三体问题.doc

1、三体问题目录名称 N 体问题及三体问题的概念 三体问题的起源 研究三体问题的方法分类 三体问题的数学推断 三体问题的特殊情况 限制性三体问题 三体问题的趣闻 名称 N 体问题及三体问题的概念 三体问题的起源 研究三体问题的方法分类 三体问题的数学推断 三体问题的特殊情况 限制性三体问题 三体问题的趣闻 展开编 辑 本 段名 称三 体 问 题 三 体 问 题英 语 名 称 ： three-body problem 编 辑 本 段N 体 问 题 及 三 体 问 题 的 概 念N 体 问 题N 体 问 题 可 以 用 一 句 话 写 出 来 ： 在 三 维 空 间 中 给 定 N 个 质 点 ， 如

2、 果 在 它 们 之 三 体 问 题间 只 有 万 有 引 力 的 作 用 ， 那 么 在 给 定 它 们 的 初 始 位 置 和 速 度 的 条 件 下 ， 它 们 会 怎 样 在 空间 中 运 动 。 三 体 问 题最 简 单 的 例 子 就 是 太 阳 系 中 太 阳 ， 地 球 和 月 球 的 运 动 。 在 浩 瀚 的 宇 宙 中 ， 星 球的 大 小 可 以 忽 略 不 记 ， 所 以 我 们 可 以 把 它 们 看 成 质 点 。 如 果 不 计 太 阳 系 其 他 星 球 的 影响 ， 那 么 它 们 的 运 动 就 只 是 在 引 力 的 作 用 下 产 生 的 ， 所 以

3、我 们 就 可 以 把 它 们 的 运 动 看 成一 个 三 体 问 题 。 天 体 力 学 中 的 基 本 力 学 模 型 。 研 究 三 个 可 视 为 质 点 的 天 体 在 相 互 之 间 万 有 引 力 作用 下 的 运 动 规 律 问 题 。 这 三 个 天 体 的 质 量 、 初 始 位 置 和 初 始 速 度 都 是 任 意 的 。 在 一 般 三体 问 题 中 ， 每 一 个 天 体 在 其 他 两 个 天 体 的 万 有 引 力 作 用 下 的 运 动 方 程 都 可 以 表 示 成3 个 二 阶 的 常 微 分 方 程 ， 或 6 个 一 阶 的 常 微 分 方 程 。

4、因 此 ， 一 般 三 体 问 题 的 运 动 方 程为 十 八 阶 方 程 ， 必 须 得 到 18 个 积 分 才 能 得 到 完 全 解 。 然 而 ， 目 前 还 只 能 得 到 三 体 问 题的 10 个 初 积 分 ， 因 此 还 远 不 能 解 决 三 体 问 题 。 编 辑 本 段三 体 问 题 的 起 源在 二 十 世 纪 的 第 一 次 数 学 家 大 会 (1900 年 )上 ， 二 十 世 纪 伟 大 的 数 学 家 希 尔 伯 特 ( 希 尔 伯 特David Hilbert)在 他 著 名 的 演 讲 中 提 出 了 23 个 困 难 的 数 学 问 题 ， 这 些

5、 数 学 问 题 在 二 十世 纪 的 数 学 发 展 中 起 了 非 常 重 要 的 作 用 。 在 同 一 演 讲 中 ， 希 尔 伯 特 也 提 出 了 他 所 认 为 的完 美 的 数 学 问 题 的 准 则 ： 问 题 既 能 被 简 明 清 楚 的 表 达 出 来 ， 然 而 问 题 的 解 决 又 是 如 此 的困 难 以 至 于 必 须 要 有 全 新 的 思 想 方 法 才 能 够 实 现 。 为 了 说 明 他 的 观 点 ， 希 尔 伯 特 举 了 两个 最 典 型 的 例 子 ： 第 一 个 是 费 尔 马 (Pierre de Fermat)猜 想 ， 即 代 数 方

6、 程 xn+yn=zn 在 n 大 于 2 时 是 没 有 整 数 解 的 ； 第 二 个 就 是 所 要 介 绍 的 N 体 问 题 的 特 例 -三 体 问题 。 值 得 一 提 的 是 ， 尽 管 这 两 个 问 题 在 当 时 还 没 有 被 解 决 ， 希 尔 伯 特 并 没 有 把 他 们 列进 他 的 问 题 清 单 。 但 是 在 整 整 一 百 年 后 回 顾 ， 这 两 个 问 题 对 于 二 十 世 纪 数 学 的 整 体 发 展所 起 的 作 用 恐 怕 要 比 希 尔 伯 特 提 出 的 23 个 问 题 中 任 何 一 个 都 大 。 费 尔 马 猜 想 经 过 全

