评十年高考 看一个题根.doc

1、1.评十年高考 看一个题根 从“阿波罗尼斯圆” 说起几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了 10 年以上。感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：题成海，题成河，说到题根并不多。教材深处留心找，找到题根书变薄。考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。那么，到底什么是题根？ 一、题根案例【根题】 （人教 A 版必修 2，p1

2、24，B 组，3 题。 ）已知点 M 与两个定点 O（0，0）,A（3，0）的距离比为 ，求点 M 的轨迹方程 .12【解析】如图 1，设动点 ，连结 MO,MA,有：,xy，化简得：222MAx，也就是：30xy2141xy方程（1）即为所求点 M 的轨迹方程，它表示以 C（-1 ， 0）为圆心，2 为半径的圆。评注：1.根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上，数学人不仅能 “看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根” ，可以 “长”出许多好题。2.阿波罗尼斯（Apolloning, 约公元前 260170） ，

3、古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有圆锥曲线论和平面轨迹等书。二、理论基础将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点 到定点,Pxy xyOA30(,)Mxy(,)C10(-,)图 1的距离之比为定值 .（c， 为正数） ，求点 的轨迹方程 .（本题12()()Fc0， 、 ， ()Pxy,实为 2003 年北京春季高考题）【解析】依题意，由距离公式： ，化简得：22)()( ycxycx22 2(1)()101xy【讨论】方程的图形是什么？当 =1 时，得 x = 0 ,也就是线段 的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）12F；当 1 时，方程（ 1）变形得： ，化成标准形式

4、：22 01cxyxc，这是以 为圆心，且半222cxcy 21,径 21cr的圆。 （定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆” ） 。【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：1.同一个方程，根据参数 的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；2.当 1 时，不妨设 c=1,可得： 2211xy注意到： ，可得： ，222122说明 这 3 数之间存在勾股关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；2,3.在方程（1 ）中，如 圆心 在 y 轴右边，如 令 ，1,2,0c1,代入（1 ）得： 2222221131xyxy方程（3）与 具有类似的形式，只不过由于 ，圆心在 y

5、 轴左边。2（ ）21.0这两个方程表示的图形关于 y 轴对称。例如分别取 时，分别代入方程,（2 ）与（3 ） ，得：和 ，它们的图形关于 y 轴（阿波罗直线）22543xy22543xy对称。所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；4.对于方程（1） ，只要 1，它都表示圆，当 无限接近于 1 乃至等于 1 时，其图形最终成为直线，这又是曲线由量变到质变的运动美。三、考场精彩【题 1】 （2013.江苏卷，17 题（2） ）如图 2，在平面直角坐标系 中，点 ，xOy03A,直线 .设圆 C 的半径为 1，圆心在 上. 若圆 上存在点 ，使 ，24lyx： lCM2求圆心 的横坐标

6、的取值范围。a【解析】点 C 在直线 上，故设 半径 ，圆 C 的方24lyx： ,24,a1r程是：2241xay满足 的轨迹正是阿波罗尼斯圆 D，由MAO，2 2222314xy这里圆心为 D（0，-1）,半径 2r两圆有公共点的条件是： 112,Cr即 ，解得 2159a05a评注：图 2 可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当 时，0axyA03(,)O-42MCy2x4=-D01(,-)图 2圆 C 为 与所求圆 D 相切；当 时，圆 C 为 ,2241xy125a221415xy也与所求圆 D 相切。这样，答案 的正确性也就不言而喻了0【题 2】 2012苏南三校联考,15 题 已

7、知点 A(3,0) ，B(3,0)，动点 P 满足| PA|2|PB|.(1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；(2)若点 Q 在直线 l1：xy30 上，直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C只有一个公共点 M，求| QM|的最小值，并求此时直线 l2 的方程【解析】 （1）设点 P 的坐标为(x，y)，则 2 ，化简可得(x 3)2 y2 (x 3)2 y2(x5) 2y 2 16 即为所求(2)如图 3，曲线 C 是以点(5,0)为圆心，4 为半径的圆，则直线 l2 是此圆的切线，连接 CQ，则CQM 必为直角三角形，|QM| ，当 CQl 1 时，| CQ|取最小值.|CQ|2

