量子力学习题选解.doc

1、1一选择题1.一个空腔可以看作黑体。实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置 A.只与绝对温度有关 B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关 D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量 A.只与光强有关，与光的频率无关 B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关 D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的 射线被轻元素中的电子散射后，波长 XA.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小 D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是 A.定域

2、的波包 B.疏密波C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是 A. B. sJ sNC. D.K/ K/6.一自由电子具有能量 150 电子伏，则其德布罗意波长为A. B.151AAC.10 D.150 7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的2B.自由粒子的波函数为 rpipAetr),(C. 和 （ 是常数）描写的是同一个状态)(r)(CD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中， 表示 drzyx202),(A.在 方向的立体角中找到粒子的几率),(B.在球壳 中找到粒子的几率drC.在 点找到粒子的几率),(rD.在 点附近， 体积元中找到粒子的几率r9.波函数的标准条件

3、为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是A. tEixtEixeveutx)()(,1B. titi2C. )()()(, 213 21extxtEitED. 421utit11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比C.和粒子质量成正比 D.随量子数 增大而增大n312.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量A.增大为原来的四倍 B.

4、增大为原来的两倍C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为 ，若令 ，则波函数形如21)(xVx，其中 满足)()(2He)( 0)1(2Hd为使 时， 有限，则 值为)(A.整数 B.奇数 C.偶数 D.零14.设体系处于的状态 ，式中 、 是常数，则在此状态下，测量力1021Yc1c2学量 和 ，下列结论中正确的是2LzA. 测量 有确定值，测量 也有确定值zLB. 测量 有确定值，测量 没有确定值2zC. 测量 和 都没有确定值LzD. 测量 没有确定值，测量 有确定值2zL15. 若 、 是厄密算符，则下列结论中正确的是ABA. 仍然是厄密算符 B

5、. 仍然是厄密算符BAC. 是对易的 D. 、 的本征函数是实函数16.一质量为 的粒子禁闭在边长为 的立方体内，粒子的能量ma， 、 、 =1，2，3， )(222zyxnnaEzyx xnyz4则第一激发态能量A.不简并 B.二重简并 C.三重简并 D.四重简并17.一维谐振子处于 ，其中 、 为实常数， 为谐振子的第 个归一10BAAnn化本征函数，则A. B. C. D.12BA)(21BBA18. 球谐函数 ，其中 是imlmlmePNY)(cos)(,)(cosmlPA.贝塞尔函数 B. 缔合勒盖尔函数 C.缔合勒让德函数 D.拉格朗日函数19.关于球谐函数 和 的奇偶性，下列说法

6、正确的是20Y1A. 、 都是奇函数 B. 、 都是偶函数201 20Y1C. 是奇函数， 是偶函数 D. 是奇函数， 是偶函数21 2020.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是 0)1()(222urlZeEdrus其中A. 构成连续谱， 构成分立谱 B. 构成连续谱， 构成分立0E0E0E谱C. 构成连续谱， 构成分立谱 D. 构成连续谱， 构成分立谱ll 0ll21.氢原子的径向波函数 中的 是)2()()( 0100 rnaZLreNrRlrnaZlnl )2(01rnaZLlA.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场

7、中粒子束缚态能级的简并度为5A. B. C. D.2n2nnn223.氢原子核外电子的角分布 （即径向 附近立体角内找到粒子的几率）dWlm),(),(A.与 有关 B.与 有关，与 无关rC.与 有关，与 无关 D.与 、 皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。下列关于厄密矩阵的定义正确的是A. B. C. D.mnF* mnF* *mnF nmF25.下列表述正确的是A.算符在其自身表象中是厄密矩阵B.幺正变换改变算符的本征值C.幺正变换改变矩阵的迹D.解定态薛定谔方程求能级的问题可看成是由表象变换到能量表象26.由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换，幺正矩阵满足A. B. C.

