1、202第二部分 进一步内容第九章 电磁作用分析和重要应用电磁和弱作用是迄今了解得最为清楚的基本作用力。特别是电磁作用部分，在经典力学中对其基本规律就已有很好的研究和阐述。因此，量子力学对于电磁作用下单体、两体等可解问题的解答就成为检验量子力学正确性的试金石和支撑点。除已叙述过的库仑场束缚态问题之外，本章继续阐述在电磁场作用下，粒子的定态问题和某些含时问题。量子力学的确不负所望，继库仑场之后，在这类问题上再次给出了微观粒子电磁现象的正确、统一的理论描述。不仅如此，根据 AB 效应，量子力学还指出了经典电磁理论仅仅用场强描述（而不用势来描述）全部电磁现象的局限性，并以简明的方式丰富了规范理论关于位
2、相物理学的内容。9.1, 电磁场中的 方程Schrodinger1, 最小电磁耦合原理及电磁场中的 方程Schodinger在建立 方程的一次量子化中，使用了以下对应Schrodinge(9.1)Eitp现在有电磁场情况下，记电磁势为 。按经典 QED 的,Ai“最小电磁耦合原理”：对电荷为 的粒子，其 和qHq之间的动力学关系如同无电磁场时 和 的动力学关系一qpAc p样 1 。 这里 为正则动量（广义动量） 。由这个原理和正则量子化p1.朗道，E.M.里夫席茨，场论，高等教育出版社，1965。203规则可知，为了得到有电磁场时的 方程，量子化规则应Schrodinge当变更成为（9.2）
3、ii-qt-Ac这就将电磁势引进了 方程。原则上， （9.2）式应当是一Schrodinge个假设，它的正确性按照由其导出的结论与实验是否符合来决定。迄今的实验事实都证明（9.2）式是对的。于是，有电磁场时的 方程为Schrodinge(9.3)21qiiAVt2这里，V 为其它（如引力势等）势能项， 是机械AcqpP（普通）动量算符， 为正则动量算符 1。现在需要注意，pi机械动量 正则动量Pp与此同时，粒子的速度算符 1q(iA)c（9.4）1将 和其正则动量 量子化为满足对易子= 的算符，称为正则量子化方法。设 L 为有电xpi磁场下粒子的拉氏量，按 Legendre 变换，得哈密顿量
4、H= ，这里L为正则动量。其中 为粒子的机械动量，将 （而不是 ）量子LqpPAc PpP化为算符 ，即为正则量子化。这一量子化方法对任何非奇异的拉氏量系统（即iHessian 行列式不等于零，Legendre 变换可以进行） ，均普遍适用。这里已将电磁场作为经典的外场来处理，所以这里的量子系统拉氏量是非奇异的，可以实施正则量子化。204（对无电磁场情况，粒子机械动量=粒子正则动量，仍然是正则量子化。 ）2, 方程的某些考察将方程（9.3）展开，为此先计算 2 22 2qqqpAp,ApAccc其中， 为反对易子符号。这里第二步等号是因为已取定了横向规范条件 。于是得到方程（9.3）的展开形式
5、0(9.5a)22pqiAqVtcc 其次，往求概率流密度的表达式并考察概率守恒问题。对方程（9.3）取复共轭，得21qiiAVt2c （9.5b）将这个方程和方程（9.3）分别乘以 和 并相减，即得*qA0t2ic令， （9.6a）qjic2前者为 态中 处的概率密度，后者为在电磁场中 态的（态的x,t 平均）流密度。于是仍存在表征概率守恒的连续性方程(9.6b)j0t205这时 表达式和以前不同，多出含电磁场矢势 的第二项，它显示j A出磁势影响了带电粒子的机械动量，从而使概率流密度有相应的变化。其三，考察一下电磁场下 方程的规范不变性。对任Schrodinge意可微函数 (它具有磁通的量
