1、第二讲 导数与微分1 重要内容一定义1 导数的定义 0000limlix xfffxff: 若 存在，则 ，其中 0f 000lifuff0,ux变化；ux若 存在，则 ， 0f 2 220 01101limlimx xxx xfeffefegg；sin,1cosgx若 存在，则 ，其中 变0f 00lifuxffx0,uxux化； 若 存在，则 ， 1f00cos1cos1coslimlimx xffffggx。2xge2 约分定义或者yAxo:0Afxf二性质1 存在0f 00ff2 可导 可微 连续 有极限三应用斜率，曲率（半径） ，弧长（弧微分）四设 在 处连续，则 在 处可导 。gx
2、00fxgx00gx特殊： 在 不可导； 在 处可导。0讨论： 在 处可导性思路：讨论 是否为 0。 （ ，则不可fx00fx0fx导）2 题型与例题分析题型一：利用导数定义解题1 已知极限求导数或已知导数求极限；2 讨论分段函数在分界点处的可导性；3 抽象函数 没有给出 的导函数存在，讨论 在 处的可导性，fxfxfx0或求 ；4 涉及 00,fxf例 1：设 f(x)是可导的偶函数，它在 的某邻域内满足0x，求 在 处的切22231sinxfefoyfx1,f线方程。分析： 为奇函数，方程 ，f 1yff。1,f 22xxfefef:221sin1sin1ffffxx解： 2220 0li
3、m3ilimx xfef o即： 1011ff220sinli3xxfefx22 22011sin1sinlim3xxxfeffxfex 13fff切线方程为： 11yx例 2：设 f(x)在 的某邻域内连续，在 处可导，则 在 处 ：0x0xfx0x（A） 可导，且导数为 002f（B） 可导，且导数为 xf（C） 可导，且导数为 00（D） 不可导分析 ：若 ，导数为0fx00limxfx 若 ，设 ，则 的一个邻域使0ff0fx导数为：0 0lixxfx00 000lim2xfffffx设 ，同理可得导数为：-f00f导数为： 故选：B002fxf例 3：设 f(x)在 的某邻域内一阶可
4、导，且 则 ，使得曲0x 0,xfx线 :yf（A） 在 内向上凹0,x（B） 在 内向下凹（C） 在 内 ，在 内0,x:0,x:（D） 在 内 ，在 内分析 ： 0 0 0limlimx xffff，在 内有0,0,0fx故在 内 ；在 内 。故选：D0,xfx0,xf例 4：设 f(x)在 内有一阶连续导数。且 证明：1,0,fx 对于 ， 。 唯一的 ，使,xx1。0fff 。01lim2x证明：由拉氏中值定理：，使 。, 00fxfxfxfx连续，且fxf或者00x单调， 是唯一的。fx 0limxfxff 0 00li lix xfffffxx 20 01limlim2x xfff
5、fff 即有： 011lixff0lix例 5：设 在 内有定义，且 ，,fxg,fyfgyfx。证明： 。 010fx证明： 0 0lim1,lim0u uf gf 令 ， xy022ffgfff， 0f0li1u 00limlimy yfxffxgyfxff001liliy yfgf例 6：设 f(x)有连续的二阶导数，且 ，求曲线 在130lixxfeyfx处的曲率半径。0x分析 ：321yR解： 01limn30 01limn3lim3xfxx xffeex又20lixf,0ff 01li2xff注意条件： 00 f1lilif2fx12m02x 二 阶 连 续 导 数一 阶 导 数
6、存 在题型二：分段函数的导数：例 7：函数 的不可导点为：23sinfxx分析 ：令 ，则 ；30,1， ；x22sifxxx， ；1n1， ；所以不可导点为：x22sifxxx例 8：设 。讨论 在 处的可导性。1sin00fxxfx0解： 。 1 1sicosfx 11sincosxx 100limliinxxfff 当 时， 存在，且为 0；1f11 sincos00xxxf 1100limlisisxxfxx当 时，1,0lm0ff当 时， 在 处连续。f例 9：设 连续。 ，且 。求 ，并讨论fx10xftd0lixfAx在 处的连续性。f解： ， 。 令 。则0fAxtu0010x