7、世 界 几 代 数 学 家 几 百 年 的 努 力 ， 终 于 在 1994 年 被 美 国 普 林 斯 顿 大 学 (Princeton University)怀 尔 斯 (Andrew Wiles)最 终 解 决 ， 这 被 公 认 为 二 十 世 纪 最 伟 大 的 数 学 进 展 之一 ， 因 为 除 了 解 决 一 个 重 要 的 问 题 ， 更 重 要 的 是 在 解 决 问 题 的 过 程 中 好 几 种 全 新 的 数 学思 想 诞 生 了 ， 难 怪 在 问 题 解 决 后 也 有 人 遗 憾 地 感 叹 一 只 会 生 金 蛋 的 母 鸡 被 杀 死 了 。 编 辑 本 段

8、研 究 三 体 问 题 的 方 法 分 类由 于 三 体 问 题 不 能 严 格 求 解 ， 在 研 究 天 体 运 动 时 ， 都 只 能 根 据 实 际 情 况 采 用 各 种 近似 的 解 法 ， 研 究 三 体 问 题 的 方 法 大 致 可 分 为 3 类 ： 第 一 类 是 分 析 方 法 ， 其 基 本 原 理 是 把 天 体 的 坐 标 和 速 度 展 开 为 时 间 或 其 他 小 参 数 的级 数 形 式 的 近 似 分 析 表 达 式 ， 从 而 讨 论 天 体 的 坐 标 或 轨 道 要 素 随 时 间 的 变 化 ； 第 二 类 是 定 性 方 法 ， 采 用 微 分

9、 方 程 的 定 性 理 论 来 研 究 长 时 间 内 三 体 运 动 的 宏 观 规 律和 全 局 性 质 ； 第 三 类 是 数 值 方 法 ， 这 是 直 接 根 据 微 分 方 程 的 计 算 方 法 得 出 天 体 在 某 些 时 刻 的 具 体位 置 和 速 度 。 这 三 类 方 法 各 有 利 弊 ， 对 新 积 分 的 探 索 和 各 类 方 法 的 改 进 是 研 究 三 体 问 题中 很 重 要 的 课 题 。 编 辑 本 段三 体 问 题 的 数 学 推 断初 通 高 中 物 理 和 大 学 微 积 分 的 读 者 都 不 难 推 出 三 体 问 题 的 数 学 方

10、程 。 事 实 上 ， 根 据牛 顿 (Issac Newton)万 有 引 力 定 理 和 牛 顿 第 二 定 律 ， 我 们 可 以 得 到 : m1(d2 q1i/dt2)= k m1 m2 /(q2i - q1i)(r312) + km1 m3 /(q3i - q1i)(r313) m2(d2 q2i/dt2)= k m2 m1 /(q1i - q2i)(r321) + km2 m3 /(q3i - q2i)(r323) m3(d2 q3i/dt2)= k m3 m1 /(q1i - q3i)(r331) + km3 m2 /(q2i - q3i)(r332) ( i =1,2,3 )

11、 其 中 m i 是 质 点 的 质 量 ， k 是 万 有 引 力 常 数 ， r ij 是 两 个 质 点 m i 和 m j 之间 的 距 离 ， 而 q i1 , q i2 , q i3 则 是 质 点 m i 的 空 间 坐 标 。 所 以 三 体 问 题 在 数 学 上 就是 这 样 九 个 方 程 的 二 阶 常 微 分 方 程 组 再 加 上 相 应 的 初 始 条 件 。 (事 实 上 根 据 方 程 组 本身 的 对 称 性 和 内 在 的 物 理 原 理 ， 方 程 可 被 简 化 以 减 少 变 量 个 数 )。 而 N 体 问 题 的 方 程也 是 类 似 的 一 个

12、 N2 个 方 程 的 二 阶 常 微 分 方 程 组 。 当 N=1 时 ， 单 体 问 题 是 个 平 凡 的 方 程 。 单 个 质 点 的 运 动 轨 迹 只 能 是 直 线 匀 速 运 动 。当 N=2 的 时 候 (二 体 问 题 )， 问 题 就 不 那 么 简 单 了 。 但 是 方 程 组 仍 然 可 以 化 简 成 一 个不 太 难 解 的 方 程 ， 任 何 优 秀 的 理 科 大 学 生 大 概 都 能 轻 易 解 出 来 。 简 单 来 说 这 时 两 个 质 点的 相 对 位 置 始 终 在 一 个 圆 锥 曲 线 上 ， 也 就 是 说 如 果 我 们 站 在 其