6、纲),可引导出对电磁势的一个规范frt变换(9.7a)Af1ct可以证明,在方程（9.3）中,当电磁势 , 即经受,iAi（9.7a）式的规范变换时,只需波函数也同时经受如下位相变换(注意此相因子依赖于空间变数 ，是定域的)x（9.7b）qfepic则方程（9.3）的形式将保持不变。这说明：电磁场中 方Schrodinge程（9.3）具有定域规范变换不变性。证明： 假定变换后的方程成立，即有 21qi(pA)Vqt2c这里 分别由上面变换式（9.7a，b）表示， 往证由此可以导,A出原先方程（9.3） 。注意有 qfqfiiccff qfii icc cfittqpApfAf(pA)cee 2
7、062qf1q1fi(pA)Vqtc2cct 由此即得规范变换之前的方程（9。3）： qipqtc21()由于电磁势是不确定的,它们可以相差任一定域规范变换,因此这时粒子的波函数也就可以有一个局域的任意位相因子。最后,再考察一下时间反演问题。对于一个定态问题，(9.8)22pqAqVEcc 在时间反演下, ,于是只有同时也改变磁场，即令 (由于A,所以也即 )，方程才可以保持不变，这与经典力学ABB磁场中运动的情况相同。9.2 均匀磁场中库仑场束缚电子的运动1, 均匀磁场中类氢原子基本方程的考查将上面方程用于均匀磁场 中的类氢原子问题。此时无外加电场B，而（ ）0e02Ze1Vr=-,ArBA
8、注意，前面考虑磁场作用时，漏算了与自旋有关的两项作用：旋轨耦合能和自旋磁矩在外磁场中的附加能，它们的表达式分别为和 rLSBSceS于是补入这两项之后，此系统的更全面的 Hamilton 量应当为207 222BSceLrAcepc)r(VpH SAe20（9.9）其中 22222 2eeA=(Br)=r(B)c88c-sinr eep=(r)p=(rp)cccBL2此处含 的项显然正是轨道磁矩 在外磁场 中的附加LB LceL2B能 。取 ，于是体系 Hamilton 量成为ze220 zzeBeH=+rS+Sx+y2c8c（9.10）现来估算一下 项和 项的比值。原子的 ，2B282210
9、cmyxB对于磁场 高斯，有510522224BBB10terme10c4437ee位位可知，如果磁场不是非常强，和含 的一次幂项相比可以略去 项。2B总之，考虑到自旋及轨道磁矩对外磁场取向的附加能以及旋轨耦合能这三项附加能，并略去 项，最后得到均匀外磁场下氢原子的2A208Hamilton 量为(9.11)0 2zeBHrLSSc如果将 中的 代以 ，方程（9.11）也可适当推广地用0Vef于非类氢原子。下面为书写简明，记ceBnl 2,2即得(9.12)SL(Hzz0这里，角动量 和 均已无量纲化，而参量 ， 的量纲均为能量。LS方程（9.12）是本节论述的出发点。2, 基本方程的求解由于
10、上面 中含有 及 项，于是，除能量之外， 、HSLzJ2L及 守恒，但 ，故 不守恒, 不是好量子数。这时好2SzJ02z,J2j量子数为（ ） ，这允许我们在这几个好量子数均有确定值的任jnlsm一个子空间中考虑问题。这时 ，将取两个可能的值。这里，21/j作为径向半径 函数的 只与好量子数 有关，在此子空间中，rrnl它可代以平均值 。这一定态问题（也包括给定初态的nllnl含时问题）实际上概括了 Zeeman 效应、反常 Zeeman 效应、Paschen-Back 效应等磁场下谱线分裂现象。以往对它们的处理是在微扰论的不同近似下分别求解。下面对这几个效应及有关现象作统一的叙述 1。1张
11、永德、张涵， 各种强度均匀磁场下氢原子定态问题统一求解 ， 大学物理 ，Vol.16，No.12，1997 年。普遍的代数叙述参见 S.X. Yu, H. Rauch, Y.D. Zhang, Phys. 209引入升降算符 和 ，并注意xyLixy1Si2 LLz21这里 为 1/2 自旋的升降算符。于是将 改写为00, H如下形式0zzz-+-H=+L+L22（9.13a）这时定态 方程Schrodinge(9.13b)0zz - jj+0zzHLL22nlm=ElH+ 由于 为守恒量子数，可取为某一固定值。注意，由于态 中jm jnl量子数 并不固定，因此一般说它不是耦合表象中的某个基矢
