1、第 11 章 振动与波动第一节 谐振动一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动. 。 本章着重研究机械振动。物体在一定的位置附近作往返运动，称为机械振动。 振动中最简单最基本最有代表性的是简谐振动。 振动的传播就是波。在弹性介质中发生的波动，是依靠弹性介质质点的机械振动而产生和传播的，因而称为机械波，或弹性波。 并不是所有的波都依靠介质传播，光波、无线电波可以在真空中传播，称为电磁波。微观粒子也有波动性，这种波称为实物波或德布罗意波。研究谐振动的意义 在一切振动中，最简单和最基本的振动称为谐振动任何复杂的运动都可以看成是若干谐振
2、动的合成一 .谐振动的基本特征1、弹簧振子 O 点为小球水平方向不受力的位置，称为平衡位置。BO： 弹性力向右，加速度向右，加速；OC： 向左， 向左，减速；CO： 向左， 向左，加速；OB： 向右， 向右，减速。物体在 B、C 之间来回往复运动物体作谐振动的条件 物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力 驱使系统回复到平衡位置 2、弹簧振子的动力学特征 取平衡位置 O 点为坐标原点，水平向右为 x 轴的正方向。 kxf临小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为线性回复力。， ，若令 ，则 ， mafxkfmk临222dtxa，这
3、就是谐振动方程的微分形式02临xdt3、谐振动的运动学特征 谐振动微分方程的解为： )t cos( in )cs(2 2Adtxavt说明： 物体在谐振动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的.1、从受力角度来看 动力学特征 kxf临2、从加速度角度来看 运动学特征 a3、从位移角度来看 运动学特征) cos(tAx说明： 要证明一个物体是否作谐振动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作谐振动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。二、描述谐振动的特征量谐振动方程是 ) cos(tAx1、振幅A 振动物体离开平衡位置的
4、最大位移的绝对值。振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。2、周期 定义：物体作一次完全振动所需的时间，用 T 表示，单位为秒(s) (cos) cos( tAtx临T2频率 定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用 表示，单位为赫兹(Hz)。21T临角频率 定义：物体在 2 秒时间内所作的完全振动的次数，用 表示，单位为弧度/秒(rad.s-1)。2说明 谐振动的基本特性是它的周期性周期、频率或角频率均由振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有角频率。对于弹簧振子 kmTmk2,1,临谐振动的表达式可以表示为 ) 2cos()
5、 cos() cos( tAtAtx3、相位和初相位相位 t 初相位 对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐振动的三个特征量。4、常数 A 和 的确定 )t sin( codtxvtsic0A说明：(1) 一般来说 的取值在 和 (或 0 和 2)之间；(2) 在应用上面的式子求 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由 202vxA临求 A，然后由 sinco0v两者的共同部分求 。 )arct(0xv三 .谐振动的描述 1.解析法：) cos(tAx角频率 由
6、谐振系统确定。 对弹簧振子： mk临顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。例如:一根倔强系数为 k 的轻弹簧,减去一半后,倔强系数是多少?， 1k2振幅 A 和初相 由初始条件(即 t=0 时刻物体的运动状态 )来确定： )t sin covx当 t=0 时， sic0Avino20vxA)arctn(o例 题11-1 一 质 点 沿x 轴 作 谐 振 动 ，周 期T=s, t=0时 ，,mxo2,s/o求 振 动 方 程 。解 ： T4+ 3mtx)32cos(得代 入 ：x =Acos(,1tano202vxA（m ）例 题11-2 有 一 轻 弹 簧 ，当 下 端
7、挂 一 个 质 量m1=80g的 物 体 而 平 衡 时 ，伸 长 量 为4.9cm。用 这 个 弹 簧 和 质量m2=40g的 物 体 组 成 一 弹 簧 振 子 。若 取 平 衡 位 置 为 原点 ，向 上 为x 轴 的 正 方 向 。将m2 从 平 衡 位 置 向 下 拉2cm后 ，给 予 向 上 的 初 速 度 o=10cm/s并 开 始 计 时 ，试 求 振解 ：由 m1g=k x , 得 16/1xg20t=0时, xo=-2cm, o=10cm/s mxo oxot=0=2.06cm20vAoxtan= 0.25t=0时, xo=-2cm, o=10cm/s应 取 ：+所 求 振
