1、学案 37 合情推理与演绎推理导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异自主梳理自我检测1(2010山东)观察(x 2)2x，(x 4)4x 3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f (x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)等于( )Af(x) Bf(x ) Cg(x) Dg( x)2(2010珠海质检)给出下面类比推理命题 (其中 Q 为有理数
2、集，R 为实数集，C 为复数集) ：“若 a，bR，则 ab 0ab”类比推出“若 a，bC ，则 ab0ab” ；“若 a，b，c，dR ，则复数 abicdi ac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ ，则 ab cd ac，bd” ；2 2“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” 其中类比结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D33(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_4(2010陕西)观察下列等式： 132 33 2,132 33 36 2,
3、132 33 34 310 2，根据上述规律，第五个等式为_5(2011苏州月考)一切奇数都不能被 2 整除，2 1001 是奇数，所以 21001 不能被 2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为_探究点一 归纳推理例 1 在数列a n中，a 11，a n1 ，nN *，猜想这个数列的通项公式，这个2an2 an猜想正确吗？请说明理由变式迁移 1 观察：sin 210cos 240sin 10cos 40 ；34sin 26cos 236sin 6cos 36 .34由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想探究点二 类比推理例 2 (2011银川月考)在平面内，可以用面积法证明
4、下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为 pa，p b，p c，且相应各边上的高分别为 ha，h b，h c，则有 1.paha pbhb pchc请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论变式迁移 2 在 RtABC 中，若C90 ，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径r ，将此结论类比到空间有a2 b22_探究点三 演绎推理例 3 在锐角三角形 ABC 中，ADBC，BE AC，D 、E 是垂足求证：AB 的中点M 到 D、E 的距离相等变式迁移 3 指出对结论“已知 和 是无理数，证明 是无理数”的下述证明是2 3 2 3否为“三段论” ，证明有错误吗？
5、证明：无理数与无理数的和是无理数，而 与 都是无理数， 也是无理2 3 2 3数1合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理的过程概括为： .一般来说，由从 具 体 问 题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想合情推理所获得的结论，仅仅 是一种猜想，其可靠性 还需进 一步证明2归纳推理与类比推理都属合情推理： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理，或由个别事实概括出一
6、般结论的推理，称为归纳推理它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理3从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011福建厦门华侨中学模拟) 定义 A*B，B*C，C*D ， D*A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3) 、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果
7、可能是 ( )AB*D，A *D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A *D2(2011厦门模拟)设 f(x) ，又记 f1(x)f (x)，f k1 (x)f (fk(x)，k1,2，则 f2 1 x1 x010(x)等于( )A Bx C. D.1x x 1x 1 1 x1 x3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba” ；“(mn) tmtnt”类比得到 “(ab)cac bc” ；“(m n)tm (nt)”类比得到“( ab)ca(bc)” ；“t0，mtxtmx ”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n| ”类比得到“|
8、 ab|a|b| ”；“ ”类比得到“ ”acbc ab acbc ab以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A1 B2 C3 D44(2009湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2) 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1 024 C1 225 D1 3785已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1) ，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4) ，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
9、(1,5)，(2,4) ，则第 60 个数对是( )A(3,8) B(4,7)C(4,8) D(5,7)二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论13是_7(2011广东深圳高级中学模拟) 定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：8(2011陕西)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_三、解答题(共 38 分)9 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 ，且 Sn 20(n2)计算23 1Sn 1S1，S 2，S 3，S 4，并猜想 Sn的
10、表达式10(12 分)(2011杭州调研)已知函数 f(x) (a0 且 a1)，aax a(1)证明：函数 yf(x )的图象关于点 对称；(12， 12)(2)求 f( 2)f(1)f(0) f(1)f(2)f(3)的值11(14 分) 如图 1，若射线 OM，ON 上分别存在点 M1，M 2 与点 N1，N 2，则 ；如图 2，若不在同一平面内的射线 OP，OQ 和 OR 上分别存在点 P1，P 2，点OM1OM2ON1ON2Q1，Q 2 和点 R1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由学案 37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理 全部对象 部分 个别 类比推理 这些特