12、，而是耦合表象基矢的某种叠加态。若用无耦合表象基矢展开它，应当为,m,nlrlj 12 21jm这里 为两个待定系数。将此表达式代入方程(9.13b)，注意21r,，即得方程(9.13b)的特征方程为jnljElmH0 01212 121 rEmrl lEnlnl Rev. A, Vol. 52, No. 4, 2585 (1995)。210令此联立方程的行列式为零，就得到决定体系能谱的公式如下(9.14) 2 2 2nl1E=+m-l+m+14由此又可得系数 的表达式（已考虑 ）21r, 21r对于 ： （9.15a）E 21222 21221 2111/mlrlr 以及对于 ： （9.15
13、b）E12r这里计算中用到下面的等式 22 211l(+1)-m()=l+m+1-+- 。 1/222 2l 于是，给定 的定态解为jnlm(9.16) ,e,lnr,lr/tiEnlm/tiljj 121 21jjm3, 能级劈裂效应统一分析：正常 Zeeman 效应、反常Zeeman 效应和 Paschen-Back 效应211下面分几种情况对以上结果进行讨论。i, =0 情况。这是无外磁场时，考虑电子旋轨耦合造成的谱线精细分裂。上面正负解 的表达式简化为E（9.17a）nl,2=+1-,相应的态展开系数则简化为+12lm1r=,l-1-2lmr=+.l1（9.17b）此时 和 Hamil
14、ton 量 可对易，定态解是量子数 j 的两个本征态。2JH两组系数就退化为耦合表象基矢 在无耦合表象中的展开系数。jnlm“+”解相当于自旋轨道平行耦合 ；“- ”解相当于自旋轨道21lj反平行耦合 。实例就是前面说的钠黄光（ ）分裂为21lj 5893A精细结构的两条（ ， ； ， ）的情况。223/1/pso2=5890A221/1/pso=5896ii, 反常 Zeeman 效应。这时 情况。这是在强磁场中考虑旋轨耦合精细结构分裂的情况。将 对 展开，保留到 的一阶项，得Enl 1(m+),2=-,这里结果和通常在 =0（即略去旋-轨耦合项，只剩下 项）zL+2S基础上，选取无耦合表象
15、基矢对旋-轨耦合效应作一阶微扰计算11m,(LS),=m,22+,-+,-(+1), jj1j=l,m2jl-,+两者结果相同。注意，这时情况仍为 守恒，而 并不守恒。zJ2Jv, Paschen-Back 效应。 鉴于原子总自旋为零的情况较少，215更多的是要考虑自旋的存在。当磁场十分强，电子轨道磁矩及自旋磁矩和外磁场的作用明显大于自旋-轨道间的作用。这时，计入自旋磁矩对外磁场的附加能（这与完全不考虑自旋的 iii 不同） ，略去旋轨耦合能。于是就对应于 iv 中的 情况。这时，0nlmElLHz0以及 mEnllm101201r,r说明对应 能级的态为 ； 为 。例子是钠黄光0nlE,nl
16、（ ） 。强磁场下钠外层价电子的 能级分裂为三条，对应A5893 p3电子从 产生三条谱线。如sp1m3 0L3s L无磁场 强磁场（注意，由于磁场很强，此处谱线间距远大于 ii 中谱线间距。 ）由于这时加入了自旋磁矩对外磁场取向附加能， 量子数简并解除使能m216级分裂不止是三条。但由于遵守同样的电偶极跃迁选择定则（） ，此时谱线分裂特征和正常 Zeeman 效应相同，并未受到m0,1自旋磁矩对磁场取向能的影响。vi, 在一般磁场情况下,对于 m=l 的能级，由 的表达式知，ir+-1m=l2=l1m=l2=lr,r0;r0,1.并且这时 分别为：Enl(+1)l,2=Em-,表现出能移和