8、 动 方 程 为x =2.06cos(20t+3.38)cm把 A=2.06cm, 代 入x =Acos( mxo oxot=02.矢量图解法 旋转矢量法 矢量 OM 绕 O 点以角速度 作逆时针的匀速转动, 端点 M 在 x 轴上的投影点(p 点)的位移：) cos(tAx显然，p 点的运动就是谐振动。 矢量 OM 与 x 轴正方向间的夹角：( t+ ) 相位 , OM 转一圈,就是谐振动的一个周期 T 。 o x例 题11-3 求 谐 振 动 质 点 的 初 相 。(1)t=0时 ，xo=-A, 。(2)t=0时 ，质 点 经 过 平 衡 位置 正 向x 轴 正 方 向 运 动, 则3或
9、(3)t=0时 ， xo=A/2，质 点 正向x 轴 负 方 向 运 动, 则xo =Acos (4)t=0时 ， 质点 正 向x 轴 正 方 向 运 动, 则。A平（ 或 ） 。 20A例 题11-4 一 质 量m=9kg质 点, 在 力 (N)的 作 用 下 沿x 轴 运 动 。当t=0，xo=0; t=1s,=-2m/s, 求 振动 方 程 。解 质 点 受 弹 性 回 复 力 的 作 用 ，故 作 谐 振 动 。由 知要 想 直 接 用 下 述 公 式 求A、是 困 难 的 ：我 们 可 利 用 旋 转 矢 量 先 求 出 初 相 。,T=12s。于 是 ：t=1,最 后 得 ：由t=
10、0, xo=0， 知 ；又 因=-20, 所 以 。例 题11-5 一 质 点 作 谐 振 动 ，T=2s, A=0.12m, t=0时，xo=0.06m, 向x 轴 正 方 向 运 动 ，求 ：(1)振 动 方 程 ；(2)t=0.5s时 的 速 度 和 加 速 度 ；(3)在x=-0.06m,且 向x 轴 负 方 向 运 动 时 刻 的 速 度 和 加速 度;(4)从x=-0.06m,且 向x 轴 负 方 向 运 动 时 刻 回 到 平 衡 位解 (1) x=0.12cos(2) -0.19-1.03(m/s2)t=t=(3)在x=-0.06m,且 向x 轴 负 方 向 运 动 时 刻 的
11、 速 度 和 加ox将 相 位 代 入 得 ：=-0.33(m/s)=0.59(m/s2)。关 键 是 找 出 相 位(4)从x=-0.06m,且 向x 轴 负 方 向 运 动 时 刻 回 到 平 衡 位置 所 需 的 最 短 时 间 ：旋 转 矢 量 转 过 的 角 度 ：旋 转 矢 量 转 动 的 角 速 度 ：旋 转 矢 量 转 动 过 程 所 用 的 时 间 ：这 就 是 谐 振 动 质 点 从x=-0.06m,且 向x 轴 负 方 向 运 动 时刻 回 到 平 衡 位 置 所 需 的 最 短 时 间 。x=0.12cos(3.振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动：x1=A1cos
12、( t+1) x2=A2cos( t+2)0, 振 动x2 落 后x1( ；=0, 振 动x2 和x1 同 相 ；=, 振 动x2 和x1 反 相 。相例 ： x =Acos( =- Asin( Acos(a =- 2Acos( 2Acos(=- 超 前x ； a 超 前 ； a与 x反 相 。例 题11-6 一 光 滑 斜 面 上 的 弹 簧 振 子 ，已 知m , k , 证明 它 作 谐 振 动 ，并 求 出 周 期 。解 (1)找 出 平 衡 位 置:(2)将 物 体m对 平 衡 位 置 位 移x ；(3)沿 斜 面 方 向 应 用 牛 二 定 律 ：mgsin比 较 ： 是 谐 振
13、动 。(T与 倾 角 无 关ox建 立 坐 标 ；mgsin，xokm mx四、 谐振动的能量 x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )振动势能： )(cos212tkAxEp振动动能： )(in2tmk对弹簧振子(任何一个简谐振动也都可以等效为一个弹簧振子) ，有 k=m2 . 总能： =恒量21AEpk1.由上面可以看出,谐振系统的动能和势能都随时间 t 作周期性的变化；而且, 动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的总机械能守恒。2.平均势能： EkAdtETpP21410平均动能： tkk03.振动势能与弹性势能不一定相