8、 |CM|2 |CQ|2 16由点线距离公式得： ，此时|QM|的最小值为 4，534O32 16此时CQM 为等腰直角三角形，故这样的直线 l2 有两条，即 l2 的方程是 x1 或y4.评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有 ,32c代入公式，立即得到：(x5) 2 y21622211cxcy【题 3】 （2008.江苏卷，13 题）满足条件 的ABC 的面积的最大BCA,值是 【解析】显然这又是一例“阿波罗圆” ，建立如图 4 的直角坐标系，因为有 ，代入阿波罗圆公式得： 。设圆1,2c238xy心为 M，显然当 CMx 轴时，ABC 面积最大,此时 ,CM.

9、max2ABCS评注：既然ABC 存在，说明其轨迹不包括与 x 轴的两个交点 P,Q，现在问：P,Q 这两点究竟有什么性质？图 3图 4xyABOCMP QxyO(-,)30 B30(,)C50(,)Py4=-x1=xy30+=QMA(,)xy由于 ， 为ACB 的内角平分线；同理， 为ACB 的外角平分2PACBPCQ线。这就是说，P,Q 分别是线段 AB 的内分点和外分点，而 PQ 正是阿氏圆的直径。于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆” 因此，题 3 又有如下的轴上简洁解法:动点 C 到定点 A ( - 1，0 ) 和 B（1 ，0）距离之比为 , 则有 ,2|1|2|x,22

10、263xxxx得 为内分点， 为外分点圆半径 ，31 2321rx即为三角形高的最大值，即ABC 高的最大值是 .故 ABC 的面积的最大值是 .2【题 4】 （2006，四川文 8 理 6）已知两定点 A (-2，0)， B (1，0) ，如果动点 P 满足| PA | =2| P B|，则点 P 的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B.4 C.8 D.9【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。设 O 为坐标原点，注意到 ,可知原点 O 为线段 AB 的内分点设 AB 的外2OAB分点为 ，,0Cx由 ，即有 C（4，0）.于是圆直径为 ，2AB1x 24Cr ，所求轨

11、迹面积r，故选 B.24S评注：本题条件中的 A,B 关于 y 轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为 ，当21cr时，直接代入即得 。13,22cAB2r【题 5】 ABC 中 ， 角 C 的平分线交 AB 于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若 AB 上的高线长为 2， 求 ABC 的周长. 【解析】建立如图 5 的直角坐标系，由条件知 ，CAB xyA20(-,) B10(,)CGx0(,)T D故点 C 的轨迹是阿波罗圆 D，且 T 为 AB 的内分点。设 AB 的外分点为， ， ，即圆直径 ，,0Gx21AxB4x

12、24,TGr故点 D（2,0） 已知 ABC 中 AB 上的高线长为 2，即 ,CDAB且 由勾股定理得： ，2,C5,CB3故所求三角形 ABC 的周长 3ABl评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。四、题根拓展1.由已知轨迹向未知轨迹拓展【例 1】已知定点 B (3，0) ，点 A 在圆 上运动，xy21AOB 的平分线交 AB 于点 M，则点 M 的轨迹方程是 .【解析】 如图 6，设点 为圆 上任意一点，0,xy2有 01xy2AOB 的平分线交 AB 于 ， ，,xy BOA3则 , ，0(3,)(,)xy0041343xy

