1、重庆科技学院毕业设计（论文）题 目 高精度数值积分公式的构造及其应用 学 院 专业班级 指导教师 职称 讲师 评阅教师 职称 年 月 日注 意 事 项 1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300 字左右） 、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论） 、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于 1 万字（不包括图纸、程序清单等） ，文科类论文正文字数不少于 1.2 万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原
2、文（复印件） 。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用 A4 单面打印，论文 50 页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明 本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师
3、的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日重庆科技学院本科生毕业设计 摘要I摘要求 解 函 数 在 区 间 上 的 定 积 分 时 ， 如 果 被 积 函 数 在()fx,ab()bafxd()fx区 间 上 原 函 数 很 难 用 初 等 函 数 表 达 ， 我 们 就 不 能 够 借
4、助 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 来,ab计 算 此 定 积 分 。 另 外 ， 许 多 实 际 问 题 中 的 被 积 函 数 往 往 是 列 表 函 数 或()bafxd ()fx其 他 形 式 的 非 连 续 函 数 ， 显 然 其原函数没有意义，所以对 这 类 函 数 的 积 分 ， 也 不 能用 经 典 的 不 定 积 分 方 法 求 解 。 因 此 ， 数 值 积 分 的 理 论 与 方 法 一 直 是 计 算 数 学 研 究 的 基本 课 题 。本文首先总结了数值积分的基本思想和几类常用的数值积分方法，并且给出了数值积分稳定的一般性条件。接着，我们基于文献10提出了一个改进的
5、三点高斯公式，通过理论分析，此公式具有 7 次代数精度。最后，利用一个数值算例验证了我们提出公式相比文献10的两点高斯公式无论是在代数精度还是在数值精度方面都有较大提高。并将该公式应用到 2010 年数学建模 A 题，取得了比较好的结果。关键词: 数值积分方法 三点高斯公式 代数精度重庆科技学院本科生毕业设计 ABSTRACTIIABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral computation. W
6、e cannot calculate the definite integral ()bafxdby using Newton-Leibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral，its primary function is obviously unmeaningful; it cann
7、ot use the indefinite integral method to solve. Therefore, the theory and method of numerical integration is always the computational mathematics basic topic.This paper first summarizes the basic ideas of numerical integration and some common numerical integration formates, in addition, represents t
8、he general stability condition of numerical integration. Next, we propose an improvement two-point gaussian formula based on the literature 10. It has seven-time algebraic precision essentially. Finally, the experimental results are represented, which indicate that our numerical format is superior i
9、n algebraic precision and numerical precision compared to the three-point Gaussian formula in 10 and some of the other classical numerical format. and the formula is applied to the 2010 mathematical modeling problem A, achieved good results.Keywords: Numerical integral method ；Three-point gauss form