14、同。 振动势能： 其中 x 是对平衡位置的位移。,21kEp弹性势能： 其中 x 是弹簧的伸长量。 ,p例11-8 一 长 度 为l 的 无 弹 性 细线 ，一 端 被 固 定 在A点 ，另 一 端挂 一 质 量 为m、体 积 很 小 的 物体 。静 止 时 ，细 线 沿 竖 直 方 向 ，物 体 处 于 点O，这 是 振 动 系 统的 平 衡 位 置 。若 将 物 体 移 离 平衡 位 置 ，使 细 线 与 竖 直 方 向 夹一 小 角 度 ，然 后 将 物 体 由 静 止释 放 ，物 体 就 在 平 衡 位 置 附 近往 返 摆 动 起 来 ，这 种 装 置 称 为单 摆 。证 明 单 摆
15、 的 振 动 是 谐 振当 偏 角很 小 时 ， sin ，式 （1）可 写 为mgdtl2（2）即 0l 02dt其 中 l2（3）单 摆 的 振 动 方 程 （3）与 弹 簧 振子 的 振 动 方 程 完 全 相 似)cos(0t单 摆 系 统 的 机 械 能 包 括 两 部 分 ，一 部 分 是 物 体 的 动 能)(sin21)(2120tmldtlmvEk另 一 部 分 是 系 统 的 势 能 co1glhEp将cos 进 行 级 数 展 开 ,!64!21cos由 于 很 小 ，我 们 只取 前 两 项)(cos20tmgllEp可见，单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数单摆系统
16、的总能量为： 20201mlglEpk上式说明，尽管在单摆系统的谐振动过程中，系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量式恒定不变的，并与振幅的平方成正比。第二节 振动的合成和分解一、两个同方向同频率谐振动的合成 分振动：x 1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )合振动： x= x1+x2=A1cos( t+1 )+ A2cos( t+2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x= x1+x2= Acos( t+ )可见， (1) 合振动仍是同频率的谐振动。(2)合振动的振幅和初相, 用旋转矢量容易求得。2112121cossiniarctn2)cos(AAA临
17、 临临二、两个同方向不同频率的谐振动的合成 分振动： x1 =Acos(1 t+ ) x2 =Acos(2t+ )， 且 1 与 2 相差很小 。 合振动：)cos(cos21 ttA由于 1 与 2 相差很小,故 1 -2 比 1 +2 小得多; 即比 的周期长得多，所以，合振动可近似看作是一个振幅tcost缓慢变化的谐振动 拍:),2cos(1tAx tAo2cs1显然，拍频 (振幅 Ao 的变化频率)为 拍 =2 - 1 三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成 x =Acos( t+ ) y =Bcos( t+ )从上两式中消去 t, 就得到合振动的轨迹方程为 )(sin)cos(222
18、ABxyx在一般情况下,这是一个椭圆方程。（1）当 - =0 时，上式为一直线： （2）当 - = 时， 上式也为一直线：（3）当 - =/2 时，上式仍为一椭圆：，合振动不再是谐振动。若 A=B,椭圆变为圆12ByAx（4）如果 - 不为上述数值，那么合振动的轨迹为边长分别为 2A(x 方向）和2B（ y 方向）的矩形范围内的任意确定的椭圆。四、两个相互垂直的不同频率谐振动的合成 合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论情况 1：两个分振动的频率相差很小视为同频率的合成：两个振动的相位差缓慢地变化，质点运动的轨道循环变化。02情况 2：两个分振动的频率相差较大，且有简单整数比关系合振动的
19、轨道是周期性的有一定规则的稳定的闭合曲线。称为利萨如图形。 应用 测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的利萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。第三节 阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动1、阻尼振动的概念 振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。 2、阻尼振动的运动方程 振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反。 dtxvf弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： ，固有频率 ，阻尼常数kxdttxm2 mk20m2202tt3、讨论 情况 1：欠阻尼 ： 20， )cos()(0teAtxt 20阻力使周期增