8、D.1SS *SIS*27以 表示算符 在 表象中的矩阵，以 表示 在 表象中的矩阵，变换矩阵FBFA将力学量在 表象中的表示变换为 表象中的表示，那么，下列表达式中正确的是SAA. B. C. D. 1SS S1 FS28.对于定态微扰论，下列说法正确的是A.非简并情况下，定态微扰论仅取决于微扰矩阵元 的大小mnHB.非简并情况下，能量的一级修正是微扰在零级波函数下的平均值C. 重简并情况下，能量一级微扰可以使 重简并完全消除k kD.简并情况下，零级能量确定后，对应的零级波函数是唯一的629.原子由 态跃迁到 态的辐射强度 正比于mnmkJA. B. C. D.k2mk34mk30. 原子

9、由 态跃迁到 态的辐射强度 正比于mnmkJA. B. C. D. 4kr3kr2mkrmkr31.爱因斯坦几率系数 正比于mkAA. B. C. D.mk2k3mk4mk32偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则是A. B. 1,0,l 1,0,lC. 不限， D. ， 不限mm33.下列表述正确的是A. 两电子自旋反平行的能级是三重简并的B. 自旋为 奇数倍的粒子称为玻色子2C. 描写全同粒子状态的波函数一定是对称的D. 描写全同粒子状态的波函数的对称性不随时间改变34下列表述正确的是A.交换全同粒子体系中任何一对粒子，不引起物理状态的改变B.全同粒子体系的波函数一定可以写成空间部分和自旋

10、部分之积C.全同粒子体系的波函数对于任何两粒子的交换都是对称的D.全同粒子体系的波函数自旋部分，总能写成对称的形式或反对称的形式35.关于氦原子，下列表述正确的是7A.处于三重态的氦称为仲氦B.氦原子的基态是单态C.仲氦的波函数是对称的波函数D.用微扰法求能级时，以两电子的自旋相互作用作为微扰36. 关于氦原子，下列表述正确的是A.处于三重态的氦称为正氦B.氦原子的基态是三重态C.仲氦的波函数是对称的波函数D.用微扰法求能级时，以两电子的自旋相互作用作为微扰37.若电子处在 态，电子的总角动量 的取值有dJA.一个 B.两个 C.三个 D.四个38.一种复合粒子有 个费米子和 个玻色子组成，这

11、种复合粒子是玻色子的条件是pqA. 是偶数 B. 是偶数 C. 是奇数 D. 是奇数pq39.两个自旋为 的全同粒子组成一个体系，体系对称的自旋波函数个数为23A. 一个 B. 两个 C. 三个 D.四个40.一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，则体系可能的状态个数为A. 一个 B. 两个 C. 三个 D.四个二填空题1.德布罗意关系是 ,hEpk2.自由粒子的动能为 ，质量为 ，粒子的速度远小于光速，则此粒子的德布罗意波长为2h83.自由粒子的波函数用平面波表示。或填 ()(,)iprEtprtAe4. 描写波函数随时间变化的方程，除是波函数应满

12、足的含有对时间微商的微分方程外，还应满足两个条件：一是方程是线性的，二是方程的系数不应包含状态参量。5.能量最低的状态称为基态。6透射波几率密度与入射波几率流密度之比成为透射系数。7如果波函数 和 满足 ，则称 和 相互正交。12*120d128要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。 9三维空间中运动的一个粒子，在考虑自旋的情况下，完全确定其状态，力学量完全集合中的力学量的数目为 4。10公式 用狄喇克符号表示为(,)()nnHxuExi nHE11氢原子在外电场下所产生的谱线分裂的现象，称为氢原子的斯塔克效应。12爱因斯坦

13、自发发射系数 表示原子在单位时间内由 能级自发跃迁到 能级的几mkAmk率。13若 是角动量，它应满足角动量的一般对易关系J Ji14 ,yxp015 ,xLzi16在 的本征态 中， 和 的测不准关系为zlmYxLy 242()xymL17若 ，则以 为基矢的表象称为无耦合表象12J12,j18我们称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。19中子组成的全同粒子体系服从费密狄喇克统计。20用微扰法处理氦原子问题时，能量一级修正为 ，其中 称为库仑能。(1)EKJ9三证明题1证明厄密算符的本征值是实数。证：以 表示 的本征值， 表示所属的本征函数。FF*d*()d *d*()0

14、*0d*2证明厄密算符属于不同本征值的本征函数正交。证：设 ， （ ）kFllkl， *lkld*()lklkFd是厄密算符，*lkld即 *kllk*()lkkl*0lkd3对于一维运动，设有两个波函数 及 是对应于同一能量 的解，证明12E常数。211dx证： 122()EUx2 22()dUxx即 1122()dx21120积分得 常数（与 无关）11(0211dxx4证明一维束缚定态都是非简并的。5一维定态问题中，若势能关于原点对称，则波函数有确定的宇称。证： ()(Ux()Hx(定态波函数满足 ，)E)()Ex10因此是属于本征值的本征函数，由于一维束缚定态是非简并的， 和 代表同一

