1、 智慧数学（四上） 我+数学= 智慧第一讲 平 均 数同学们，计算平均数是我们生活中经常碰到的数学问题。我们常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数” ，然后用总数量除以总份数求出平均数。例 1：二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，共植树 80 棵；第二组有6 人，共植树 66 棵；第三组有 6 人，共植树 54 棵。平均每人植树多少棵？
2、【思路导航】因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200 棵，总人数为：8+6+6=20 人，所以平均每人植树 20020=10 棵。80+66+54=200（棵）8+6+6=20（人）20020=10（棵）答：平均每人植树 10 棵。试一试 1：导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧电视机厂四月份前 10 天共生产电视机 3300 台，后 20 天共生产电视机6300 台。这个月平均每天生产电视机多少台？例 2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两
3、个同学身高 153 厘米，一个同学身高 152 厘米，有两个同学身高 149 厘米，还有两个同学身高147 厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。【思路导航】这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在 150 厘米左右，可以假设平均身高为 150 厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数” 。解法一：153215214921472=1050（厘米）2122=7（人）10507=150（厘米）答：四年级羽毛球队同学的平均身高是 150 厘米。解法二：3221232=0（厘米）2122=7（人）07=0（
4、厘米）150+0=150(厘米)答：四年级羽毛球队同学的平均身高是 150 厘米。试一试 2：五（1）班有 7 个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了 99 分，还有三个同学得了 96 分，另外两个同学分别得了 97、89 分。这 7 个同学的平均成绩是多少？例 3： 从山顶到山脚的路长 36 千米，一辆汽车上山，需要 4 小时到达山顶，智慧数学（四上） 我+数学= 智慧下山沿原路返回，只用 2 小时到达山脚。这辆汽车上山下山的平均速度是每小时多少千米？【思路导航】求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是 362=72 千米，往返的时间是 4+2=6 小时。所以，这辆汽车往
5、返的平均速度是每小时行 726=12 千米。362=72（千米） 4+2=6（时） 726=12（千米）答：这辆汽车上山下山的平均速度是每小时 12 千米。试一试 3：小强家离学校有 1200 米，早上上学，他家到学校用了 15 分钟，放学回家，他从学校到家用了 10 分钟。求小强往返的平均速度。第二讲 植 树 问 题智慧数学（四上） 我+数学= 智慧植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树的棵数之间的关系就不同，存在着以下几种基本情形。1、线段上的植树问题可以分为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，
6、那么植树的棵数应比要分的段数多 1，即：棵数=段数1；（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少 1，即：棵数=段数1。2、在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即： 棵数=段数。例 1：城中小学在一条大路边从头至尾栽树 28 棵，每隔 6 米栽一棵。这条路长多少米？【思路导航】题中已知栽树 28 棵，28 棵树之间有 281=27（段） ，每隔 6 米为一段，所以这条大路长 627=162（米） 。281=27（段）627=162（米）答：这条路长 162 米。试一试 1：在一条马路一边从头至尾植树 36 棵，每相邻两棵树之
7、间隔 8 米，这长马路有多长？例 2：在一个周长是 240 米的游泳池周围栽树，每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。2405=48（棵）答： 一共要栽 48 棵树。试一试 2：在圆形的水池边，每隔 3 米种一棵树，共种树 60 棵，这个水池的周长是多少米？例 3：在一座长 800 米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了 202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。 【思路导航】大桥两边一共挂了 202 盏彩灯，每边各挂 2022=101（盏） ，101 盏彩
8、灯把 800 米长的大桥分成 1011=100（段） ，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是 800100=8（米） 。2022=101（盏）1011=100（段）800100=8（米）答：相邻两盏彩灯之间的距离是 8 米。试一试 3：在一条长 100 米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽 52 棵，相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。第三讲 和 差 问 题智慧数学（四上） 我+数学= 智慧同学们，已知两个数的和与差，分别求出这两个数各是多少的应用题，我们通常把它们称为和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：（和差）2=小数小数差=大数（和小数=大数）或：（和差）2=大
9、数大数差=小数（和大数=小数）解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。例 1：两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多 8 千克，两筐水果各多少千克？【思路导航】此题是四年级数学考试中常见题型，只要我们分析出了题中数量关系，很好解答。方法一：两筐合起来 150 千克，第一筐比第二筐重，把重的部分拿掉就等于两个第二筐的重量了，150 - 8 = 142（千克） ， 1422 = 71（千克） ，即为第二筐的重量。方法二：我再拿 8 千克放到第二筐里，