20、大。这种情况称为欠阻尼。由初始条件决定 A0 和初相位 ,设0)(,)(, vxt则有： cossinco00v其中： ， 220)(xvA0tanxv情况 2：过阻尼 20tteCtx)(2120 )(情况 3：临界阻尼 20teCtx 21)()称之为临界阻尼情况。 应用在天平调衡中。 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。 20t欠阻尼 )(txt过阻尼 )(tx无 振 动 发 生 t临界阻尼 )(x二、受迫振动在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。该外力称为驱动力。系统受力：弹性力 ， 阻尼力 kxdtx周期性驱动力 Ffcos振动方程可写为：ttdxktdxms2令： ,otm
21、Fxtdtxcos220该微分方程的解为 )s()cos(2 tAtAext上式表明,受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后, 这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为)cos(tx可以看出,此等幅振动的频率 就是驱动力的频率, 其振幅和初相为224)(/omFA2tano可以看出， A、 不仅 与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。三、共振受迫振动的振幅与驱动力的频率有关,当驱动力频率达某一值时,振幅达最大值。用求极值的方法可以求出使振幅达到极大值的角频率为2or相应的最大振幅为 2
22、/ormFA在弱阻尼(即 o)的情况下,由式可以看出,当 r=o , 即驱动力频率等于振动系统的固有频率时, 振幅达到最大值。我们把这种振幅达到最大值的现象叫做共振。 共振的危害及其应用：举例危害：应用： 钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； 收音机利用电磁共振进行选台； 核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。 防止 改变系统的固有频率或外力的频率； 破坏外力的周期性； 增大系统的阻尼； 对精密仪器使用减振台。第五节 机械波波动 振动状态的传播过程。 机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波,如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为电磁波,如无线电波、光波、X
23、射线等。波动主要讨论机械波。重点：行波方程。一、机械波的产生和传播产生机械波的条件：波源 产生机械振动；弹性介质 传播振动状态。 在弹性介质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。当介质中的一个质点开始振动后,在弹性力的作用下,就会带动邻近质点振动, 邻近质点又带动更远质点振动。这样依次带动,就把振动由近及远地传播出去,形成了波动。 u值得注意的是： 波动是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播 介质中的质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。 容易看出, 沿着波的传播方向, 振动是依次落后的。 P 点比 o 点时间落后： ， (这里：u 是波速) xtP 点比 o 点位相落后： ，
24、 )2:T临波的分类：二、波动的描述 1. 波面和波线：都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念。波线(波射线) 波的传播方向。 波面(波阵面) 波动过程中，振动相位相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前。平面波-波面为平面的波动。本章只讨论这种波。球面波 波面为球面的波动。在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。 2、 波速 u单位时间内振动传播的距离，也就是波面向前推进的速率。波速完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。如液体、气体中的纵波，波速： 固体中的横波，波速：柔绳中的横波，波速： 3、波长反映波动的空间周期性 定义：同一波线上两个相邻的、相位差为 2p 的振动质点之间的距离，
25、或沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离叫波长。说明：波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度；横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离纵波：相邻两个密部中心或疏部中心之间的距离4、周期和频率 反映波动的时间周期性 定义：周期：一个完整的波（即一个波长的波）通过波线上某点所需要的时间，叫周期，用 T 表示。频率：周期的倒数叫做频率，用 v 表示： T/1临说明： 由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离，因此 波的周期等于波源振动的周期； 波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。周期 T 反映波的时间周期性，而波长 反映的是波的空间周期性。显然，周期 T 也就是波传播一个波长距离所需的