10、ula ；Algebra precision重庆科技学院本科生毕业设计 目录目录摘要 IABSTRACT.II1 绪论.12 数值积分的计算方法.22.1 数值积分的基本思想与评价指标22.2 几种常用数值积分方法52.2.1 插值型求积公式 .52.2.2 Newton-Cotes 公式 62.2.3 复合求积公式 .82.2.4 逐次分半技术与 Romberg 公式 .92.2.5 Gauss 型求积公式 102.2.6 Gauss-Legendre 求积公式 132.2.7 Gauss-Chebyshev 求积公式 143 改进三点 Gauss 公式.163.1 改进三点 Gauss 公
11、式的介绍.163.2 数值算例173.3 2010 年数学建模 A 题求解.184 结束语28参考文献29致谢30附录31重庆科技学院本科生毕业设计 1 绪论11 绪论数值积分是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的加权平均近似值代替定积分的值。数值积分是计算方法或数值分析课程中非常重要的教学内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法。我们知道计算定积分是采用牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式： ()()bafxdFba但由于其适用范围有限，不能普遍适用，因此有其局限性。所有说牛顿莱布尼兹公式不是万能的，而数值积分公式却具备这种良好的性质。只要数值积分构造
12、得当，就能很好的计算出某个定积分的近似值。以下罗列出牛顿莱布尼兹公式不适用的三种情况：(1) 的解析式没有给出，只给出了 的一些离散点。xf xf(2) 的原函数不能用初等函数表示，如：。dex10102sin，(3)原函数表达式相当复杂，计算十分不便。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如牛顿、欧拉、高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。因此，数值积分的理论与方法还是其他学科的理论依据。由于数值积分是求解定积分近似值的数值方
13、法，所以它的意义在于能够求出定积分的近似值。而定积分又具有广泛应用，它几乎是所有课程的公共基础课。以下列举了它的一部分应用：1、 计算图形面积、曲线弧长、立体图像体积。2、 在力学中的应用，计算力做的功、位移、能量等作用。3、 在电学中的应用，计算场强、电势差、电压等作用。4、 利用定积分证明不等式。由于定积分的应用广泛，作用巨大，而高精度数值积分是计算定积分近似值的良好数值方法。由此可以看出构造高精度数值积分公式是十分必要的。由于高精度数值积分具有计算结果准确、代数精度高、使用方便、稳定性好等优点。因此，探讨高精度数值积分的构造及其应用具有明显的实际意义。重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值
14、积分的计算方法 22 数值积分的计算方法2.1 数值积分的基本思想与评价指标 1对于数值积分法的思想来源于定积分的定义，即 01()lim()nbkafxdfx其中 ，一般的提法是:用 在点 处的函数值maxk01naxb的线性组合()0,1)kfn 01 0()()()()nkIfAfxfAff作为积分 的近似值，即()bafd(2.1)0()()()nbkaIffxdfx并称此为数值求积公式，也称为机械求积公式。形如： ()()nRfIf为求积公式(2.1)的余项或误差， 及 分别称为求积公式(2.1)的求积kx0,12,A节点及求积系数，这里求积系数 只与积分区间 有关，而与,ab无关。
15、()fx为保证机械求积公式的精度, 自然希望它对尽可能多的简单函数是准确成立的，如果要求它对一切不超过 次多项式都准确成立, 而对 次多项式不一定准确成立。n1n则得到关于系数 的 阶线性方程组：kA101 2101nnnnnAAbaxxbaAA 由于系数行列式为范德蒙德行列式,其值不为零,则解 是唯一确定的。k定义 1 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于m次多项式不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度。m定理 1 任意给定 个节点 ，如果 是次数不超过 的多项式，那1n01,nx ()fxn么一定存在常数 ，使求积公式(2.1)精确成立 ，即：(0,)kA 2
16、.0()bkafdAf重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 3证明 设 是 关于节点 的 次 Lagrange 插值多项式, 即：()nPxf01,nx 0()()()()nkknPrlxfrx其中 是 Lagrange 基函数， ，(),)(kklxx 0()nkkx是 Lagrange 插值余项。于是：nr 0()()()nbbbkknaaafdlxfdrx不妨令：(2.2)(),1)bkaAl则有： 0()()()nb bkna afxdfxrdx因为 是次数不超过 的多项式，所以 ，这意味着 ，于是()fxnP0nr，故：0bnard.0()()nbkafxdAfx这个定