15、()x(状态： ()()xC令 ： x取 2()()x21C()(x6证明 。xfifpx)(证： ,()f()xfp()ddifixc()()xiffx()dfxi是任意函数， ()px7定义 ，证明yxLiLz,证： zz()zxzyixzyi(L)zxixyiz()zzL,同理 z8定义 ，证明yxLi,2zL证： ()(x)yixyixiy2L2zzL2z2zLzL119设 ， ，而 ，证明 是 的本征函数，本征值MLK1LKLuK为 ； 是 的本征函数，本征值为 。1v1证： u(M)L(1)uKvM()LK)v10证明费曼海尔曼定理12四问答题1如何理解微观粒子的波粒两象性？答：微

16、观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。它在某些实验中（如光电效应、康普顿效应）出粒子的特性，在另为一些实验中（如电子衍射）表现出经典波的特性，它是经典粒子和经典波动这一对矛盾的综合体。2波函数 应满足什么条件？ 的物理意义是什么？(,)rt2(,)rt答：波函数除了应满足平方可积的条件外，它还应该是单值，有限和连续的。 表2(,)rt示在 时刻 附近单位体积中粒子出现的几率。tr3什么样的状态是束缚态？什么样的状态是简并态？答：当粒子坐标趋于无穷远时，描写粒子状态的波函数趋于零，亦即粒子被势场约束于特定空间区域内，则称粒子所处的状态为束缚态。若一个本征态对应一个以上不同的本征态。

17、则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态。4物理上可观测量在量子力学中用什么算符表示？为什么？答：物理上可观测量在量子力学中用线性厄密算符表示，线性是态迭加原理的要求，厄密算符的本征值是实数，可与观测值相对应。5什么是偶极跃迁？答：当光射到原子上时，光波中的电场和磁场都对原子中的电子有作用，如果略去磁场对原子的作用，并假设光波波长远大于原子线度，在这样的近似下讨论的跃迁称为偶极跃迁。6什么是隧道效应？为什么不能用经典力学解释？答：粒子的能量小于势能高度仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。7什么叫力学量的完全集合？力学量完全集合中的力学量的数目和什么有关？答：要完全确定体系所处的状态，需要一组

18、相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态13的力学量，称为力学量的完全集合。在完全集合中力学量的数目和体系的自由度的数目相等。8用微扰法求氦原子的能级，微扰项是什么？基态能量是修正结果不够好的原因是什么？答：用微扰法求氦原子的能级，以两电子间的库仑相互作用作为微扰： ，基态能21seHr量修正结果不太好的原因是微扰项与其他势能项相比并不太小。9用微扰法求氦原子的能级时，为什么会出现交换能？交换能的大小和什么因素有关？答：交换能的出现时由于描写全同粒子的波函数必须是对称或是反对称波函数的缘故。交换能的大小决定于两个波函数的重合程度。1014五计算题1已知粒子的波函数 ，试求：czbyaxNe2（

19、1）归一化常数；（2）粒子的 坐标从 到 之间的几率x0解（1） dzedyedxed cbaV 22222 )()()( )()( 0000002xeN czczbbyaxa 182bcabc8（2） dzeyedxeNWca 22202 )()()()1(810cbabca2 已知做直线运动的粒子处于状态 ix1)(（1）将 归一化)(x（2）求出粒子几率最大的坐标解：（1）令 ，由归一化条件得ixC1)( 022222* 111xCdxCdxid102xie取 ，归一化波函数为15)1()(ixx（2）令 得0)(xwdt0)1(2)1(2x 0x3若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数

20、为 ，势能naxxU,0)(试求：（1）距势阱左壁 宽度内发现粒子的几率是多少？41（2） 取何值时在此区域内找到粒子的几率最大？n解（1） axnxsi2)( 2sin142sin41i)(402402 addan （2） ，几率为 361W4.求粒子在下列势阱壁（ ）处的反射0x)0()(0xU（1）若 ，求反射系数0ER（2）若 ，求反射系数解：（1） ikxikxeA1201)(2EiC2（1）00xx CA（2）ikik2116（1） 、 （2）联立，消去 ：CAkk)()(2121402421212 )()()( EUAR（2）若 ，反射系数 0ER5在 时刻，一个一维谐振子处于用

