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类型高考复习题~~~~原创4.doc

  • 上传人:hskm5268
  • 文档编号:7215716
  • 上传时间:2019-05-10
  • 格式:DOC
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    高考复习题~~~~原创4.doc
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    1、03. 奇偶性给定函数 f(x),其定义域 D是关于原点对称的点集,(i) 若 f(x)=-f(-x),那么称 f(x)为 D上的奇函数(ii) 若 f(x)=f(-x), 那么称 f(x)为 D上的偶函数性质比较: 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y轴对称奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反由定义显然可知,奇函数也并非都有反函数 由定义显然可知,偶函数不存在反函数奇偶函数特性:1.奇函数 在原点处有定义 1.若 为偶函数,则 ,反之亦然。)(xfy;0)(f)(xf )(xfy2.奇函数的反函数是奇函数。奇偶函数共有的性质:1.函数 的定

    2、义域关于原点对称,则总可以表示成:一个奇函数与一个偶函数的和 )(xfy即 偶偶2)()(2xff2. 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 3. 若 f(x)是定义在数集 D上既奇又偶的函数,则 f(x)=0。1.定义法 复合函数的奇偶性: 两奇复为奇;其余都为偶。 判定方法: 2.图像法 奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶(同偶异奇) 3.性质法14.周期函数1) 设 f(x)是定义在数集 A上的函数.若存在常数 T(0),具有性质:(1) 对于任意的 xA,xTA;(2) 对于任意的 xA,有 f(xT)=f(x)则称 f(x)为数集 A上的周期函数,常数 T叫做 f(x

    3、)的一个周期.2) 周期函数有无穷多个周期,且没有最大的正周期.注: 周期函数末必有最小正周期:狄里赫列函数 D(x)= 1, x 为有理数,0, x 为无理数来说,任何有理数 r都满足 D(x+r)=D(x),即任意有理数 r均为 D(x)的一个周期.显然 D(x)没有最小正周期.3) 由周期函数的定义易知,若 f(x)是周期函数,则 kf(x)+c也是周期函数。4) 若 是以 T为最小正周期的函数,则 )(xf的最小正周期为 。dcc/5) 若 是以 T为周期的周期函数 ,则 )0(T.)()(zkf6) 最小正周期存在定理:设 f(x)是定义在数集 A上的周期函数,且f(x)不是常值函数

    4、.若存在 A,f(x)在点 连0x0x续,则 f(x)存在最小正周期.证明: 假设 f(x)没有最小正周期.设 T是 f(x)的任意一个正周期,则小于 T的正周期必有无限个.由于这些正周期所构成的集合是有界的,故有收敛子列,且存在不同的周期,它们彼此相差可以任意小.由周期的定义可知,若T1,T2 是 f(x)的两个不同的周期,则 T1-T2也是 f(x)的一个周期,故 f(x)有任意小的正周期.因 f(x)在 x0连续,所以对于任意的 0,存在0,当 xA 且x-x0 时,有f(x)-f(x0)对于上述 0,存在 T0(0,),T0 是 f(x)的一个周期.对于任意的 xA,存在整数 n,使得

    5、 x0-x=nT0+r,其中0rT0 于是有(x+nT0)-x0=-r=rT0,所以有f(x)-f(x0)=f(x+nT0)-f(x0),由 的任意性,有 f(x)=f(x0),因此 f(x)在 A上为常值函数,这与已知条件矛盾.证毕7) 复合函数的周期性.定理: 设 f(u)是定义在数集 M上的函数,u=g(x)是定义在数集 A上的周期函数,如果 xA 时有 g(x)M,则复合函数 y=fg(x)是周期函数.定理:若 f(u)是定义在数集 M上的一一对应的函数, u=g(x)以 为最小正周期的周期函数,0T则 y=fg(x)以 为周期。0注:当 u=g(x)是非线性函数,fg(x)未必是周期

    6、函数. 8) 两个周期函数的运算定理:若 f1(x),f2(x)是数集 A上的周期函数,T1,T2 分别为它们的一个周期,且 T1/T2=n/m(n,mN),则 f1(x)+f2(x),f1(x)f2(x)是 A上以 mT1为一个周期的周期函数.证明: 令 T=mT1=nT2,xA,有f1(x+T)+f2(x+T)=f1(x+mT1)+f2(x+nT2)=f1(x)+f2(x)同理可证 f1(x+T)f2(x+T)=f1(x)f2(x)注:上面定理中,T1T2 是有理数这条件是充分不必要条件。例:f1(x)=sinx,其周期 T1=2,f2(x)=c,它的一个周期 T2=1, 显然,T1/T2

    7、=2 是无理数,但 f1(x)+f2(x)仍是周期函数。 注:定理中,若 T1 与 T2 分别是它们的最小正周期,但 T=mT1 未必是 f1(x)+f2(x)与 f1(x)f2(x)的最小正周期。例: f1(x)=f2(x)=sinx 的周期为 2.但f1(x)f2(x)=sin2x的周期为 .f1(x)=sin2x周期为 ,f2(x)=cos2x 周期为 , 但 f1(x)+f2(x)=sin2(x)+cos2x=1,无最小正周期。定理: 设 f1(x)=sin1x,f2(x)=cos2x,10,20,12 则 f1(x)f2(x),f1(x)f2(x)是周期函数的充要条件是 1/2 是有理数。

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