17、及 呈严格线性关系。而对于 m= 则无此现象。1总起来计算，在任意磁场下，能级分裂总数为 2(2l+1)(对每一个 m值存在 两个能量值，不同 m 值有 2l+1 个 )。E9.3 均匀磁场下中子自由飞行1, 中子极化矢量在磁场中的进动。中子自旋为 1/2,并有一反常磁矩 ， 核磁子。n1.934n于是，磁场中自由中子 Hamilton 量 H（不计动能部分）为(9.15)nB设中子的自旋态为|，则中子极化矢量的运动方程为 dPttt111,HHiii由于等式 ，现在矢量 ，即得 在磁场中,2AnABP的进动方程217(9.16)LBdPet这里 是 Larmor 进动的频率， 为磁场方向的单
18、位矢2LnB 量由这个方程可知，中子极化矢量 将绕磁场方向作右手进动运P动，其进动频率为 Larmor 频率。2, 旋量叠加与旋量干涉。 中子干涉量度学（Neutron Interferometry） 1。讨论中子通过板状均匀磁场的问题。这时(9.17)2nHB设 和 分别代表射入和透出板状磁场时中子的状态,insr,outsr矢量。若不记板状磁场界面上中子波反射损失，则态矢模长不变，得 2exp()iHoutin ninie B 由于 H 的空间部分和自旋部分可交换，可以将态矢的空间部分分离掉，得到自旋部分为()exp()2niBininout isess （9.18）这里 ， 为中子在板状
19、磁场中穿行的时间，于是 即为在磁LBe场期间中子极化矢量进动转过的总角度。利用前一章中有关公式，1 Neutron Interferometry, edited by U. Bonse and H. Rauch, Clarendon, Oxford, 1979; H. Rauch, et.al., Physics Letters, 54A, No. 6, 425 (1975); J. Summhammer, et.al., Phys. Rev. A, Vol. 27, 2523 (1983)。218上式即为 11cos()sin()()22LLBinouts es 值得注意的是这里的表达式中有
20、个 1/2 因子。在自旋态矢如上变化的同时，极化矢量 的变化可如下求得。因为P(9.19)(), ()ininout outin outsPss可以证明，在 和 之间，由一个三维空间转动相联系 outi(9.20)(,)outBinRe这里 表示绕 方向转过 角的空间转动变换，是一个 的(,)BReBe 3正交矩阵。证明 1: 利用群论中常见的公式 1nrnnrUeeRe这里 是绕 方向转 角的任一 转动， 是与其相应ne 2SUn的三维空间转动。 为任一矢量。于是可得re22111()()()iioutr inrniiriinininriinrinPsesesRsePeP这里用到了 的正交性
21、质，即转置矩整等于逆矩阵。 证毕。R证明 2: 先证明 13UnrRnr考虑有限小转动 ，这时左边为21913222,UnrnIinrIinirirRr 如果转角为无穷小，则推导中几步近似等号将严格成立。接着，继续绕同一转轴 不断进行无穷小转动。这些无穷小转动相乘时，指n数可以相加，就得到有限转动的公式。 接着，再证极化矢量之间的关系 211()()iiout inn ii inini iPrsesrURrPr 证毕。总之，当中子穿过板状磁场时，其自旋波函数经受一个变换 ，而同时极化矢量则经受与此 相应的空间转动2SU2SU。3R举两个例子说明。其一为一单色热中子束，在中子干涉仪（由整块柱状单
22、晶硅挖成“山”字形做成）的 A 点由于 Laue 散射而被分解成透射和衍射两束，然后分别在 B 和 C 点经过反射，交汇于 D 点。其中一束穿过一个横向板状均匀磁场 区域，距离为 。假定从 Al到 D 这两条路径除磁场外，程差完全相等。在入射中子的极化方向平行于磁场的情况下，求出点 D 的强度依赖于 、 和中子波长 的Bl关系。220解：设 AC 束前进方向为 y， ，按题设 ，xBe1,0inoutP于是 。由于两条空间路径相同，且中子不带电荷，磁12ins场对中子空间波函数不起作用，加之程差完全相等，故空间波函数对 D 点的干涉不起作用。D 点干涉强度只决定于自旋波函数的相干叠加。它正比于