21、下列归一化的波函数所描写的状态：t )()(21)(3),( 30 xcxx式中 是谐振子的第 个能量本征函数（1）求 的值；（2）写出 时刻的波函数)(xnn3t。,t解（1）因为 是归一化波函数， 是正交归一的，所以)0,(x)(xn1233c解得 ，取 （1 分）iec61363c（2） /3/2/0 320 )(61)()(),( tiEtiEtiE exexextx 其中 。 （5 分）7,25,130 E6若粒子处于状态 ),(31),(31),(),(2021 YCY求：（1） 的值；（2）在 上分别测量 和 的可能取值与相应的取值几率。,Lz解：（1）由 得 ，取 得139ie

22、503C（2）由于 及 ，可以得到),()1(),(22 lmlmYlYL ),(),(lmlmzYL17在 上测量 的可能取值为 和 ，相应的几率分别为 和 。),(2L261321在 上测量 的可能取值为 和 ，相应的几率分别为 和 。z0987平面转子转动惯量为 ，处于状态 中，求（ 1） 的值；（2）角动量的I2cosAA可能测值及相应的几率；（3）能量的可能测值及相应的几率；（4）求能量的平均值。解：（1）平面转子的波函数和能级分别为， ime21IE2),210(m式中为平面转子的转动惯量。将 按 展开2cosAime)2(4)(412222 iiii eAe14imim )21(

23、0A由此可得 ， 32A )21(320（2）由于 与 对易，故 也是 的本征函数，2dIHdiLz imezL即 。mzL角动量的可能测值： 、 、0，相应的几率分别为 、 、0。261（3）能量的可能取值： ，相应的几率分别为 和 。IE220, 321（4） IE31228设一体系未受微扰作用时只有两个能级： 、 ，现在受到微扰 的作用，微扰01E2H矩阵元为 ， ， 、 都是实数。用微扰公式求能量至二级aH21b21a修正值。18解： )0()(2)0( mnmnn EHE由题意 ba210210120101 EEHE0120210202 ab9处于一维无限深势阱（ 中的粒子，受到微扰

24、)ax )32()(,01xVaxH的作用，计算基态能量的一级修正。可能用到的积分公式：)2sin(4)(sin2bxxdb )2cos(81)2sin(4)(sin22 bxbxxdb解： ；2)0(1aE)i()(01a)231()(sin2)sin()si( 321)1( VdxaVdxHxa)1()0(1E2a)3(110粒子在一维势阱 ),0()(axxV中运动，求其基态能量的一级近似，其中 。1可能用到的积分公式：)2sin(41)(sin2bxxdb )2cos(81)2sin(4)(sin22 bxbxxdb19解： ； （4 分）2)0(1aE)sin(2)(01xaxadx

25、dH21)(sinisin020)(1 )1()(12a11一电荷为 的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿正 方向。用微扰法求体系的ex定态能量和波函数。 可能用到的递推公式 ： )(21)(21)(1xnxnn 解： HexdH21 )0(22，22)0( x， ，)0()0(nnEH)(21)(HeNnxn )21(nE0 )0()*()0()*()1( dxdnmmnE)0()(2/)2( dxndxanedxHe nmnmnn )0(1*)0(1*)()*( 21 211,1, nnm22)0(1)(2,)0(1)(2,)( 1eneEEnn 2波函数一级修正为 )0(12)0(12

26、1)0()0(/)1( )nnmnmn eEH 20)0(12)0(12213()( nne12一个二维各向同性谐振子，质量为 ，圆频率为 ，在加上微扰 （ 为常Hxy数）后，求基态和第一激发态能量的一级修正。解： H22211ddxyx(0)， 22(0) 2Hxy，)0()0(nnE，2 211() ()()xyxyxxyynnnNeHNe0(xyny基态 ，则 ，非简并。 ，N(0)E(0)0()x能量一级修正 (1)(0)*(0)0EHdx能量二级修正： mmnE)0()(2/)2(所以矩阵元只有11()2n nxxx1012xy4222210 44mnHy221,0(2)0()()