17、理告诉我们，具有一定代数精度的求积公式是存在的。定义 2 如果 属于区间 ，那么称：01,nx ,0()()nbkafxdfx为插值型求积公式，其中求积系数 由(2.2)决定。,1kA定理 2 形如(2.1)的求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是它是插值型n的。证明 充分性上面已证. 现在来证必要性. 设求积公式为：(2.3) 0()()nbkafxdAfx的代数精度 . 因为 Lagrange 基函数 且有性质：dn,1)jnlPjn()1jklk所以 0()()(0,1)nbj kjjalxdAlxn 故求积公式(2.3)是插值型求积公式。定义 3 在求积公式中，若：重庆科技学院本科
18、生毕业设计 2 数值积分的计算方法 40limnbkahAfxfdx其中 ，则称求积公式(2.1)是收敛的。11max0iinh在求积公式(2.1)中，由于计算 可能产生误差 ，实际得到 ，即kfxkkf。记：kkff)( nk nkknkn fAfIfAfI00)(,)(如果对任给小正数 ，只要误差 充分小就有：0()()nnnkkIfffxf它表明求积公式是稳定的，由此给出：定义 4 对任给 ，只要 ，就有：0, ),.10()(nffkk nnI则称求积公式(2.1)是稳定的。定义表明只要计算被积函数 的误差 充分小，则 的误差限就可任意小，()fxk()nIf则求积公式(2.1)就是稳
19、定的。定理 3 若求积公式的系数 ，则求积公式是稳定的。0,1.)kAn证明 对任给 ，若取 ， 对(k=0,1,n)都要求 ，则有0ba()kfxf00()()nnnkkkkkIfffxfAfxAba故求积公式是稳定的。证毕。数值积分就是将求积分 转化为求 ，这样()()baIffxd0()()nknIffxIf不管被积函数 多么复杂，它都能在计算机上机械实现。把(2.1)式称为机械求积公()fx式， 为求积节点， 为求积系数，建立求积公式有两种途径，一是利用 的插值kxkA ()fx多项式积分得到，二是根据代数精确度概念，通过解方程得到 及 。特别当节点kA给定时，方程是(2.1)关于 的
20、线性方程组，它是容易求解的。求积公k (0,1.)kn式收敛性简单的说就是当 时，和式 收敛于积分值 。而稳定性是研究n(If()If重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 5的误差积累，即当计算 有误差 时，只要误差 充分小，则 误差也()nIf ()kfxkk()nIf任意小，这就是稳定的。定理 3 表明只要求积公式(2.1)的系数 ，则0,1.A求积公式就是稳定的。2.2 几种常用数值积分方法2.2.1 插值型求积公式 3在 上,用以 (k=0,1,n)为节点的 次 Lagrange 插值多项式 作为abkxn()nLx的逼近函数,即可得到插值型求积公式:()fx 0()()
21、()bbbnkaaafdLxfxld即 0()()nbkafxdAfx其中 0111()()()()(bb kknkaakk kxAlxd d 这里插值型积分公式至少具有 次代数精度,当 时公式是稳定的，且求积系数n0k由插值基函数 积分得到，它与 无关。如果求积公式中的系数由插值基函数k()klx()fx积分给出，则称 为插值求积公式。此时可由插值余项得到：()lx0bkafdA (1)10()()()()!nnbnk nafRfxfxxd称为插值求积公式余项，这里 。ab，当 =1 时， ，此时n01,xa1()()()xxaLffbab可得到：， 02baxAd12baxAd于是有： (
22、)()()baIffxf称为梯形公式。梯形公式的余项为：.1()()(),(,)2bafRfxbdxa重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 6梯形积分公式具有1次代数精度,且 (k=0,1)，说明梯形公式是稳定的。根据参考0kA文献18可知：若求积公式的代数精度为 ,则求积公式余项的表达式为：m(1)0()().nb mkaRffxdfxKf其中 为不依赖 的待定参数， 。K()fx,2.2.2 Newton-Cotes 公式 4设将积分区间 划分为 等分，步长 ,令 ，选取等距节点,abn()bahnxth,则Lagrange插值基函数为：,(01.)kxah0, 0,( ,(
23、0,12,)nnjkjkj kjxtl jn求积系数 可表示为：kA0,(1)(),(0,12,)!nknbka jkjhlxdtdjn令： 0,(1)()!nknnkjkjACtdba称 为Cotes系数，则求积公式可化为：nkC(1)0 0()()(),(,)!nnnb bk ja akffxdfxxdab那么牛顿-柯特斯公式可表示为：0()()nnkIbaCfx（2.4）若令 ,可得出 . 记：()1fx01nkC(1)0()()!nnbn jajfRfxd（2.5）称(2.5)为Newton-Cotes公式的截断误差。Cotes系数 与被积函数和积分区间都无()nkC关,只要给出区间等
24、分数 即可求出。n下表2.1列出柯特斯系数表开头的一部分（具体程序见附件程序一）。重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 7表2.1 柯特斯系数kn 0 1 2 3 4 5 6 7 81 22 6463 83814 7901452457905 286126186 14035928035035407 976482967128398 2108319764355248710从表2.1中看到当 时，柯特斯系数 出现负值，于是有：n()nkC001nk特别地，假定 ，且 ，则有：)()knkfxfC()kfxf()0()()0()(nnnkknkkkknkICffxfC它表明初始数据误差将会