13、y代入（1） ，化简得： 方程（2）就是所求点 M 的轨迹方239416x程.评注：条件依然有比例（ ） ，结论依然是圆，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办3法解题。解本题的方法叫做“坐标转移法” （也有称此法为“相关点法”或“代入法”的） 。其步骤是：设 在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程； 找出主动点 A 与0,Axy 0,xy图 5OAxy(,)0B30(,)Mxy(,) xy1图 6yM（ x,y）OA（-1,0）B（2,0）2x被动点 M 的转化关系；将此关系代入已知轨迹的方程，以 代替 ，,xy ,xy0,化简即得。2.由距离比向角度比拓展【例 2】 （2012 四川理卷 21 题（

14、1） ）如图，动点 M 到定点 A（-1，0）,B （2.0） ，构成MAB,且MBA=2 MAB，设动点 M 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程。【解析】如图设MAB= ，则MBA=2 .当MBA 90时，点 M 的坐标为 (2，3)当MBA 90时， x2，由MBA2MAB ，有tan,tan,12AByykkx而 ， ，2tta2211xyyMAB 存在时，y0,化简得： 230注意到MBAMAB,故所求轨迹为双曲线右支，其方程为 .2301xyx评注：距离比转换为角度比，轨迹不再是圆。此时求轨迹方程的一般方法是（五步法）：（1 ）设点.即设 M（x,y）为符合轨迹条件的点；（2 ）列式.

15、即列出能够反映轨迹条件与结论的一个等式；（3 ）转化.即将以上（2）中的等式转化成为关于变量 x,y 的二元方程；（4 ）化简.即将以上（3）中的方程转化成为最简形式；（5 ）讨论.如果以上（4）中的最简方程含有参变量，则需依据参变量的变化进行讨论，看其分别表示什么曲线，要特别注意做到“多退少补” 。3距离比向“向量比”拓展【例 3】 （选自 2013.浙江训练题） 已知椭圆 1(a0，b0) 的右顶点为x2a2 y2b2图 7O AB M1 XyA，点 M 在椭圆上，且它的横坐标为 1，点 B(0， )，且 2 .求椭圆的方程。3 AB AM 【解析】如图 8.当 2 时，点 M 为线段 A

16、B 的中点。AB AM 点 M 的横坐标为 1，故必有 A（2，0）,即 ,a又知 ，故有 ，连同 代入椭圆方程：3O3,故所求椭圆方程为： 21,1.4b214xy评注：本题 A,M,B 其实都是定点，这与求点 M 的轨迹方程是不一样的。点 A,M,B 确定，则椭圆方程也就唯一确定了。4.轨迹的解析法，向几何法拓展【例 4】 （2010.武汉华师一附中 5 月考，5 题） 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上12,F任一点，从焦点 引 的平分线的垂线，垂足为 P，则点 P 的轨迹为（ 1F2Q）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线【解析】如图 9,延长 交于 R，连 OP.21,PQP 平分 ，且

17、QPF1R, Q F1R 为等腰三角形,12Q且 P 为 F1R 的中点 .1F设双曲线实轴为 2a， ，而122FRaOP 是 F1F2R 的中位线 , 为定值, 则点 P 的轨迹为圆,选 B.Oa评注：假如“看”不到 为定长的实质，而纯粹用解析法去做，其难度何止增加数倍？P5. 两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换【例 5】 （2005 年高考江苏卷 19 题）如图 10，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，O 1O2 = 4，过动点 P 分别作圆 O1、O 2 的切线 PM、PN （M 、 N 分别为切点） ，使得 . 试建PNM立适当的坐标系，求动点 P 的轨迹方程.【解析】

18、以直线 O1O2 为 x 轴，线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴建立如图 10 的图 8xyOF1 F2QP R图 9xy PM NO1 O2O直角坐标系，有 .12,0,O连结 ,;PM有 ，12N,Pd2M即是：2 21,OdOP，化简得： ，22xyxy xy263所求轨迹是以（6，0）为圆心，以 为半径的圆.3评注：M,N 不是定点，过渡到 O1，O 2 就是定点了。将未知的动点向已知的定点转化，这就是本题思路。小结：题根，首先是一道题.但必须是具有生长性的优秀例题或试题；题根不同于“母题” 。母题的繁衍是由上而下的，是同一试题的各种变式，没有明显的难易之分.而题根的生长则是由下而