13、 中 一 个 质 点 上 看 另 一 个 质点 ， 那 么 另 一 个 质 点 的 轨 道 一 定 是 个 椭 圆 ， 抛 物 线 ， 双 曲 线 的 一 支 或 者 直 线 。 二 体 问 题又 叫 开 普 勒 (Johannes Kepler)问 题 ， 它 是 在 1710 年 被 瑞 士 数 学 家 约 翰 伯 努 利 (Johann Bernoulli) 首 先 解 决 的 。 N 体 问 题 的 提 出 大 概 可 以 追 溯 到 上 千 年 前 ， 但 是 这 一 问 题 的 第一 个 完 整 的 数 学 描 述 (象 使 用 上 面 这 样 的 微 分 方 程 )是 出 现 在

14、 牛 顿 的 “自 然 哲 学 的 数 学原 理 ”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica， 1687 年 出 版 )一 书 中 。 在 他 的 著作 中 ， 牛 顿 成 功 地 运 用 微 积 分 证 明 了 开 普 勒 的 天 文 学 三 大 定 律 ， 但 是 奇 怪 的 是 他 的 书 里并 没 有 给 出 二 体 问 题 的 解 ， 尽 管 这 两 者 是 紧 密 相 关 的 ， 而 且 现 在 的 人 们 还 是 相 信 牛 顿 当时 完 全 有 能 力 自 己 给 出 二 体 问 题 的 解 。 至 于 三 体 问 题 或 者

15、 更 一 般 的 N 体 问 题 (N 大 于 二 )， 在 被 提 出 以 后 的 二 百 年 里 ， 被十 八 和 十 九 世 纪 几 乎 所 有 著 名 的 数 学 家 都 尝 试 过 ， 但 是 问 题 的 进 展 是 微 乎 其 微 的 。 尽 管在 失 败 的 尝 试 中 微 分 方 程 的 理 论 被 不 断 地 发 展 成 为 一 门 更 成 熟 的 数 学 分 支 ， 但 是 对 于 这些 发 展 的 源 头 -N 体 问 题 ， 人 们 还 是 知 道 的 太 少 了 。 终 于 在 十 九 世 纪 末 期 ， 也 就 是 希尔 伯 特 做 他 的 著 名 演 讲 前 几

16、年 ， 人 们 期 待 的 重 大 突 破 出 现 了 编 辑 本 段三 体 问 题 的 特 殊 情 况4 种 特 殊 情 况 ： 1.三 星 成 一 直 线 ,边 上 两 颗 围 绕 当 中 一 颗 转 . 2.三 星 成 三 角 形 ,围 绕 三 角 形 中 心 旋 转 . 3.两 颗 星 围 绕 第 三 颗 星 旋 转 . 4.三 个 等 质 量 的 物 体 在 一 条 8 字 形 轨 道 上 运 动 编 辑 本 段限 制 性 三 体 问 题【 中 文 词 条 】 限 制 性 三 体 问 题 【 外 文 词 条 】 restricted three-body problem 【 作 者

17、】 赵 德 滋 三 体 问 题 的 特 殊 情 况 。 当 所 讨 论 的 三 个 天 体 中 有 一 个 天 体 的 质 量 与 其 他 两 个 天体 的 质 量 相 比 小 到 可 以 忽 略 时 这 样 的 三 体 问 题 称 为 限 制 性 三 体 问 题 。 一 般 地 把 这 个 小质 量 的 天 三 体 问 题体 称 为 无 限 小 质 量 体 或 简 称 小 天 体 把 两 个 大 质 量 的 天 体 称 为 有 限 质 量 体 。 把 小 天 体 的 质 量 看 成 无 限 小 就 可 不 考 虑 它 对 两 个 有 限 质 量 体 的 吸 引 也 就 是 说 它不 影 响

18、两 个 有 限 质 量 体 的 运 动 。 于 是 对 两 个 有 限 质 量 体 的 运 动 状 态 的 讨 论 仍 为 二 体问 题 其 轨 道 就 是 以 它 们 的 质 量 中 心 为 焦 点 的 圆 锥 曲 线 。 根 据 圆 锥 曲 线 为 圆 椭 圆 抛 物线 和 双 曲 线 等 四 种 不 同 情 况 相 应 地 限 制 性 三 体 问 题 分 四 种 类 型 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 椭 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 抛 物 线 型 限 制 性 三 体 问 题 和 双 曲 线 型 限 制 性 三 体 问 题 。 若 小 天体 的 初 始 位 置 和 初 始 速

19、 度 都 在 两 个 有 限 质 量 体 的 轨 道 平 面 上 则 小 天 体 将 永 远 在 运 动 。希 尔 按 限 制 性 三 体 问 题 研 究 月 球 的 运 动 略 去 太 阳 轨 道 偏 心 率 太 阳 视 差 和 月 球 轨道 倾 角 实 际 上 这 就 是 一 种 特 殊 的 平 面 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 。 他 得 到 的 周 期 解 就 是 希尔 月 球 运 动 理 论 的 中 间 轨 道 。 在 小 行 星 运 动 理 论 中 常 按 椭 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 进 行 讨 论 脱 罗 央 群 小 行 星 的 运动 就 是 太 阳 -木 星