10、那么第二筐就和第一筐相等了，此时合起来共重为：150 + 8 = 158（千克） ，是两个第一筐的重量，1582 = 79（千克） ，即为第一筐的重量。导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧试一试 1：果园里有桃树和梨树共 150 棵，桃树比梨树多 20 棵，两种果树各有多少棵？例 2：今年小强 7 岁，爸爸 35 岁，当两人年龄和是 58 岁时，两人年龄各多少岁？【思路导航】题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是 35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为 58 岁时他们年龄差仍是 28 岁.。方法一：
11、爸爸与小强的年龄差为：35 - 7 =28（岁）58 - 28 = 30（岁）2 个小强的年龄 302 = 15（岁）小强的年龄58 - 15 = 43（岁）爸爸的年龄方法二：根据和差问题的解题思路快速解此题。知道年龄和为 58，计算年龄差为：35 - 7 =28，利用：（和+差）2 = 较大数，得：（58 + 28）2 = 43（岁）爸爸（和-差）2 = 较小数，得：（58 - 28）2 = 15（岁）小强智慧数学（四上） 我+数学= 智慧试一试 2：黄茜与胡敏两人今年的年龄和是 23 岁，4 年后，黄茜比胡敏大 3 岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？例 3：小明期末考试时语文和数学的平均分数
12、是 94 分，数学比语文多 8 分，问语文和数学各得了几分？【思路导航】解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是 8 分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是 94 分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文与数学成绩和为：942 = 188语文与数学成绩差为：8数学得分（即大数）为：（188 + 8）2 = 1962 = 98（分）语文得分（即小数）为：（188 - 8）2 = 1902 = 90（分）试一试 3：某工厂去年与今年的平均产值为 96 万元，今年比去年多 10 万元，今年与去年的产值各是多少万元？智慧数学（四上） 我+数学
13、= 智慧第四讲 周 期 问 题在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现。如：人的 12 生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等。像这些问题，我们称为“简单周期问题” 。这一类问题一般要利用余数的知识来解答。所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。例 1：2001 年 10 月 1 日是星期一，问 10 月 25 日是星期几？【思路导航】：我们知道，每个星期有 7 天，也就是说以 7 天为一个周期不断地重复。那么从 10 月 1 日到 10 月 25 日经过了 251=24（天） 。
14、因此用除法算式解答。（1） 、从 10 月 1 日到 10 月 25 日有：251=24（天）（2） 、24 天里有多少个星期余多少天？247=3（个星期）3（天）（说明 24 天中包含 3 个星期还多 3 天，最后一天起，再过 3 天就应是星期四）答：10 月 25 日是星期四。试一试 1：1、2001 年 5 月 3 日是星期四，问 5 月 20 日是星期几？例 2：100 个 3 相乘，积的个位数字是几？【思路导航】：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。（1） 、13=31 个 3 相乘积的个位数字是：3（2） 、33=92 个 3 相乘积的个位数字是：9（3） 、333=273
15、个 3 相乘积的个位数字是：7（4） 、3333=814 个 3 相乘积的个位数字是：1导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧（5） 、33333=2435 个 3 相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以 3、9、7、1 不断出重复出现的。即每 4个 3 的积的个位数为一个周期。 ）所以 100 个有多少个周期？1004=25（个） （整除说明是最后一个即个位为1）答：积的个位数字是 1。试一试 2：1、23 个 3 相乘，积的个位数字是几？答： 。例 3：A B C A B C A B 万 事 如 意 万 事 如 意 上表中，每一列两个符号组成一组，
16、如第一组“A 万” ，第二组“B 事” ，问第 20 个组是什么？【思路导航】：观察上表，发现有两个独立的排列规律。上面一组是以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。要求出第 20 个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。解：（1） 、上面一组：203=6（组）2（个） （说明第 20 个字母是：“B”）（2） 、下面一组：204=5（组） （说明第 20 个字是：“意” ）答：第 20 个组是“B 意”两个符号。试一试 3：A B C D A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 上表中每一列两个符号为一组，如：第一组
17、为“A1” ，第二组为“B2” ，智慧数学（四上） 我+数学= 智慧问第 25 组是什么？第五讲 还 原 问 题同学们，用倒推法计算是我们生活中经常碰到的数学问题。已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。例 1：小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，再加上 2 之后，扩大 10 倍，恰好是 100 岁。小刚的奶奶今年多少岁？【思路导航】从最后一个条件恰好是 100 岁向前推算，扩大 10 倍后是 100 岁，没有扩大 10 倍之前应是 10
18、010=10 岁；加上 2 之后是 10 岁，没有加 2 之前应是 102=8 岁；缩小 9 倍之后是 8 岁，没有缩小 9 倍之前应是 89=72 岁；减去 7 之后是 72 岁，没有减去 7 前应是 727=79 岁。所以，小刚的奶奶今年是 79 岁。试一试 1：一个数的 3 倍加上 6，再减去 9，最后乘上 2，结果得 60。这个数是多少？例 2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台。这个商场原来有洗衣机多少台？【思路导航】从“下午售出剩下的一半还多 20 台”和“还剩 95 台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的 95 台和下午
19、多卖的 20 台合起来，即9520=115 台正好是上午售后剩下的一半，那么 1152=230 台就是上午售出后剩下的台数。而 230 台和 10 台合起来，即 23010=240 台又正好是总数的一半。那么，2402=480 台就是原有洗衣机的台数。导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧试一试 2：粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多 3 吨，第二次运出剩下的一半多 5 吨，还剩下 4 吨。粮库原有大米多少吨？例 3：小明、小强和小勇三个人共有故事书 60 本。如果小强向小明借 3 本后，又借给小勇 5 本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？【思