23、22(1)(2)(1) (1)200,xiDDDDstststest222221,()()1,4cosxxxxiiiie即（9.21）22()(0cos.4nDBlIB值得注意的是，当 ACD 分支穿过这个磁场区时，若选择 l（或 ）B使极化矢量 转过总角度 =2，这时 ，但此分支自旋波函数P outinP并未完全还原，而是出一个 的位相，使得 D 点的相干叠加呈现极小。这正是（此处为 1/2 自旋）波函数旋量性质的体现：波函数在空间转动 2 时会出负号，只当 转过 4 时它才完全还原。中子干P涉量度学利用这种旋量干涉实验证实了这一点：中子的波函数的确是个旋量波函数。例 2非相对论中子的自旋回
24、波共振（spin-echo） 。在上例中子干涉仪中，如图放置两个方向平行或反平行的板状磁场 ，12,Bll221则 D 点的波函数为 12 12001212cossin2DIIDDirrrUrUe ie 这里 ， （i=1,2）,为两个磁场区域中极化矢量的转动角矢量iiBi（方向分别为两个磁场方向） ， 为矢量 的单位方向矢量，12e12为无磁场时态矢。注意，只和自旋有关的 变换对空间局域态0 U矢 不起作用。于是，在 D 点处中子计数强度将正比于Dr2DI00Dr D Drr 20 01122201121cossin4i此式即为0212cos4DI（9.22）这里 正比于无两个磁场时 D 点
25、中子计数强度。如果两200DIr个磁场的强度、长度相同，但方向相反，就成为中子自旋回波共振装置（实践中，如 l、 不等，总可以调整产生磁场的线圈电流强度，B使 D 点达到中子计数率的极大值即可） ，好象天平的两臂，达到了222平衡。这时 。由于这是位相平衡，十12214nBlk分灵敏，一旦在两臂之一施加某种影响（比如在一段路径上加入物质薄层，这相当于加入移动位相的相移器） ，平衡极易遭破坏，D 点中子计数率将会明显变化。由这种（以及类似的）安排，在中子干涉仪上完成了大量有关检验量子力学基本原理的实验研究和实际测量，形成了具有高精密度的中子干涉度量学。详细情况可参见前面有关文献。3, 均匀磁场下
26、入射自由电子的运动 Landau 能级这时 ， ，矢势 ，Hamilton 量为0VrzBe,0ABy(9.23)2212xyzHppc注意这里没有略去 项，即未做磁场的线性近似。A由于 H 中不显含 、 ，所以相应的正则动量分量 、 守恒。xz xpz但要注意，守恒的 是正则动量，不是机械动量 。实际p eBPyc上， 方向的机械动量 并不守恒。只有 既是正则动量又是机械xxPzp动量。于是只有 方向速度恒定并可连续变化，而 方向速度并不恒z x定。因此，虽然波函数可写为 /,xzipyzey此处 指数上的 不是守恒力学量的算符，而是其本征值，具体数zp值由自由粒子的初条件决定。注意，由规范
27、变换导致的(9.7)式可知，此处波函数 可以有一个任意(不含时间和变数 的) 相因子z的不确定性。因此，即便初条件给定了 值，进入磁场后,iefxyc xp223也不再确定。与此相应，将此 表达式代入定态,xyz方程，化简为关于 y 的谐振子方程，便求得能量表达式Schrodinge为（9.24）21()2zqBpEnc此式也不含 的初值，只含 的初值。由（9.24）式知道，自由带xpzp电粒子在垂直于磁场的平面内（ 面）能谱是分立的，呈现为谐xy振子能谱，称为 Landau 能级。这是磁场中带电粒子作平面回旋波动自身干涉的结果。而沿磁场方向（ 轴）仍为自由运动。另外，z的表达式还表明，磁场中
