1、12012 届高三第十四次模拟考试题（理科数学）第卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值是 A . B. C. D. 53sin121232322.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则 A. 2 B. C. 1 D. 0iz3.定义集合 A 与 B 的运算： . 已知集合 A= 0 , 1，B= 2 , 3 ，xabAbB(),则集合 的真子集的个数是 A. 8 B. 16 C. 7 D. 154.已知 、 是两个不同的平面，直线 ，直线 . 命题 p： ，命题 q：a 与
2、 b 无公共点. 则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.若 展开式中各项系数之和为 32，则该展开式中含 的项的系数为 13()nx 3xA. 5 B. 5 C. 405 D. 4056.如图。在正六边形 ABCDEF 中下列向量的数量积中，最大的是 A. B. ABCABDC. D. EF7.实数 x、y 满足约束条件 ，若目标函数140xyabcz = 2x + y 的最大值为 7，最小值为 2, 则 的值是 aA. 1 B. 2 C. 1 D. 28.如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为 的正方形，则这个正三棱柱的
3、外接3球的表面积等于 A. 8 B. C. 9 D. 2528329. 如图，P（x 0 , f (x0） ）是函数 y =f (x)图像上一点，曲线y =f (x)在点 P 处的切线交 x 轴于点 A，PB x 轴，垂足为 B. 若 PAB 的面积为 ，则 与 满足关120()f0()f系式 A. B. 00()()fxf00()()fxfC D. 22 x10. 如图 ，ABC 的外接圆半径 ，BAC=120，143RAB= 10，边 AB 在 x 轴上，且 y 轴垂直平分 AB. 则以 A、B为焦点且过点 C 的双曲线的方程为 A. B. 2178xy2187xC. D. 296269y
4、第卷（非选择题 ，共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11.计算： =_.2(sin)xd12.某程序框图如图所示，则按该程序运行后输出的n 值为_. 13.已知： ，21,234， ，以此类推.则第 n 个等式为354615768_.14.给出下列四个判断，其中正确判断的序号是_.（把你认为正确的都填上）命题“存在 ，使 ”的否定是“任意的 ，则 ”；0xR203xR23把函数 的图像向右平移 个单位，得到 的图像；3sin()y6yxsin设函数 的零点为 ，若常数 a、b 满足 ， ，则 .()xfab0x23a2b01(,)15.（考生注意：请
5、在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题评分）A （不等式选讲选做题）设关于 的不等式 3123xmx3NM图17图图A1B1BACC1的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围是_.A1,AmB.(几何证明选讲)如图，半径为 5 的圆 O 的弦 AB 经过弦 CD 的中点 M，且 ODAB，AB=6，则弦 CD 的长为_. C.(坐标系与参数方程)在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 （t 为参数）. 若以143xyO 为极点，x 轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，则24cos()直线 l 被曲线 C 截得的弦长为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共
6、 75 分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）已知函数 21()sin(i)cosfxx（）求函数 在 上的最大值和最小值；f63,（）在 ABC 中，已知 ， ，求 的值725cosA3cosB()f17.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB= 90，AC=1， 2C，AA 1=1. M、 N 分别是 AB1 和 B1C1 的中点。（）证明：平面 MBN平面 MBC；（）求平面 MAB 和平面 MBC 夹角的余弦值18.（本小题满分 12 分）一个盒子中装有编号分别为 1, 2, 3, 4, 5 的五张卡片，现从中随机
7、地抽取卡片.（）若从盒子中有放回地抽取 3 张卡片. 每次抽取一张，求恰有两次抽到的卡片上的数字为偶数的概率；（）若从盒子中每次抽取一张卡片，取出的卡片不再放回. 当取到的一张卡片上的数字为偶数即停止抽取，否则继续抽取. 求抽取次数 x 的分布列和数学期望19.（本小题满分 12 分） 已知数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 a1= 1， （n2）.1nS（）求证： 是等差数列，并求 S n 的表达式；1nS（）若存在正数 k ，使得对任意 , 都有 N1221()()nSSk求 k 的最大值20.（本小题满分 13 分）已知函数 的图像在点 处的切线方32(),()ln().xabx