7、xudfud又 ；ft00xx当 时，0x 2xffudx 020 0limlilim2xx xffA02 0xffudAx 0 02 200 0limli lim02x xxx xffudfudf A 并讨论 在 处的连续性。例 10：设 在 内有定义， 有 ，当 时，fx,xR12ffx01有 。问： 是否存在？210f分析： ，fxf1,0xx解：当 ， 022112ff x2011xxf 00limli21xxfff x 200lili1xxfff 不存在。fff题型三：利用公式或法则求导。关键：复合求导！与 的区别：fgxfx ;g ;fgxfgx例 11：设 ，求 ， ，sinfx
8、fx 解： 令 ， ， t2iftt2sinfx； coscofxfx 2222s4icsoinf xx fxfxffxf2222 222cos4sincoscoscs4infxx 例 12：设 是抛物线 上任一点 处的曲率半径，xyx,Mxy1是该抛物线上介于点 与 之间的弧长。求s 1,A223ds解： 13 22,4yxx3322 32 32144yx xx12211 14xxxsyddd3214xsd324/461dxxss2 164dxsxx2239ds题型四：高阶导数 求 ，数学归纳法nfx 求 ：A：数学归纳法；B：函数幂级数展开0,nf!01nmmnxx,lnnaxaxeeas
9、isi,2nbxbcoconaxan1!1nnbxb1!lnnnaa例 13： ，求 。 2cos1nxyny解： 121cos2n nxxxx x1cos2nnny1!2nnxx1!2cosn例 14：设 任意阶可导。且 ，求 。fx ,01fxfe0nf解： 2 f fex23 f fxfxe43 4 2fx fe1!nn nfxf e证明：假定 时， 成立，则，k1!kk kfxf e当 时，1nk11 1!kk kfxfxe 2!nfxnfxe假设成立，结论正确。10!nn nf e题型五：讨论方程根的个数，使得f结论：设 在 内有 且 。x,ab0fx00fafb则方程 在 内有唯一
10、实根。0f,例 15：确定方程 的根的个数，并指出范围2xe分析： 。,20xfafea211xe 2xxxfe解： 有 。2 , 20x xaefafae ,2 ， 所以有一个根；01,limx 22240,21,414eaxffeeax有 一 个 根无 根是 根 22 22,41lim4x exfaefax有 一 个 根无 根是 根当 时，有 3 个根： ；24ea,0当 时，有 2 个根：24ea,02;x当 时，有 1 个根： 。2 ,变形 ：已知方程 有两个实根，讨论参数 的取值范围。 20xeaa例 16：设当 时，方程 有唯一实根，求 的取值范围。021kxk分析 ： 230fx
11、fkx分离参数： 3 1kx2 44103f x解： 234413fxkfx ， ， ， 。0,0limxffklimxfk当 时， 无根；23k当 时， 是唯一根；3x 当 且 时，有唯一根。2k0的取值范围是； 或者 。23k0k例 17：设 在 内二阶可导。且 ，fx,fxlim0,xfa。又存在 使得 。问 在 内有几个实lim0xb0x00f根。分析 ：存在 ，使 ，找 ，使 。10x1f20x2f解：存在 ，使 。 2121212112fxfxffxfxfx令 ， ；2limx使 ； ，使 ；10,10f101,x10flixb，使得303fx； 32332fxfffxfxf， 使 ； ，使 ；2limx30,x3020,0假设 有 3 个根。即存在 使 ；0f 12,x13ffxf由罗尔定理： ，使 ； ，使 ；12,xf23,2，使 。这与 矛盾。00fx方程 恰好有 2 个根。0fx