28、自由带电粒子的磁附加能为正值，因此E具有反磁性。9.4 Aharonov-Bohm(AB)效应经典力学中,描述电磁场和带电粒子运动的 Maxwell 方程和Lorentz 力公式都是用场强表达的。电磁势的引入只为数学上的方便,并不具有物理意义，只有在规范变换下不变的场强才有物理意义。在量子力学中，电磁场下的 方程虽然用电磁势来表示，但Schrodinge由于电磁势经规范变换后仅仅导致波函数多一个定域相因子(方程定域规范变换不变性), 因此人们一直认为在量子力Schrodinge学中，也如同在经典力学中一样, 只有电磁场的场强才具有可观测的物理效应，电磁势不具有直接可观测的物理效应。但是，195
29、9 年Aharonov 和 Bohm 提出 1, 在量子力学中，电磁势有直接可观测的物理效应。现在对此现象的原理给以简明解释和分析 2。1 Y.Aharonov, Q.Bohm, Phys. Rev., 115, 485 (1959)。2241, 磁 AB 效应为节省篇幅，这里只讲述磁 AB 效应，关于电 AB 效应参见所引文献。AB 效应是个表面上看去很奇异的量子效应。它表明，在某些电磁过程中，电磁场场强(注意，它们都是对势函数空间坐标的导数，所以只能体现势函数的空间局域性质) 不能有效地描述带电粒子的量子行为。这可用如图的理想实验来说明。在电子双缝实验的缝屏后面两缝之间放置一个细螺线管。通
30、电后管内 0；但管外 =0，矢势 0。这个细螺线管产生一细束磁BA力线束，称为磁弦。下面理论分析表明, 相对于未通电的情况来说，通电后，接受屏上干涉花样在包络(图中虚线所示轮廓线) 不变情况下，所有极值位置都发生了移动；电流变化峰值位置跟随变化；电流反向峰值位置也反向移动。下面对此作相应的理论分析。由于电子 Young 氏双缝实验装置总是应当保证两个缝 ， 处1a2电子波函数的分解是相干的，所以在两缝处电子波函数位相差必定是固定的。不失一般性，可以假设它们相同，将其简化为下图，通电之前， 200iEt/prrteC 点的合振幅为 。 通电之后， 。00c12ffcepAc于是有2张永德, 大学
31、物理, 第 6 期, 第 1 页, 1992 年。225iEtepArct2/12直接验算即知，此方程的解为(9.25)raierAdrc0xp注意，此处相因子在 0 的区域与路径有关（不仅与两端点有关） ，B因而是不可积的;只在 =0 的区域与路径无关(这正说明，磁场毕竟是一种物理的实在，不能通过数学变换将其仅仅只转化为某种相因子)。 这个相因子存在表明，即使粒子路径限制在电磁场场强为零的区域，粒子不受定域的动力学作用，但电磁势（沿粒子路径的路径相关积分）仍会影响到粒子的位相。于是，在通电情况下，C 点的合振幅成为 c cca aieiefAdlfcAdlfc0 01 2,1 ,2xpxp（
32、9.26）iec dlcailff0012,1 这里，指数上线积分的脚标 1 和 2 表示积分分别沿路径 1 和 2 进行。大括号外的相因子是新增加的外部相因子，没有可观测的物理效应，可以略去;但是大括号内 前的相因子为新增加的内部相因子,它02fc改变了两束电子在 C 点的相对位相差，从而改变了双缝干涉的极值位置。这个内部相因子还可改写为(9.27)expexpexpii iAdlAdsccc这里 是由路径 1 和 2 所包围面积内的磁通。由于这个相因子并不226改变单缝衍射的强度分布，所以在条纹移动时，诸条纹极值的包络曲线仍不变。这些结论很快即为实验所证实 1。2, 向电磁 AB 效应的推
33、广众所周知，电磁现象是 Lorentz 变换不变的，磁的和电的现象经过 Lorentz 变换可以相互转换。因此上面磁 AB 效应应当扩充，成为包括电 AB 效应在内的 Lorentz 变换协变的形式。这时，由于 和 ，上面关于相因子的路,Ai,xict径积分应当扩充成为 dlAdct于是，这个不可积相因子就成为如下形式(9.28)expidxc注意，由于 在 Lorentz 变换下是个标量，总的电磁 AB 效Ad应是 Lorentz 变换不变的。同时，总的电磁 AB 效应也是规范变换不变的。因为，对于任一可微函数 所引导出的规范变换,fxtAxAfx上面的闭曲线积分相应为。dfd3, 几点讨论