20、路导航】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是 60 本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书 603=20 本。如果小强不借给小勇 5 本，那么小强有 205=25 本，小勇有 205=15 本；如果小强不向小明借 3 本，那么小强有 253=22 本，小明有 203=23 本。试一试 3：甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡 90 张。如果甲给乙 3 张后，乙又送给丙 5 张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？智慧数学（四上） 我+数学= 智慧第六讲 错 中 求 解在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导
21、致计算结果发生错误。这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。例 1：小玲在计算除法时，把除数 65 写成 56，结果得到的商是 13.还余 52。正确的商是多少？【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：135652=780。所以，正确的商是：78065=12。试一试 1：小星在计算除法时，把除数 87 错写成 78，结果得到的商是 5，余数是45。正确的商应该是多少？例 2：小芳在计算除法时，把除数 32 错写成 320，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？【思路导航】根据题意，把除数 32 改成 320 扩大到原来的 10
22、倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的 10 倍。所以正确的商应该是 4810=480。试一试 2：小丽在计算除法时，把除数 530 末尾的 0 漏写了，得到的商是 40。正确的商应该是多少？导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧例 3：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 4 错当作 1.乘得的结果是 525，实际应为 600。这两个两位数各是多少？【思路导航】一个因数的个位 4 错当作 1.所得的结果比原来少了（41）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600525=75，753=25，60025=24。所以一个因数是 24，另一个因数是
23、25。试一试 3：小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数 8 错当作 3.得 345，实际应为420。这两个因数各是多少？智慧数学（四上） 我+数学= 智慧第七讲 加 减 法 巧 算（1）速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。例 1：计算 9+99+999+9999【思路
24、导航】这四个加数分别接近 10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将 99 转化为 1001。这是小学数学计算中常用的一种技巧。9+99+999+9999=（101）+（1001）+（10001）+（100001）=10+100+1000+100004=11106试一试 1：计算 99999+9999+999+99+9导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧例 2：计算 489+487+483+485+484+486+488【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数 490 接近，所以选 490为基准数。489+487+483+485+484+486
25、+488=49071375642=343028=3402想一想：如果选 480 为基准数，可以怎样计算？试一试 2：262+266+270+268+264例 3：计算下面各题。（1）632156232 （2）128+186+7286【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。（1）632156232 （2）128+186+7286=632232156 =128+72+18686=400156 =（128+72）+（18686）=244 =200+100=300试一试 3：1208569208 283+69183智慧数学（四上） 我+
26、数学= 智慧第八讲 加 减 法 巧 算 （2）同学们，速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们继续学习加、减法的巧算方法，在小括号的使用过程中也存在一些巧妙计算的方法。括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。掌握这些规律，我们可以进行更多的简便计算。例 1：计算下面各题。1. 248+（152127） 2. 283+（358183）【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括
27、号内的符号不变；我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。1248+（152127） 2 . 283+（358183）=248+152127 =283+358183=400127 =283183+358=273 =100+358=458试一试 1：348+（252166） 导 学 启 思智慧数学（四上） 我+数学= 智慧例 2：计算下面各题。1. 324（12497） 【思路导航】如果括号前面是“-”号，去括号时，括号内的符号要改变；我们可以把例 1 例 2 的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。
28、324（12497） =324124+97 =200+97 =297 试一试 2：462(262129)例 3：计算下面各题。（1）286+879679 （2）812593+193【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。（1）286+879679 （2）812593+193=286+（879679） =812（593193）=286+200 =812400=868 =412试一试 3：智慧数学（四上） 我+数学= 智慧368+1859859 582+393293