25、引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 得牛顿-柯特8n斯公式是不可用的。定理4 当阶 为偶数时,对应的Newton-Cotes求积公式（2.4）的代数精度至少有n重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 8。1n证明 我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零即可。n 1()nfx由余项公式（2.5），由于这里 从而有(1)()!,nfx0bjajRdx引进变换 ，并注意到 ，有：xathjxh20()njft若 为偶数，则 为整数，再令 ，进一步有：n2ntu20(njRfhujd据此可以断定 ，因为被积函数0Rf/20/()()nnj jHuj是个奇函数。证毕。
26、下面我们给出一些常见的Newton-Cotes公式及其余项:1、令 , 即得梯形公式n110 0(),22CtdCtd.()baafxfb当 时,2()fxCab.3(),(,)12fRh2、令 , 即得Simpson公式n.()()4)(6baaabfxdfff当 时,4()fxC5(4)(),(,)90hRff3、令 , 即得Cotes公式n.01234()7()32()()()7()9baafxdfxffxffx当 时，6(),fxC.7(6)8(),(,)45Rfhfab2.2.3 复合求积公式 5由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近重庆科技学院本科
27、生毕业设计 2 数值积分的计算方法 9时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge现象。如时,Newton-Cotes公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段7n插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的求积公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复合的基本思想。常用的复合公式有:1、复合梯形公式 ：6将区间 划分为 n等份，分点 ,k=0,1,n在每个子区间,ab,kbaxahn(k=0,1,n-1)上采用梯形公式，则得1,kx 110()()()2nbkknakIfdffxRf记 110 1(
28、)()2()2nkk kkhhTfxffaffb 当 时，根据定积分定义可知：(),fxCab1010limli()()()nnbnkkahhffxfxd故上述复合梯形公式是收敛的，且它的求积系数 也是稳定的。0,1.Ain2()(,)TbaRfhfb2、复合Simpson公式 ：7 1221()()4()()3mmbmkka kkfxdSffxfxf.(),80bahRab2.2.4 逐次分半技术与 Romberg 公式 8如何确定适当的 使得近似值与真值之差在允许范围内,一般来说是比较困难的。n而逐次分半技术是在求积过程中根据精度的要求,自动确定 的选择是否满足精度要求,以n二分后前后两次
29、之差来估计误差,这样既缩小了步长,又能保留原有的计算结果,减少计算量。对于复合梯形求积公式，若原来将区间分成 n等分。现将每个小区间对半划分成更小的区间，在每个区间上应用梯形公式。容易推导出以下公式： 12/20()nkhTfx其中：.1/21()kkx由复合梯形公式的余项知：重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 10212 2()(1nbaITfn假设 变化不大，由此得到近似关系式： ，容易验证：()fx ()3nnIT222141()3nnST同理可得到：,265nnCS.413nR上述公式称为Romberg公式. Romberg公式的加速效果是极其显著的,在相同精度要求下,
30、计算量较小。2.2.5 Gauss 型求积公式 1为进一步提高求积公式的代数精度,可通过适当选择插值节点和求积系数,使得代数精度最高达到 。把求积节点和求积系数视为同等参数求解，既可利用方程组得21n到,也可借助正交多项式的零点来确定。一般可设 个节点的求积公式为：n. (2.6)0()()bknaxfdAfxIf其中 为求积系数，不依赖于 , 为求积节点，在式(2.6) 作kAk ,(0,1.)kAn为待定参数。可选择(2.6)使对 精确成立，从而得到关于 ,(),1.2)mfkx的(2n+2)个参数的非线性方程组。例如，当 ， 时，求积公式为：k n(1x0bafxdAf当 =1，得 。当
31、 ，得 于是 ，可得求积()fx0Aba()f 2(),ba02ab公式： ()(bafxdf称为中点求积公式，它的代数精确度为一次。例 当 =1 时，试确定求积分公式 的系数 及节点n101()()()fAfxf 01,A，使它具有最高代数精确度。01,x解 由代数精确度定义，公式对 精确成立，由(2.6)得：23(),fx012013Ax重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 11通过第 4 式减去第 2 式乘 得：20x210()Ax由此得： 。10x用 乘以第 1 式减去第 2 式有：0，100()x用第 3 式减去 乘第 2 式有：0x.102()3A用前一式代入得： 0