20、-小 行 星 所 组 成 的 椭 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 的 等 边 三 角 形 解 的 一 个 实 例 。布 劳 威 尔 还 按 椭 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 来 讨 论 小 行 星 环 的 空 隙 。 抛 物 线 型 限 制 性 三 体 问 题和 双 曲 线 型 限 制 性 三 体 问 题 在 天 体 力 学 中 则 用 得 很 少 。 人 造 天 体 出 现 后 限 制 性 三 体问 题 有 了 新 的 用 途 常 用 于 研 究 月 球 火 箭 和 行 星 际 飞 行 器 运 动 的 简 化 力 学 模 型 ， 见 月 球火 箭 运 动 理 论 和 行 星 际 飞

21、 行 器 运 动 理 论 )。 编 辑 本 段三 体 问 题 的 趣 闻小 说 的 基 础科 幻 作 家 刘 慈 欣 的 地 球 往 事 三 部 曲 之 一 三 体 即 是 以 此 问 题 为 基 础 而 创 作的 这 是 一 个 暂 名 为 地 球 往 事 的 系 列 的 第 一 部 ， 可 以 看 做 一 个 更 长 的 故 事 的 开 始 。是 一 个 关 于 背 叛 的 故 事 ， 也 是 一 个 生 存 与 死 亡 的 故 事 ， 有 时 候 ， 比 起 生 存 还 是 死 亡 来 ，忠 诚 与 背 叛 可 能 更 是 一 个 问 题 。 疯 狂 与 偏 执 ， 最 终 将 在 人

22、类 文 明 的 内 部 异 化 出 怎 样 的 力 量 ？ 冷 酷 的 星 空 将 如 何 拷 问心 中 道 德 ？ 作 者 试 图 讲 述 一 部 在 光 年 尺 度 上 重 新 演 绎 的 中 国 现 代 史 ， 讲 述 一 个 文 明 二 百 次 毁 灭与 重 生 的 传 奇 。 三 体 问 题 和 瑞 典 国 王 的 奖 金(奥 斯 卡 国 王 -米 塔 格 莱 夫 勒 -庞 加 莱 ) 1885 年 ， 在 刚 创 刊 不 久 的 瑞 典 数 学 杂 志 Acta Mathematica 的 第 七 卷 上 出 现 了 一 则引 人 注 意 的 通 告 ： 为 了 庆 祝 瑞 典 和

23、 挪 威 国 王 奥 斯 卡 二 世 在 1889 年 的 六 十 岁 生 日 ，Acta Mathematica 将 举 办 一 次 数 学 问 题 比 赛 ， 悬 赏 2500 克 郎 和 一 块 金 牌 。 而 比 赛 的 题目 有 四 个 ， 其 中 第 一 个 就 是 找 到 N 体 问 题 的 所 有 解 。 参 加 比 赛 的 各 国 数 学 家 必 须 在1888 年 的 6 月 1 日 前 把 他 们 的 参 赛 论 文 寄 给 杂 志 的 创 办 人 和 主 编 ， 著 名 的 瑞 典 数 学 家 地 球 往 事 三 部 曲 之 一 三 体 米 塔 格 莱 夫 勒 (Gos

24、taMittag-Leffler)。 所 有 论 文 将 被 匿 名 地 被 一 个 国 际 委 员 会 评 判 以 决出 优 胜 者 ， 然 后 优 胜 者 的 论 文 将 发 表 在 Acta Mathematica 上 。 这 个 委 员 会 由 三 个 当 时赫 赫 有 名 的 数 学 家 组 成 ： 德 国 的 维 尔 斯 特 拉 斯 (Karl Weierstrass)， 法 国 的 赫 密 特(Charles Hermite)和 米 塔 格 莱 夫 勒 本 人 组 成 。 从 现 代 的 观 点 来 看 ， 这 样 的 比 赛 也 许 有 “炒 作 ”和 给 新 杂 志 做 广

25、告 的 嫌 疑 。 事 实上 当 时 就 有 一 些 数 学 家 这 样 批 评 这 种 比 赛 ， 象 德 国 的 克 隆 奈 克 (Leopold Kronecker)。但 是 从 历 史 上 看 ， 米 塔 格 莱 夫 勒 和 奥 斯 卡 二 世 的 动 机 是 好 的 ， 是 为 了 推 动 科 学 的 发 展 。奥 斯 卡 二 世 本 人 在 大 学 中 数 学 就 学 得 很 好 ， 他 和 许 多 当 时 著 名 的 数 学 家 ， 象 维 尔 斯 特 拉斯 ， 科 瓦 列 夫 斯 卡 雅 (Sonya Kovalevskaya)等 都 有 亲 密 的 关 系 。 而 米 塔 格