8、fc(,)f4程为 1620xy（）求实数 的值；（）若曲线 上存在两点 ，使得 是以坐标原点为直,abyfx,ABO角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 在 轴上，求实数 的取值范围ABMyc21.（本小题满分 14 分）已知椭圆 C： （ab0）的离心率 ，右焦点为 F，过原点 O 的直线交椭圆 C21xy32e于 M、 N 两点. 且 42FN（）求椭圆 C 的方程；（）若点 M 的坐标为（2,1） ，直线 l 平行于 MN 且与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B. 若AOB 为钝角，求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围； 求证：直线 MA、 MB 与 x 轴围成的三角形总是等腰三角形
9、2012 届高三第十四次模拟考试题（理科数学）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B C A C A D B C D二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11. 0 ； 12. 4 ； 13. 1212()()()nnn 14. ； 15. A. ； B. ； C. 73(,57三、解答题（共 75 分）16.解：（） -2 分221()sinicosinfxxx- -4 分6362min()f当 时 ，-6 分22max()xf当 时 ，（） ， ，75cosA35cosBA、B 均为锐角，从而 ， -8 分24inA
10、45sinB= sini()sicoiCB237455故 -12 分915()sinfC17. （）建立空间直角坐标系 ，如图所示，则xyz，1(1,0),2),(0,)AB12(,),(0,1)MN,CM1,02N于是： 2 分121,02CBMN, , 4 分0,0MN ,CBM,N平 面 又 平 面所以，平面 平面 6 分B（）设平面 的法向量是 ，则由 ,得，A,nxyz,nA取 ，得 ，即 ，9 分120,.xyz12,0z2,10又由（）知， 是平面 的一个法向量，,02MNMBC， 11 分3cos,n故，平面 与平面 夹角的余弦值为 12 分ABC318. （）记“又放回的抽取
11、 3 张卡片，恰有两次取到偶数的卡片”为事件 .A由题设知，每次取到的卡片上的数字为偶数的概率为 ，25则， 6 分236()155PACNMC1 B1A1BACzyx6（） 可能的取值为 1,2,3,4，且X, , 2(1)5P32()5410, 341()3PX所以 的分布列是12 分231()1425050EX19.（）因为当 时，n1nnaS所以 ，即 2 分21nnS112nn由题设知， ，又 ，0()10Sa12nS所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 4 分n从而 ，故 6 分12()nnS1nS（）由（）知， 1nS设 ，则12()()nFn10 分1()( 2)23(1
12、)3nSf n21()3n所以， 在 上单调递增， 的最小值为 ，()Fn*NF1F又 恒成立的充要条件是 ，kmink1 2 3 4501 10 分7故， 12 分max23k20（）当 时， 12()3fxaxb因为函数图像在点 处的切线方程为 , 1620y所以切点坐标为 ，2 分2并且 解得 5 分()841,6.fab1,0.ab（）由（）得32(),()ln.xfc根据条件知， 的横坐标互为相反数，不妨设 ，7 分,AB(,)(,)0AtfBtft若 ，则 ，由 ，得 ,01t3()ftt09OB所以 ，即 ，此方程无解9 分23220421t若 ，则 由于 的中点 在 轴上，且
13、，t()lnftctAMy0AOB所以点 不可能在 轴上，即 同理由 得 ，Bx0232()lnttct所以 11 分1()lnct由于函数 的值域是 ，(1)()lgtt0,所以实数 的取值范围是 13 分c0,21（）设椭圆 C 的左焦点为 F, 则四边形 MFNF 为平行四边形 , 即 242aMFNF2a又 ， 从而3ce6cbc故椭圆 C 的方程为 -4 分218xy（） lMN 2lOMk8设直线 l 方程为： 12yxm联立方程组 得：218xy2240x由 得 -6 分22440()mm设 、 ， 1(,)Axy2,Bxy则 ， 2214 121212()()Oxyxmx22121554()()AOB 为钝角， 且0OAB即 且 . 得 且 12 分250()m2m0故 m 的取值范围是 -9 分20(,)(,)设直线 的斜率分别为 ，则,MAB1k121212 1xmxykx1212(4)x122(4)mx2(4)10m所以直线 的倾斜角互补，,MAB故，直线 与 轴围成的三角形总是等腰三角形 -14 分x