32、1x由此得出 与 异号，即 ，从而有 及 .0x11x213x于是可取 ，再由方程组中的第 1 式得 。于是有：3, 01A1()()().3fxdff从例题看到直接解方程组(2.6)计算太复杂， 时一般都不易求解。但若先确2n定求积节点 ，则由(2.6)求出系数 就容易了。下面先证明(2.6)求积公式的代数精kxkA确度最高为 次。若令 ，则 ，21n22210()().()n nfxxx0()()nkIfAfx而.21()()bnaIfd说明(2.6)对 次多项式不精确成立，故它的最高代数精确度为 次.2n 21n定义 5 如果求积公式(2.6)具有 次代数精度，则称其节点 (k=0,1,
33、2n+1)为2nkx高斯点，相应公式(2.6)称为高斯型求积公式。定理 5 插值型求积公式(2.6)的节点 是高斯点的充分必要条件是01.naxxb区间 上以这组节点为零点的多项式：,ab101()(.()n n与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，即：Px1(0bnaPxd（2.7）证明 必要性。设 ，则 ，因此，如果 是高斯()nxH121()nnxH01,.nx点，则求积公式（2.6）对于 精确成立，即有fP1 10()()()bnknkadAPx 因 ，故（2.7）成立。1()0,1.nkx重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 12再证明充分性。 用 除 ，记商为 ，余
34、式为 ，即21()nfxH()xf()Px()qx，其中 ， 。由 （2.7）可得：1()()nfxPq()Pqn()bbaafxdqd（2.8）由于所给求积公式(2.6)是插值型的，它对于 是精确成立的，即nH0()()nbkaqxdAqx再注意到 ，知 ，从而由（2.8）得到：1()0,1.nkxn,1.kf.0()()()nbbkaafxdqxdfx可见求积公式（2.6）对一切次数不超过 的多项式均精确成立。因此，21n为高斯点。证毕。(0,1.)kxn根据此定理可知，高斯型求积公式的节点就是在 上带权 正交多项式的零,ab()x点，这就避免了根据代数精确度定义求解非线性方程组的困难.在
35、给出求积节点后，求积系数 可直接由 的插值多项式求出。而(,.)kx(0,1.)kAn0,1.nx公式(2.6)的余项可通过 的埃米尔特插值多项式得到，设为 ，满足)fx 2121()nHx插值条件:. 2121(),(),(,niiniiHfxf于是有 ()2211) ),)!nnffx ab两端乘权函数 ，并从 到 积分，则得:()ab21()()bnnaIfHxdRf其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故21n2210()()()()!nnbk nafRfIAfxd由于 ，故由积分中值定理得(2.6)的余项为：21()0nx.221()()()!nbn nafxd定理6 若(2.6)
36、为高斯型求积公式，则其求积系数 皆为正。iA证明 考察，0()njkjkxl它是 n次多项式，因而 是2 n次多项式，故高斯求积公式(2.6)对于它能准确成立，()klx即有：重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 13，2200()()nbkikikalxdAlx从而有求积系数 皆为正。证毕。iA推论 高斯求积公式(2.6)是稳定的。利用具有不同权函数的正交多项式, 就能得到不同类型的高斯型求积公式:1、Gauss-Legendre: .10()()nkfxdAfx2、Gauss-Chebyshe： .21 21;cos;()(1)kkkAnn利用上述几种公式,数值积分的近似计算
37、问题已成功获得解决 。42.2.6 Gauss-Legendre 求积公式 17若 ，区间为-1，1的求积公式:()x（2.910()()nkfxdAfx）其中节点 (k=0,1,n)是 Legendre 多项式:kx (1)2111()2(!nnnnPxxd的零点，则（2.9）称为 Gauss-Legendre 求积公式。其中 112)(,nkkk PxlA这里 是最高项系数为 1 的 Legendre 多项式。余项可由(2.9)得到:1()nPx(2)2134(2)3!,(1,)()nnnfRdf（2.10）例如：当 =1 时， ，则 ， ， n221()3)0Px01,x01A，它比 S
38、impson 公式的余项 的绝对值还小，且比(4)135Rff (4)29Rff辛普森公式少算一个函数值。高斯型求积公式（2.9）的节点与系数可见表 2.2。表 2.2 Gauss-Legendre 求积节点与求积系数nkxkA0 0.0000000 2.00000001 0.5773503 1.00000002 0.77459670.00000000.55555560.8888889重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 143 0.86113630.33998100.34785480.65214524 0.90617980.53846930.00000000.23692690.
