，咱没有螃蟹可吃了。咱不吃“螃蟹”而改吃“虾爬子”就是不能照搬照抄，咱要吃出“虾爬子”特色。资深教师说题，不能自己干说，要对得起自己的“资深”，于是我选择了“折腾”，折腾学生、折腾我身边的年轻教师。学生不是这时刻才被我折腾的，我的教学一贯坚持的是“问题解决”和“自主建构”，所以，对经典问题的评价是我平素教学的常态。折腾青年教师，我还有些权威，平素练出来的，没有权威创造权威也要权威。我的课堂是开放的，青年教师进
13、我课堂的门很容易，但出门不容易。我会把他（她）如学生般“提拉”起来，让他（她）针对某些问题现场做出评价。他们课后求我，想避免这种尴尬，我说不行，对他们说：“青年教师要尽可能多地丢可趁，丢多了，不该丢的时候就不丢了！”我上面说的“题”，出了自己研究外，同样也交给了五位学生和四位青年教师去做，现把他们的结果呈现如下：学生侯灵犀评价：高考数学题背景许多来自于高等数学，在平时学习和竞赛准备中应该广泛涉猎。但高考考查内容仍在基础知识，不能因广泛了解而忽略基础，并且尽量避免在解题过程中使用超纲知识（有时也无法使用，如老师编拟的那个问题）。应夯实基础，提高解题时的反应速度，注重解题技巧的训练，使解题时步骤简
14、洁、清晰，简化运算。高考中每年必考题有一定相似性，应合理联想，举一反三。引申：函数 f(x)=2alnx+ x2,(1)讨论单调性;(2)若x 1,x2(1,+ ),且 x1x 2,有 f(x1)f(x2)=5a|x1x2|,求实数 a 的取值12范围.心得：高考题是编者深思熟虑编拟而成的，往往精心设计了数据以考查尽可能多的知识点，考查多方面的能力，相比而言，上题的单调性考查比较简单，(2)问也只考查函数构造、导数和分式函数恒成立问题，显得有些单薄和生硬。其实通过“做题比较改编”过程中，可以对经典题与主干知识有更加深入理解，这也是一种提升思维能力和训练方法。学生刘嘉昕评价：问题 1 和问题 2
15、 虽函数不同，但实则为同一种题。(1)问均为考查对导数的应用，以及对含参数函数的处理和分类讨论的思想，处理时思维要严谨，做到不重不漏。(2) 问主要考查构造新函数使未知问题划归为已知问题的思想，然后按新函数求导化归为熟知的二次函数恒成立问题证明原命题，其中还需根据问题的实际上的情况进行“无妨”推理化简问题避免无必要的讨论。题目的命题的观点来自拉格朗日中值定理，所用数据依此定理逆推得到，为高等数学知识的特殊化，使问题更具代表性和思维高度。可由此二题认识到“构建函数”法的重要作用和化归思想的价值，同时可由此推广猜想一般性结论，提高学生总结概括能力，可获得相关类似题目的解法，如老师编拟的问题。引申：
16、设函数 f(x)= x2(2a1)x+(a1)lnx,a1,证明: 对任意的 x1,x2(0,+ ), a(x1x 2).a2 f(x1)f(x2)x1x2心得：本题主要部分改自问题 1，设计时主要目的是使原函数更为复杂，即使 x2 前系数变为 ,其次，为使题目更a2具迷惑性，故将不等式右端变为“a”.由于问题仅一问，为使问题不对 a 限制过多，即去掉“若 ag(x0);x0(0,+), f(x0)g(x0);x1 (0,+),x 2(0,+), f(x1)=g(x2).恒成立问题方法:(1)分离参数;(2)h (x)0,h(x)0),对任意 x1,x2(0,+), 且 x1x 2,当 a4 时，证:| f (x1)f (x2)2x|x1x2|.引申：f( x)=ln(x+1)x,x1,x2(0,+ ),x 1x 2,都有|f (x1)f(x2)|a|x1x2|,求 a 范围.评价：m(ba)f(b)-f(a) m(ba)型的不等式一般可以用拉格朗日中值定理.