26、 莱 夫 勒 更 是 雄心 勃 勃 ， 想 把 这 样 的 比 赛 每 四 年 举 行 一 次 。 可 惜 这 个 设 想 没 有 实 现 ， 比 赛 只 举 办 了 一 次就 夭 折 了 ， 否 则 的 话 也 许 今 天 数 学 的 最 大 奖 不 是 菲 尔 兹 (John Charles Fields)奖 而 是 奥斯 卡 奖 了 (那 样 后 来 美 国 的 电 影 奖 大 概 也 要 考 虑 换 个 名 字 了 )。 让 我 们 回 到 比 赛 本 身 。 这 次 比 赛 在 当 时 轰 动 一 时 ， 虽 然 奖 金 不 高 ， 这 种 崇 高 的 荣 誉是 三 体 作 者 刘

27、慈 欣 (左 )当 时 罕 见 的 ， 要 知 道 瑞 典 更 有 名 的 “炸 药 奖 ”诺 贝 尔 (Alfred Bernhard Nobel)奖 是 在 几年 后 的 1896 年 才 开 始 评 选 的 。 但 是 由 于 问 题 的 困 难 程 度 ， 大 多 数 一 开 始 跃 跃 欲 试 的 数学 家 后 来 都 知 难 而 退 ， 最 后 只 有 四 五 个 数 学 家 真 正 交 了 他 们 的 答 卷 。 而 优 胜 者 也 并 不 难选 出 ， 虽 然 还 是 没 有 人 能 完 整 地 解 决 任 何 一 个 问 题 ， 但 是 所 有 评 委 一 致 认 为 其 中

28、 一 份 答卷 对 于 N 体 问 题 的 解 决 做 出 了 关 键 的 贡 献 ， 应 该 把 奖 颁 给 这 位 数 学 家 。 这 位 获 胜 者 就是 法 国 数 学 家 ， 物 理 学 家 庞 加 莱 (Jules Henri Poincare)。 庞 加 莱 在 现 代 数 学 历 史 上 占 有 举 足 轻 重 的 地 位 ， 他 曾 被 称 为 现 代 数 学 的 两 个 奠 基 人之 一 (另 一 个 是 黎 曼 (Bernhard Riemann)， 也 有 人 称 他 为 历 史 上 精 通 当 时 所 有 数 学 的 最后 两 个 人 之 一 (另 一 个 就 是 希

29、 尔 伯 特 )。 而 1885 年 的 庞 加 莱 只 有 31 岁 ， 虽 然 已 初 露 锋芒 ， 但 还 是 一 位 希 望 能 够 一 举 成 名 的 年 轻 数 学 家 ， 所 以 这 次 比 赛 是 个 大 好 的 机 会 ， 这 也迫 使 他 先 放 下 手 上 其 他 的 工 作 ， 集 中 精 力 投 入 到 天 体 力 学 和 N 体 问 题 的 研 究 中 。 庞加 莱 获 奖 的 论 文 “关 于 三 体 问 题 的 动 态 方 程 ”(Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique)

30、最 后 在 1890 年 在 Acta Mathematica 上 发 表 ， 论 文 长 达270 页 ， 占 了 整 整 半 卷 杂 志 。 (关 于 论 文 发 表 的 一 段 故 事 下 面 还 要 提 到 )。 这 篇 重 要论 文 使 原 来 就 已 有 不 小 名 气 的 年 轻 庞 加 莱 更 加 誉 满 整 个 欧 洲 数 学 界 ， 也 使 他 得 到 了 新 的热 情 和 动 力 继 续 进 行 他 在 这 篇 论 文 中 开 始 的 工 作 。 从 1892 年 到 1899 年 ， 庞 加 莱 陆 续出 版 了 他 的 三 大 卷 宏 伟 巨 著 “天 体 力 学 的

31、 新 方 法 ”(Les MethodsNouvelles de la Mecanique Celeste)。 他 的 获 奖 论 文 和 这 三 卷 书 可 以 说 奠 定 了 现 代 天 体 力 学 ， 动 力 系统 ， 微 分 方 程 定 性 理 论 ， 甚 至 混 沌 理 论 的 基 础 ， 尽 管 大 多 数 他 的 思 想 直 到 几 十 年 后 才 被广 大 的 数 学 工 作 者 所 领 悟 进 而 发 展 成 现 代 的 数 学 理 论 。 下 面 我 们 就 来 简 单 看 一 看 庞 加 莱 在 这 一 时 期 的 工 作 究 竟 给 N 体 问 题 的 解 决 带 来了

