1、第 1 页 共 6 页选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆一、知识要点1椭圆的定义（1）椭圆的两种定义：（第一定义）平面内到两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹1F2 12F叫做椭圆，两个定点 ， 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。12（第二定义）平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹。（2）标准方程焦点在 轴上，中心在原点： ；焦点 ， ，其中x21xyab(0)1(,0)Fc2(,)。2cab焦点在 轴上，中心在原点：y_，_。2椭圆的简单几何性质（1）对于焦点在 轴上，中心在原点，形如 的椭圆有以下几何性x21xy
2、ab(0)质：范围：_；对称性：_；顶点：_；离心率：_；准线方程：_；焦半径公式： 为椭圆上任意一点， ， 为椭圆的左、右焦点，0(,)Pxy1F2=_，1F=_。2第 2 页 共 6 页设 为椭圆 上的一点， ， 为下、上焦点，则0(,)Pxy21(0)xyabb1F2=_， =_。1F2PF（2）对于焦点在 轴上，中心在原点，形如 的椭圆用以上同样的y21(0)xyabb讨论方法可得到相类似的性质。3焦点三角形与弦（1）椭圆上的点 与两焦点构成的 称作焦点三角形。如图，0(,)Pxy12PF。2FO ，当 时，即 为短轴端点时， 最大，且21arcos()b12rP。2maxr ，12
3、220sinsi ta1coPFSbbcy当 ，即 为短轴端点时， 最大，且最大值为 。0yb12PFSb（2）焦点弦（过焦点的弦）AB 为椭圆 的焦点弦， ， ，弦中点2xyab(0)1(,)Axy2(,)B。则弦长 ，通径最短 。0(,)My120()lexaeminbla（3）椭圆 的一般弦2xab(0)第 3 页 共 6 页AB 为椭圆的一般弦， ， ，弦中点 。1(,)Axy2(,)B0(,)Mxy弦长 。212122lxkk 。02ABbkay直线 AB 的方程：_。直线 AB 的垂直平分线方程：_。4待定系数法求椭圆方程（1）解决问题的关键是：列方程（组） ，解方程（组） ，求待
4、定系数。（2）一般地：如果已知焦点在 轴上，可设方程为_；x如果已知焦点在 轴上，可设方程为_；如果焦y点的位置不能确定应分类讨论，或设椭圆方程为：_。5椭圆的几何性质的应用（1）椭圆的几何性质涉及的不等关系；（2）椭圆中有“四线” （两条对称轴，两条准线） ， “六点” （两个焦点，四个顶点） 。（3）点 与椭圆 的关系：0(,)Pxy21xyab 在椭圆上；201ab0(,) _；20xy _。201ab6与椭圆有关的综合问题（1）直线与椭圆位置关系中的常用结论把椭圆方程 与直线方程 联立消去 ，整理形成如21xyab(0)ykxby的形式，对此一元二次方程：20AxBC ，直线与椭圆有两
5、个公共点 、 ，此时弦长求法：PQ求 、 两点坐标，利用两点间距离公式；aPQ第 4 页 共 6 页由根与系数关系得到弦长公式 ；b 22(1)4pqpqPQkxx ，直线与椭圆有一个公共点；0 ，直线与椭圆无公共点。（2）解决直线与椭圆位置关系时一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式、根与系数的关系、求根公式来处理问题，还要注意数形结合思想的运用。（3）与椭圆有关的最值问题。建立目标函数，用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 、 的范围；xy数形结合，用化曲为直的转化思想；利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求
6、最值；借助均值不等式求最值。二、典型例题例 1在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2，以 O 为圆心， 为)0(12bayx a半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 =_。0,2cae例 2设椭圆 上一点 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为21()xymP1，则 到右准线的距离为_。P例 3在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆xOyABC(4,0)(,)CB上，则 =_。259xysinA例 4如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆xoy12,的四个顶点， 为其右焦点，直线21(0)xyabF与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点 M恰为线12ABFO段 的中
7、点，则该椭圆的离心率为_。OT例 5椭圆 ，焦点为 、 ， 是椭圆上一点，若14692yx1F2P，021PF求 的面积。第 5 页 共 6 页例 6已知 是椭圆 的左焦点， 是此椭圆上的动点，A（1，1）是一F2594xyP定点。（1）求 的最小值，并求此时点 的坐标；32PA（2）求 的最大值和最小值。F例 7设椭圆 C：21(0)xyab的右焦点为 F，过点 F 的直线 与椭圆 C 相交于lA、B 两点，直线 的倾斜角为 60o， 2AB。l（）求椭圆 C 的离心率；（ ）如果|AB|= 154，求椭圆 C 的方程。例 8已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的C21(0)x
8、yab63距离为 。3（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 、 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求lCABOl32的面积的最大值。AOB例 9设 12,F分别是椭圆 E:21(0)xyab的左、右焦点，过 1F斜率为 1 的直线l与 E 相交于 ,AB两点，且 2F， AB， 2成等差数列。（）求 E 的离心率；（）设点 P（0,-1）满足 P，求 E 的方程。第 6 页 共 6 页例 10平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右xoy1592yx焦点为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，mt, ),(1yx),(2yxN
9、其中 m0, 。021y（1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；42B（2）设 ，求点 T 的坐标；3,21x（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t标与 m 无关） 。三、小结（这次课我学到了什么？）2.2 椭圆作业1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_。2若点 O 和点 F 分别为椭圆2143xy的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为_。P3已知椭圆的焦点是 ， 。 为椭圆上的一点，且 是 和1(,0)2(,)FP12F1的等差中项。2F（1）求椭圆方程；（2）若点 在第三象限，且 ，求 。12012tanP4椭
10、圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中21xyab01xyPQOP为坐标原点。O第 7 页 共 6 页（1）求 的值；（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范1abe3e2围。5如图，已知椭圆21 (0)xyab过点 2(1,)，离心率为 2，左、右焦点分别为 1F、 2。点 P为直线 :2l上且不在 x轴上的任意 一点，直线 1PF和 2与椭圆的交点分别为 A、 B和 C、 D， O为坐标原点。（1）求椭圆的标准方程； （2）设直线 1、 2的斜线分别为 1k、 2。证明： 123k； 问直线 l上是否存在点 P，使得直线 A、 B、 C、 OD的斜率 OAk、 B、 OCk、ODk满足 0AOBCODk？若存在，求出所有满足条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由。