11、征特殊到特殊 一般原理 特殊情况 特殊情况 一般 特殊自我检测1D 由所给函数及其导数知，偶函数的 导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g(x) g(x) 2C 正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小 318解析 两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 18.41 32 33 34 35 36 321 2解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次多 1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比
12、前一个大3,4，因此，第五个等式为 132 33 34 35 36 321 2.5一切奇数都不能被 2 整除 大前提21001 是奇数 小前提所以 21001 不能被 2 整除 结论课堂活动区例 1 解题导引 归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验， 对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一解 在a n中，a 11，a 2 ，2a12 a1 23a3 ，a4 ，2a22 a2 12 24 2a32 a3 25所以猜想a n的通项公式为 an .2n 1这个猜
13、想是正确的，证明如下：因为 a11，a n1 ，2an2 an所以 ，1an 1 2 an2an 1an 12即 ，所以数列 是以 1 为首项，1an 1 1an 12 1an 1a1为公差的等差数列，12所以 1(n1) n ，1an 12 12 12所以通项公式 an .2n 1变式迁移 1 解 猜想 sin2cos 2(30)sin cos(30) .34证明如下：左边sin 2cos( 30)cos(30)sin sin 2 (32cos 12sin )( 32cos 12sin )sin 2 cos2 sin2 右 边34 14 34例 2 解题导引 类比推理是根据两个对象有一部分属
14、性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我 们拿分式同分数来类 比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等我们必须清楚 类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、 归纳、提出猜想解 类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其 长度分别为 pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为 ha，hb，hc，hd.则有 1.paha pbhb pchc pdhd证明如下： ，paha13SBCDpa13SBCDha VPBCDVABCD同理有 ， ， ，pbhb VPCDAVBCDApchc VPBDAVCBDApdhd VPAB
15、CVDABCVPBCD VPCDAV PBDAV PABCV ABCD， paha pbhb pchc pdhd 1.VPBCD VPCDA VPBDA VPABCVABCD变式迁移 2 在三棱锥 ABCD 中，若 AB、AC、AD 两两互相垂直，且AB a，ACb ，AD c ，则此三棱锥的外接球半径 Ra2 b2 c22例 3 解题导引 在演绎推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论 可能就是错误的推理 时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD 中，AD BC，即 ADB9
16、0， 小前提所以ADB 是直角三角形结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提而 M 是 RtADB 斜边 AB 的中点， DM 是斜边上的中线，小前提所以 DM AB.结论12同理 EM AB，所以 DMEM.12变式迁移 3 解 证明是“三段论”模式， 证明有错误 证 明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数” ，这个论据是假的，因 为 两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定课后练习区1B 由(1)(2)(3)(4)图得 A 表示|，B 表示， C 表示，D 表示，故图(A)(B)表示 B*D和 A*C.2A 计算 f2(x)f ，(1 x1 x
17、)1 1 x1 x1 1 x1 x 1xf3(x)f ，( 1x)1 1x1 1x x 1x 1f4(x) x ，f5(x)f 1(x) ，1 x 1x 11 x 1x 1 1 x1 x归纳得 f4ki (x)f i(x)，kN*，i1,2,3,4.f2 010(x)f 2(x) .1x3B 只有、 对，其余错误，故选 B.4C 设图(1)中数列 1,3,6,10，的通项公式为 an，则a2a 12，a 3a 23，a 4a 34， ana n1 n.故 ana 1234n，an .nn 12而图(2)中数列的通项公式为 bnn 2，因此所给的选项中只有 1 225 满足a49 b 3535
18、21 225.495025D 观察可知横坐标和纵坐标之和为 2 的数对有 1 个，和为 3 的数对有 2 个，和为 4的数对有 3 个，和为 5 的数对 有 4 个，依次 类推和为 n1 的数对有 n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由 60n(n 1)120， nZ，n10 时，nn 1255 个数 对， 还差 5 个数对，且这 5 个数对的横、纵坐标之和为 12，它 们依次是(1,11) ，nn 12(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第 60 个数对是(5,7) 6空间正四面体的内切球的半径是高的14解析 利用体积分割可证明7n8n(n1) (3 n2)
19、(2n1) 2解析 11 2,23493 2,34567255 2，第 n 个等式为 n(n1)(3 n2)(2 n1) 2.9解 当 n1 时，S 1a 1 .(2 分)23当 n2 时， 2S 1 ，1S2 43S2 .(4 分)34当 n3 时， 2S 2 ，1S3 54S3 .(6 分)45当 n4 时， 2S 3 ，1S4 65S4 .(8 分)56猜想：S n (nN*)(12 分)n 1n 210(1)证明 函数 f(x)的定义域为 R，任取一点( x，y)，它关于点 对称的点的坐标(12， 12)为(1x ，1 y)(2 分)由已知得 y ，aax a则1y1 ，(4 分)aa
20、x a axax af(1x) aa1 x a aaax a ， 1yf(1x)aaxa aax axax a即函数 yf(x) 的图象关于点 对称(6 分)(12， 12)(2)解 由(1)有1f(x)f(1x) ，即 f(x)f(1x )1.(9 分)f( 2)f(3)1， f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则 f(2)f(1)f(0) f(1)f(2)f (3)3.(12 分)11解 类似的结论为： .VOP1Q1R1VOP2Q2R2 OP1OP2OQ1OQ2OR1OR2(4 分)这个结论是正确的，证明如下：如图，过 R2 作 R2M2平面 P2OQ2 于 M2，连接 OM2.过 R1 在平面 OR2M2 作 R1M1R2M2 交 OM2 于 M1，则 R1M1平面 P2OQ2.由 VOP1Q1R1 SP1OQ1R1M1 OP1OQ1sinP1OQ1R1M113 1312 OP1OQ1R1M1sinP1OQ1，(8 分)16同理，V OP2Q2R2 OP2OQ2R2M2sinP2OQ2.16所以 .(10 分)12opr-OP1OQ1R1M1OP2OQ2R2M2由平面几何知识可得 .(12 分)R1M1R2M2 OR1OR2所以 .12oprV-OP1OQ1OR1OP2OQ2OR2所以结论正确(14 分)