39、47862870.5688889例 用四点(n=3)的 Gauss 求积公式计算 20()cosIfxd先将区间 变换为 ，令0,21,4xt332 21 0()(cos(1)()(1)cos(1)444kkIfttAtt其中 0423.86,0.98t42375,.65A(准确值 )().6If71.I2.2.7 Gauss-Chebyshev 求积公式 9区间为 ，权函数 的 Gauss 型求积公式，其节点 是 Chebyshev1,21()xkx多项式 的零点，即 ，而 ，1()nTxcos(0,1.)()kknn(0,1.)kAn于是得到120()2cos(11)nkfxkdf（2.1
40、1）称为 Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为：(2)2(1) ,(1)!nnnRff（2.12）这种求积公式可用于计算奇异积分。例 用三点和四点 Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分 ，并估计误12xeId差。解 这里 ，由 Gauss-Chebyshev 求积公式（2.12）可得：(2)(),xnxfefe1201kxnxIde当 =2 时， ，求得：n2cos()(0,)6kxk重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 15012353cos,cos0,cos626xxx代入上式得： 33022()(.741.)3.972Ie估计误差可用余项表达式
41、（2.14），因 ，故(6),xxfefe(6) 4255() .0!2!Rf当 =3 时， ，求得：n1cos0,38kxk012330.975,.64649275(.0.1380.62.39670).462xkIe误差： .377)().512!RffeGauss 型求积公式是 上带权 的求积公式（2.6），它具有最高代数精确度,abx，实际上由于求积系数 及节点 都是待定系数，它共有 个，21nkA(0,.)kn2n可使（2.6）对任何 2n+1 次多项式精确成立，具有 2n+1 次代数精确度的求积公式节点就是 Gauss 点 。得到求积节点 以后，同样可利用（2.6）对(0,.)kx1
42、 kx精确成立，得到关于 的线性方程组：),.mfn(,1.)00().()nbkaknbnkaAdxxAd解此方程组得到的求积公式系数 ，它是稳定的，也是收敛的，具有较高的精度。通常使用的具体公式是 Gauss-Legendre 求积公式 （简称 Gauss 求积公式），5它是区间为 ，权函数为 的公式，其节点系数均可直接由表 2.2 得到，余1,()1x项由表达式（2.10）给出，当 =1 时可得 ，比 （三点）n(4)1()35Rff2nsimpson 公式好，当 n=2 时可得 比 =4（五点）的 Cotes 公式好，(6)2()70f而计算量却减少。另一个 Gauss 型求积公式是
43、Gauss-Chebyshev 求积公式，它由（2.11）给出，它除了精度高，还可计算反常积分。重庆科技学院本科生毕业设计 3 改进三点 Gauss 公式 163 改进三点 Gauss 公式3.1 改进三点 Gauss 公式的介绍文献5给出了区间上两点 Gauss 公式：11()()()3fxdff（3.1）考虑积分 ，利用变换 可将区间 变为 ，而积分变为：()bafxd2abxt,ab,1()()bafdgtd其中， ，利用公式(3.1)，可得：()2abgtft11()()22233abababfxdff（3.2）上述两点 Gauss 公式（3.2）具有 3 次代数精度。在不增加节点数目
44、的前提下为使两点 Gauss 公式具有尽可能高的代数精度，文献10提出对两点 Gauss 公式进行如下改进：5(4)11()()22233(baababafxdffA（3.3）当 =1 时 ， 显 然 （3.1）式两边都相等。()fx当 时 ， 左 边 = ， 右 边 = 。2ba2ba当 时 ， 左 边 = ， 右 边 = 。2()fx33当 时 ， 左 边 = ， 右 边 = 。3f4ba4ba当 时 ， 左 边 = ，4()fx5右 边 = 445)()2()2233bababaAba重庆科技学院本科生毕业设计 3 改进三点 Gauss 公式 17令 左 边 =右 边 ， 则 可 解 得 。14320A当 ， 左 边 = ，5()fx6ba右 边 = 555120)()()22433bababa令 左 边 =右 边 ， 则 可 解 得 。故 得 到 至 少 5 次 代 数 精 度 的 改 进 两 点 高 斯 公 式 ： 5(4)11()()()22230233baabababafxdff f 容 易 验 证 公 式 （3.3）恰有 5 次代数精度。根据以上构造思想，本文提出对三点高