32、 什 么 进 展 。 第 一 ， 庞 加 莱 证 明 了 对 于 N 体 问 题 在 N 大 于 二 时 ， 不 存 在 统 一 的 第 一 积 分(uniform first integral)。 也 就 是 说 即 使 是 一 般 的 三 体 问 题 ， 也 不 可 能 通 过 发 现 各 种 不变 量 最 终 降 低 问 题 的 自 由 度 ， 把 问 题 化 简 成 更 简 单 可 以 解 出 来 的 问 题 ， 这 打 破 了 当 时很 多 人 希 望 找 到 三 体 问 题 一 般 的 显 式 解 的 幻 想 。 在 一 百 年 后 学 习 微 分 方 程 课 的 人 大 多 在第

33、 二 个 星 期 就 从 老 师 那 里 知 道 绝 大 多 数 微 分 方 程 是 没 法 找 到 定 量 的 解 的 ， 但 一 般 都能 从 定 性 理 论 中 了 解 更 多 解 的 性 质 ， 甚 至 可 以 通 过 计 算 机 “看 到 ”解 的 形 状 行 为 。 而 在庞 加 莱 的 年 代 ， 大 多 数 数 学 家 更 热 衷 于 用 代 数 或 幂 函 数 方 法 找 到 解 ， 使 用 定 性 方 法和 几 何 方 法 来 讨 论 微 分 方 程 就 是 起 源 于 庞 加 莱 对 于 N 体 问 题 的 研 究 ， 这 彻 底 改 变 人 们研 究 微 分 方 程 的

34、 基 本 想 法 。 第 二 ， 为 了 研 究 N 体 问 题 ， 庞 加 莱 发 明 了 许 多 全 新 的 数 学 工 具 。 例 如 他 完 整 地 提出 了 不 变 积 分 (invariant integrals) 的 概 念 ， 并 且 使 用 它 证 明 了 著 名 的 回 归 定 理(recurrence theorem)。 另 一 个 例 子 是 他 为 了 研 究 周 期 解 的 行 为 ， 引 进 了 第 一 回 归 映 象(first return map)的 概 念 ， 在 后 来 的 动 力 系 统 理 论 中 被 称 为 庞 加 莱 映 象 。 还 有 象 特

35、征 指数 (characteristic expontents)， 解 对 参 数 的 连 续 依 赖 性 (continuous dependence of solutions with respect to parameters)等 等 。 所 有 这 些 都 成 为 了 现 代 微 分 方 程 和 动 力 系 统理 论 中 的 基 本 概 念 。 第 三 点 ， 也 许 是 最 重 要 的 一 点 ， 是 庞 加 莱 通 过 研 究 所 谓 的 渐 进 解 (asymptotic solutions)， 同 宿 轨 道 (homoclinic orbits) 和 异 宿 轨 道 (het

36、roclinic orbits)， 发 现 即 使 在简 单 的 三 体 问 题 中 ， 在 这 样 的 同 宿 轨 道 或 者 异 宿 轨 道 附 近 ， 方 程 的 解 的 状 况 会 非 常 复 杂 ，以 至 于 对 于 给 定 的 初 始 条 件 ， 几 乎 是 没 有 办 法 预 测 当 时 间 趋 于 无 穷 时 ， 这 个 轨 道 的 最 终命 运 。 事 实 上 半 个 世 纪 后 ， 后 来 的 数 学 家 们 发 现 这 种 现 象 在 一 般 动 力 系 统 中 是 常 见 的 ，他 们 把 它 叫 做 稳 定 流 形 (stable manifold)和 不 稳 定 流

37、 形 (unstable manifold)正 态 相 交(intersects transversally)所 引 起 的 同 宿 交 错 网 (homoclinic tangle)， 而 这 种 对 于 轨 道 的 长时 间 行 为 的 不 确 定 性 ， 数 学 家 和 物 理 学 家 称 之 为 混 沌 (chaos)。 庞 加 莱 的 发 现 可 以 说 是混 沌 理 论 的 最 早 起 源 了 。 最 后 应 该 提 到 的 是 庞 加 莱 在 做 出 这 些 重 要 工 作 时 的 一 些 逸 事 。 1888 年 五 月 庞 加莱 在 比 赛 截 止 日 期 前 交 上 了 他

38、 的 论 文 ， 六 个 月 后 他 就 被 宣 布 为 获 胜 者 。 评 委 维 尔 斯 特 拉斯 虽 然 当 时 已 经 体 弱 多 病 ， 但 还 是 很 有 预 见 地 指 出 这 篇 论 文 将 打 开 天 体 力 学 历 史 上 的 一个 新 纪 元 。 在 1889 年 冬 天 庞 加 莱 的 论 文 已 经 被 印 刷 而 且 送 到 了 当 时 最 有 名 的 一 些 数 学家 那 里 。 就 在 这 时 负 责 校 对 的 一 位 数 学 家 和 庞 加 莱 自 己 都 发 现 了 文 章 中 一 些 证 明 不 清 楚的 地 方 ， 庞 加 莱 开 始 修 改 这 些