34、i, 关于场强表述和势表述哪个基本的问题。AB 效应表明，用场强不能完全描述全部可观测的微观电磁现象，或者说，就量子力学所描述的微观世界而言， 所提供的信息不,EB1 R.G.Chamber, Phys. Rev.Lett., 5, 3(1960).227足。但是，势 是规范变换可变的，因此它们虽然能描述全部,Ai微观电磁现象，却提供了过多的信息，就是说，也包括了非物理的信息。只有在规范条件约束下的势既能描述全部电磁现象，又很少（并非完全没有！）提供多余的非物理的信息。更准确地说，电磁现象正是不可积相因子(9.29)expicdtAx的规范不变的表现 1。ii, 电磁场的局域性与整体性问题。按
35、一般考虑，一个物理的事物应当是 Lorentz 变换协变的和规范变换不变的。以前宏观电磁场现象描述中所使用的场强张量(9.30a)FA的确能满足这两个不变性的要求，可以作为物理量。但它们都是一些关于电磁势场函数的微分量，只表征了势场的局域性质。细心分析即知，满足这两个一般要求的数学结构并非只有这种微分的形式。现在，AB 效应中不可积相因子上的闭合回路积分(9.30b)Adx也能满足这两个不变性要求。于是它也可以作为一种物理的事物，而表现出可观测的物理效应。然而，现在的这种（具有不变性的）形式并非是微分量而是积分量，因而体现了势场的整体性质。所以说，AB 效应正是电磁势作为空间场的整体拓扑性质的
36、物理体现（缝屏后面的矢势场不是曲面单连通区域，而是曲面多连通区域） 。以前1 T.T. Wu, C.N. Yang, Phys. Rev. D, 12, 3845 (1975)。228全部宏观电磁现象只是电磁势场局域性质的物理体现（也就无法表现势场的非平庸的拓扑性质） 1。iii, AB 效应并不证明微观世界有超距作用存在 2。设磁场中带电粒子 ，此时 Hamilton 量为q(9.31)212qHpAc于是速度算符为1,qvxHpAic（9.32）而量子 Lorentz 力算符为 qqqFvpAHpApAicicc 11, ,2其中，第 i 分量方程为(重复指标求和) iiijjjjqqvp
37、pcc 1,21, ,2iijjjjjjiijjq qpAAApic c 这里 ,iijj ij jiqqqp iccc1 事实上，现在这个不可积相因子是更一般的 Berry 相因子在最简单的 Abel 规范场电磁场下的表现，体现了缝屏之后这个场的非平庸的拓扑性质。Berry 相因子的显著特点是其不可积性质。虽然表面上看它们来自动力学方程，但实质上却是来自系统哈密顿量中辅助空间的整体几何性质，并非显示方程的动力学性质。参见李华钟著，简单物理系统的整体性，上海科学技术出版社，1998。2 以下推导借鉴 E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley 04
38、231第二个方程中 为电磁场中的外电流和电荷。对 ，有j,ic 1yzxxx xBFEEj iBcxctct 13244 考虑到现在是稳定情况，有 4elctj代入 London 方程， 24elctqBjBc利用 ，即得21L24Lcq（9.36）称为 London 穿透深度，约为 量级。这样称呼 是L6510cm L因为，对于一维情况，按照这个方程，块体外部的磁场穿入超导体时应呈现如下衰减的规律(9.37)/0LxBe数值正是这种衰减的度量。由此，除表面薄层外，在超导体内部L应有 。0elctBEj3, 磁通量量子化（及磁荷）设有一细环状超导体，环内有一磁场。取超导体内部离开表面的一条回路 ,在这条回路上处处有CCCqjAc0位于是在绕 一圈后波函数的位相变化为