26、时间。u三、平面简谐波 1、平面简谐波的概念 波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为简谐波。任意一种复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成。波面为平面的简谐波称为平面简谐波。 2、平面简谐波的波函数 波源 tAycos0X 轴上任一点 P(x)，时间上要落后 =x/u，P 处振动的相位要比 O 处的相位落后 uxtAtAyP 临临coscos平面简谐波的波函数： ， ty临临， 为波数，2 米内所包含的完整波的数目。kxtAy临临cos/2， T临临2xtAy临临cos若考虑 O 处质点的振动初相位：临临uxtAycos3、波动中质点振动的速度和加
27、速度 uxtAtyattvcos in 224、沿 X 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 uxxtAyTtkyuxtA临临临临2cos) cs(o5、波函数的物理意义1） 、 x 一定，则位移仅是时间的函数，对于 x=x1 12cosxty质点的振动方程2） 、 t 一定，则位移仅是坐标的函数，对于 t=t1 xtAy2cos1对于不同的点 2211 , xtxt)() () ( 1221212 xtt 2112x3） 、 x 和 t 都变化波函数表示波线上所有质点在不同时刻的位移。(x,t)与（x+ x,t+t)处的相位相同 )()(2xtutux结论：波的传播是相位的传播（行波）6、波动方
28、程将平面简谐波的波函数分别对时间和空间求二阶偏微商 uxtAtytxsini2222临得：， u 为波速。22xyt这就是波动方程的一般形式四、波的能量1、波动能量的传播动能：波传播到介质中的某个质点上，这个质点将发生振动，因而具有了动能。 以平面简谐波为例讨论：uxtAycostdtvinuxtAdVvmEk 22sin1势能：介质形变具有势能设在时刻 t 该体积元正在被拉伸，两端面 a 和 b 的坐标分别为 y 和 y+dy，则体积元ab 的实际伸长量为 dy。由于形变而产生的弹性回复力为：， dxyYSFxYSk22211dxyVdyEp， uxtAdxysinYxtVEp2si21体积
29、元的总能量 ：uxtAddpk 2sin临结论： 介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性变化。 沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获得能量，又不断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过程，从介质的一部分传给另一部分。2、波的能量密度 定义：单位体积介质中的能量就是能量密度.uxtAdVEw2sin 临平均能量密度 一个周期内的能量密度的平均值20 1si AdtxT临该公式虽然是从平面简谐纵波在直棒中的传播导出的，但是对于所有机械波都是适用的。3、波的能流与能流密度1） 、能流定义：单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。 uxtAuSwP2si
30、n 临平均能流： S2 1 临2） 、平均能流密度 描述能流的空间分布和方向 定义：通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。单位：Wm -2 uAwSpI21 第七节 波的衍射和波的干涉一、惠更斯原理和波的衍射谐振动方程： )cos(tAy波动方程： ),(uxttx波在均匀（各向同性）介质中的传播速度 u、 波长 l、频率 w、以及能量 E 等。如果波在非均匀介质中传播，或者传播中遇到障碍物的时候，会是怎样的传播方式？1. 惠更斯（Huygens）原理某一时刻，同一波面上的各点都可以看做是产生子波的波源，其后任一时刻，这些子波源发出的波面的包络面就是新的波面。平波波平 utS1+2球 O 1R2tu2. 波的衍射波在传播的过程中遇到障碍物时，其传播方向会绕过障碍物，在障碍物后继续传播 波的衍射。 水波的衍射实验是不是绕过障碍物的波是均匀充满障碍物后面的整个区间的呢？衍射明显与否：缝宽的大小和波长有关 缝宽比波长大的多，衍射不明显 缝宽与波长差不多，衍射比较明显 缝宽小于波长，衍射更明显 隔着山峰，你可以听见人的喊声，但是看不见人。 “但闻其声，不见其人。 ” 声波波长长：分米-米级 光波波长短：亚微米级：0.4-0.75m 3. 波的反射与折射（1 ）反射