39、部 份 并 且 通 知 米 塔 格 莱 夫 勒 收 回 了 已 印 出 的 杂 志 予 以 销 毁 。在 1890 年 十 月 ， 庞 加 莱 论 文 的 新 版 本 才 重 新 问 世 ， 这 也 是 我 们 今 天 看 到 的 版 本 。 事 实上 被 销 毁 的 版 本 仅 有 158 页 ， 而 后 来 的 版 本 是 270 页 。 庞 加 莱 坚 持 自 己 支 付 了 印 刷 第一 版 的 费 用 ： 3585 克 郎 ， 也 就 是 说 算 上 他 的 奖 金 ， 他 在 这 次 比 赛 中 还 赔 了 一 千 多 克 郎 。但 是 这 次 修 正 是 重 要 的 ， 正 是

40、在 这 次 修 正 中 ， 庞 加 莱 改 正 了 他 的 一 个 稳 定 性 定 理 ， 最 终导 致 了 他 对 同 宿 交 错 网 的 发 现 。 有 趣 的 是 米 塔 格 莱 夫 勒 原 以 为 他 销 毁 了 所 有 有 错 误 的 论文 ， 然 而 近 百 年 后 在 人 们 在 瑞 典 米 塔 格 莱 夫 勒 数 学 研 究 所 的 旧 文 件 中 还 是 发 现 了 几 本“原 版 ”的 庞 加 莱 的 论 文 ， 他 们 就 象 错 版 邮 票 一 样 成 了 珍 贵 文 物 ， 也 成 了 数 学 史 研 究 者 和后 来 的 数 学 家 研 究 庞 加 莱 的 宝 贵

41、资 料 。 另 一 件 事 是 后 来 的 人 认 为 庞 加 莱 并 没 有 把 他 对 同 宿 交 错 网 的 全 部 想 法 都 写 进 他 的 著作 ， 而 只 是 在 他 的 书 第 三 卷 第 397 节 中 简 单 提 了 一 下 ， 以 说 明 N 体 问 题 解 的 复 杂 性超 出 人 们 的 想 象 能 力 。 现 在 的 人 猜 测 他 可 能 这 样 做 的 原 因 是 这 种 混 沌 的 想 法 不 符 合 当 时人 们 对 于 自 然 界 的 基 本 哲 学 。 十 九 世 纪 末 期 知 识 界 对 于 科 学 技 术 的 进 展 是 非 常 乐 观 的 ，人

42、们 对 于 物 理 世 界 的 理 解 是 给 定 现 实 的 状 态 ， 人 类 是 有 能 力 预 测 未 来 的 。 而 这 种 混 沌 理论 的 不 确 定 性 恰 恰 和 当 时 这 种 思 想 不 相 吻 合 ， 所 以 即 使 是 庞 加 莱 这 样 伟 大 的 科 学 家 也 对于 提 出 这 种 大 胆 的 思 想 持 保 留 态 度 。 但 我 们 也 不 能 责 备 庞 加 莱 的 局 限 性 ， 事 实 上 对 于 社会 上 的 一 般 公 众 ， 混 沌 理 论 是 到 二 十 世 纪 八 十 年 代 后 ， 计 算 机 被 普 遍 使 用 后 才 被 真 正 接受

43、的 。 今 天 人 们 还 是 承 认 庞 加 莱 是 第 一 个 有 混 沌 理 论 基 本 想 法 的 人 。 而 在 科 学 史 上 ， 庞加 莱 也 被 认 为 最 有 能 力 和 机 会 创 造 狭 义 相 对 论 的 理 论 ， 也 许 还 是 他 性 格 上 和 哲 学 思 想 上的 弱 点 ， 最 后 真 正 大 胆 地 做 到 这 一 点 的 是 今 天 家 喻 户 晓 的 爱 因 斯 坦 (Albert Einstein)。非 碰 撞 的 奇 点 解 ： 百 年 悬 而 未 决 的 问 题(庞 勒 维 -冯 泽 培 尔 -萨 瑞 -夏 志 红 -哥 维 尔 ) 太 阳 系

44、中 所 有 行 星 及 其 它 们 的 卫 星 基 本 上 都 以 太 阳 为 参 照 物 做 着 周 期 运 动 。 然 而 在宇 宙 中 并 非 所 有 星 球 都 能 保 持 这 种 周 期 运 动 ， 即 使 今 天 各 种 街 头 小 报 上 仍 然 经 常 充 斥 着一 些 关 于 将 有 小 行 星 撞 击 地 球 ， 从 而 人 类 将 面 临 灭 顶 之 灾 ， 许 多 好 莱 坞 电 影 也 使 用 现 代科 技 栩 栩 如 生 地 向 我 们 展 示 了 这 种 可 怕 的 灾 难 。 尽 管 从 科 学 上 讲 在 短 期 内 我 们 并 不 用 杞人 忧 天 ， 但