27、338HE 第一激发态 ，即 ， 两重简并。1N,01xyn令： 1021()xy(1)12()20HE21120H2*12121dxy(1)2E13具有电荷 的离子，在其平衡位置附近作一维谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射q光能量密度为 ，波长较长，求（1）跃迁选择定则；（2）设离子原来处于基态，求)(单位时间跃迁到第一激发态的几率。可能用到的递推公式 ： )(21)(21)(1xnxxnn 解：（1）离子从 的跃迁几率为n)(3422nnxqw )21(nE 0n由递推公式可得选择定则： （2）初态为基态， ，由递推公式可得 ，0 )(21)(00xx0210x所以，单位时间跃迁到第一激发

28、态的几率 )(234010qw14某量子系统有两种可能的状态：基态 、 和激发态 、 。设系统原来处于基1E2E态。 以后受到微扰 的作用，记微扰矩阵元为 ，求 以后系统0t /)(texFH 1Ft处于激发态的几率。解： 1/11)( )(210)1(2022 2121 tittitti eidideita 时， t/t /1212iFa22所以，当 以后，系统处于激发态 的几率为t 22212121121221 /)(/)( EFEFFtaW212E15电荷为 的谐振子在时间 时处于基态， 以后处在 的电场中，电e0tt te0场方向和振子振动方向一致，求谐振子处在激发态的几率。可能用到的

29、递推公式 ： )(21)(21)(1xnxxnn 解：设电场方向沿 方向， ，在 的作用下，从 的跃迁几率为xteH02022021 ttinttinn dexdwn)(En 0)(n由递推公式可得选择定则： 1初态为基态， ，由递推公式可得 ，0 )(21)(00xx0210)1()1(00)1( 00 titti eide时， ，ttie)1(001 20022020 1 eewn16厄密算符 和 ，满足 ， 。求（1）在 表象中， 的矩AB12ABA阵表示式；（2）在 表象中， 的矩阵表示式；(3) 求 表象到 表象的幺正变换矩阵。解：（1）在 表象中， 具有对角矩阵的形式。23，设 ，

30、则 ，12A2A1,2即 的本征值为 ，在 对角化的表象中10（2）设 的矩阵表示为B1234bB是厄密算符： ，即B*12123434b*1224,b所以 的矩阵形式是 ，其中 、 是实的。*24B1b4A0A即12 12* *4 401bb 1212*40bb10,2*0bB利用 ：21B222*0010bb（ 是实数） ， 任意，若取 ，则2ibe10B（3） ， ， ，设ASB1S1Sabcd24abcd,acdb*10, bSIb ， ，故201a 2a1S17求自旋角动量在 方向的投影)cos,(cscoszyxn SS的本征值和所属的本征函数。解： ，在 表象中nS2z coss

31、cos zyxn cos000iicoscsoi由 解得0csii 1所以 得本征值为 ，nS21：21 01cossco2cii解得 ，由 得12i2)cos1(221)cos)cos()cos(221 i25：2 01cossco12cii解得 ，由 得12i2 )cos1(221)cos)cos()cos(222 i18已知自旋角动量在 方向的投影),( cosscoszyxn SS所属的一个本征函数为 221 1cs(cos)cos)(o)i（1）在 态中测量 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？1zS（2）求 态中的 平均值z解：221 1cos(cos)cos)()i= )

32、cs(220cs1)1(22i10在 态中测量 得到的可能值为 、 ，1zS测得 的几率为2)cos1(22测得 的几率为在 态中测量 的平均值为1zS=z1z)cos(22cos12s2619有两个质量都是 ，自旋都是 的全同粒子，处于宽度为 的一维无限深势阱中,忽m2a略两个粒子间的相互作用， （1）求描写这两个粒子体系的能量本征值和本征函数；（2）写出基态和第一激发态波函数的具体形式，指出它们的简并度。解：（1）由于不考虑两粒子间的相互作用，所以 )(2211naE),(12zzsxsx对于自旋为 的全同粒子， 应是反对称的：2 )(),(21zASzsxsx或 zz其中 )()(21xxnS )( 12211xnnS )()(2)( 12211xxnnA式中 ann11si)( axn22si)(（2）基态 ，210AaxaS21sin2)()(11221212 zzzzA ss基态不简并， =SA第一激发态， ,12n27四重简并 (1)2(3)sASA其中 )()(21)( 12211xxxnnS )()()( 12211nnA)()()21221211 zzzzA ss(2)1( zzSs )()(12212121)( zzzzS ss)3( zzs