19、上的，相当于同一颗树上的不同分支，由简单到复杂，乃至拓广；题根也不同于“题串” 。题串是将同一类型的题串联起来，题串中的题可以看成是“兄弟姊妹”关系。而题根，则是同一条根上繁衍出来的题的家族，它可能繁育了好多代；题根还不同于数学建模。建模具有转移性，即用同一种“模型”去套解不同的试题。而同一题根“生长”出来的题的家族，有可能适用于不同的数学模型；一些人提倡的试题串联 ，与以上谈到的“题串”类似，也不同于题根。题根是与“题海”对立的概念。其最大特点是摒弃多而杂，提倡少而精；题根研究题的本源，即审查每一道有价值的题，其源头在哪里；研究题根时，如图养花育苗那样，永远的法则是优胜劣汰。不是什么样的题都

20、可以作为题根，也不是什么样的题都能够加入题根序列的。【赠言】 “题根”作者赠“题海”三言：（1 ）题海战术人笑痴，别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野怎收拾？（2 ）起早赶晚太可怜，我把题根送考生，无根解题负担重，有根解题一身轻。（3 ）不必走西又跑东，题根就在课本中，三人同行有吾师，三题相见有弟兄！图 10五、题根精练1.设 A( -3，0)，B ( 3，0) 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离为定比12，则 P 点的轨迹图形所围成的面积是 2. 设复数 （ ） ，若 ，则复数 所对应的点的轨迹zxyi,R|1|2|zz方程为 3.（2002.全国文卷.21 题）已知

21、点 P 到两个定点 M（-1 ，0）,N（1，0）距离的比为，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程。24.（2011.陕西理卷 .17 题）如图，设 P 是圆 上的动点，25xy点 D 是 P 在 轴上投影，为 PD 上一点，且 x 4|D（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度455.（1994.全国文卷.24 题）已知直角坐标平面上点 Q（2 ，0 ）和圆 动点2:1,CxyM 到圆 C 的切线长与 的比等于常数 ，求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什Q么曲线。参考答案1. 。解法 1.设 P（x

22、,y）, 有16，222335162PAyxyB；4,16rSr解法 2.将 直接代入,阿波罗圆半径公式得： 32c 1234,6rS2. .如图，设复数 对应的动点251639xyzxyi为 C（x,y） ，那么：，22|1|2|11zxyxy A(-,)10 B(,)10OCxy(.) xy，也就是 23103xyx251639xy注：本题虽然是以复数的形式出现，但实质还是阿波罗圆的一种形式。注意到这里 （原意是 应转化为 ）.,2c2,CBA2CB若直接代入公式： ，亦得： .22211cxcy 251639xy3.如图：点 P 的轨迹为阿波罗圆， ,故其方程为： 2381xy作 NQM

23、P 于 Q, ，1,2,30,3MPMNk直线 MP 的方程是： 1123yxy或 3y（2 ）代入（1 ）： ，解得 从而 ，得交点2348y1,y23x；3,2,1（3 ）代入（1 ） ，同理得交点 ,2,13,2,直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x-1.4.（）设 M 的坐标为（x ,y）, P 的坐标为 .0(,)xy由已知得 .P 在圆上， ，即 C 的方程为 ;054y225()42156xy（）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为 ，设直线与 C 的交点为535yx, ，1()Axy2()B将直线方程 代入 C 的方程，得 ,即 ，435x22()15x2380x2 题解图xyOM NPQ3 题解图 ， ， 线段 AB 的长度为1342x2341x2212116|()()()5AByx4155.如图，连 CM,CP,则 CPMP.由 2,MPQCMQ,化简得：22214xyxy221401x当 时，方程（1）表示直线 ；5当 时，得 ，22311xy它表示以 为圆心,且半径 的圆202rC Q20(,)xMxy(,)yP 15 题解图