45、是 在 漫 漫 宇 宙 中 ， 星 球 的 碰 撞 并 非 不 可 能 ， 现 在 许 多 科 学 家 都 相 信 曾 经 一 度独 霸 地 球 的 恐 龙 正 是 在 一 次 小 行 星 撞 击 地 球 后 灭 亡 的 。 既 然 N 体 问 题 本 来 就 是 被 用来 作 为 星 球 运 动 的 模 型 ， 我 们 可 以 猜 想 在 N 体 问 题 某 些 解 里 会 有 碰 撞 发 生 。 事 实 上 大家 可 以 看 到 即 使 在 二 体 问 题 中 ， 如 果 两 个 质 点 的 相 对 位 置 总 在 一 条 直 线 上 的 话 ， 它 们 是可 以 在 有 限 时 间 内

46、就 碰 撞 在 一 起 的 ， 这 样 这 个 微 分 方 程 的 解 在 这 一 时 刻 就 失 去 意 义 了 因为 方 程 右 面 某 些 项 的 分 母 成 了 零 。 在 这 种 情 况 下 我 们 称 方 程 有 一 个 奇 点 (singularity)，而 这 个 奇 点 就 是 一 个 碰 撞 (collision)。 但 是 在 微 分 方 程 的 理 论 中 ， 奇 点 并 不 都 是 这 样 的碰 撞 类 型 的 。 一 个 简 单 的 例 子 是 方 程 x=x2 的 非 零 解 总 是 在 有 限 时 间 里 就 跑 到 无 穷远 去 了 ， 这 种 现 象 我 们

47、 称 之 为 爆 破 (blowup)。 我 们 知 道 对 于 N 体 问 题 我 们 一 般 更 关 心质 点 之 间 的 相 对 位 置 ， 所 以 如 果 至 少 其 中 两 个 质 点 之 间 的 相 对 距 离 在 有 限 时 间 里 就 跑 到无 穷 远 ， 我 们 就 可 以 说 爆 破 在 N 体 问 题 中 出 现 。 如 果 这 是 真 的 宇 宙 的 话 ， 那 就 意 味 着这 个 宇 宙 在 一 段 时 间 后 在 没 有 碰 撞 的 情 况 就 消 失 到 无 穷 远 的 尽 头 去 了 。 这 似 乎 大 大 有 悖一 般 人 对 于 宇 宙 的 认 识 。 但

48、 是 从 N 体 问 题 的 方 程 来 看 ， 这 似 乎 并 不 太 可 能 发 生 ， 因 为当 方 程 中 的 距 离 项 变 大 后 ， 距 离 变 化 的 速 度 就 小 了 ， 爆 破 似 乎 就 不 会 发 生 了 。 事 实 上 对于 二 体 问 题 ， 大 家 很 容 易 证 明 爆 破 不 会 发 生 。 但 是 ， 当 N 大 于 二 呢 ？ 大 家 可 以 从 庞加 莱 的 工 作 中 看 出 ， 我 们 的 回 答 应 该 谨 慎 一 些 。 。 。 。 。 。 历 史 上 关 于 N 体 问 题 中 奇 点 的 研 究 ， 是 由 和 庞 加 莱 同 时 代 的

49、另 一 位 法 国 数 学 家 庞勒 维 (Paul Painleve) 开 始 的 。 庞 勒 维 在 数 学 上 也 许 不 如 庞 加 莱 声 名 显 赫 ， 但 是 另 一方 面 数 学 教 授 只 是 他 的 职 业 之 一 。 在 法 国 历 史 上 ， 庞 勒 维 是 被 作 为 著 名 的 政 治 家 记 载 的 。在 他 不 做 巴 黎 大 学 教 授 的 时 候 ， 他 从 1914 年 到 1933 年 去 世 为 止 一 直 在 法 国 政 府 任 内阁 部 长 ， 并 曾 两 度 出 任 法 国 总 理 。 (无 独 有 偶 ， 在 同 一 时 代 另 一 个 做 过 法 国 总 理 的 正 是庞 加 莱 的 一 位 表 弟 )。 庞 勒 维 对 于 N 体 问 题 中 奇 点 的 研 究 ， 也 和 前 面 提 到 的 瑞 典 和 挪威 国 王 奥 斯 卡 二 世 的 名 字 联 系 在 一 起 。 1895 年 奥 斯 卡 二 世 邀 请 庞 勒 维 到 斯 特 哥 尔 摩 大学 (University of Stockholm)讲 学 ， 并 亲 自 到 讲