1、2011 届高三第二次模拟考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1过原点和 3i在复平面内对应点的直线的倾斜角为（ ）A 6 B 6 C 23 D 562已知函数 则 是（ ）()sin12i(3)cos54(6),fxxx(fxA单调递增函数 B偶函数 C奇函数 D单调递减函数3已知 a、b、m、n、x、y 均为正数，且 ab，若 a、m、b、x 成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有（ ）Amn, xy Bm n, x y4如图，该程序运行后输出的结果为 （ ）A1 B2 C 4 D16
2、5正三棱锥 VABC 的底面边长为 2a，E、F、G、H 分别是VA、VB、BC、AC 的中点，则四边形 EFGH 的面积的取值范围是（ ）A 23,a B. 0,C 2,6 D 21,a6若函数 的图象在 处的切线 与圆 相离，则 与()axfeb0l2:1Cxy(,)Pab圆 的位置关系是 （ ）A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定7、如图所示，在一个边长为 1 的正方形 内，曲线 和曲线 围成一个AOB2yxyx叶形图（阴影部分） ，向正方形 内随机投一点（该点落在正方形 内任何一点AOBC是等可能的） ，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A. B. （C D .123146输
3、出 b1,ba开始 ?3b2a结束否是DCBA oxy1 4 55 x-y=0x+y-5=0x=1 x=4o xy1 4 55 x-y=0x+y-5=0x=1 x=4o xy1 4 55 x-y=0x+y-5=0x=1 x=4 x=4x=1x+y-5=0x-y=05541yxo8.若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 K 的取值范围（ ）2kxy62yxA. B. C. D. )1,35()35,0()0,315( )315,(9已知函数 2()f，则不等式组 )f表示的平面区域为（ ）10若函数 ()f满足：“对于区间（1,2）上的任意实数 12,()，2121|xx恒成立” ，则称
4、()fx为完美函数在下列四个函数中，完美函数是 （ ）A ()fB ()|fxC ()2xf D 2()fx二、填空题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 25 分分必做题和选做题两部分)（一）必做题：第 10、11、12、13 题是必做题，每道试题考生都必须作答把答案填在答题卡相应位置上)11函数 sinyx的定义域为 ,ab，值域为 1,2，则 ba的最小值为_.12若双曲线2163yp的左焦点在抛物线 ypx的准线上，则 p 的值为_.13设 ，则 a, b 的大小关系为 13,16534ba14.观察以下等式： ,研究其结构特点，可以获得一个一般性结sin2isni论是： （二）选
5、做题：15、16 是选做题，只能选做一题，两题全答的，只计算第 15 题的得分。15 【选修 44】坐标系与参数方程.已知曲线 C： (sin21co3yx为参数，0 2)， 则该曲线在以直角坐标系的原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程为 16【选修 45】不等式选讲 若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围x1xaa是 。三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）在ABC 中，A 、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ，且 cos,cosaCbBA 成等差数列.（1）求 B 的值；（2）求 2sin
6、os()AC的范围 .18（本小题满分 12 分）在奥运会射箭决赛中，参赛号码为 14 号的四名射箭运动员参加射箭比赛。（）通过抽签将他们安排到 14 号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（）记 1 号、2 号射箭运动员射箭的环数为 X（X 所有取值为0，1，2，3 ，10）分别为 1P、 2.根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101P0 0 0 0 0.060.040.060.3 0.2 0.3 0.0420 0 0 0 0.040.050.050.2 0.320.320.02(1)若 1，2 号运动员各射箭一次，求两
7、人中至少有一人命中 9 环的概率；(2)判断 1 号，2 号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由19（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， ，PABC290ACBPABPC（1）求证： ；（2）求二面角 的大小的正弦值；（3）求点 到平面 的距离20 （本小题满分 12 分）已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为ABxy3xy3ABA C BP， 是 的中点32PAB（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 任意作直线 （与 轴不垂直） ，设 与（1）中轨迹 交于)0,1(QlxlC两点，与 轴交于 点若 ， ，证明： 为定MN、 yRMQRN值21（本小题满分
8、13）已知 a0,函数 （ 0)32)1()1()2xaaxf x(1)当 时，求函数 的最小值；31f（2）证明：当 时，函数 有零点.5)(22. （本小题满分 14）设数列 na， 满足：. 0， ，且,ba1 nna21Nbn21)l(（1）证明： ；nban,1（2）记数列 ， 的前 n 项和分别为 ,证明：nBAaAn422011 届高三第二次模拟考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分1-5 DBBDA 6- 10 BBACA二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分11. 2312. 4 ，13.ab ,
9、14. 22sini)sin()si( 15. 16. )6cos(1三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（满分 12 分）【解】 （） 2coscosbBaCA， 2sincosicsincosi()sinBACACB， 1s， .3 6 分（） 22 22incs()sincs()sics()33A13cos2sin2AA22133sincos13sin2AA0,3， i ， 21sincos(),3.2AC .12 分18（满分 12 分）【解】 （）从 4 名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有 24C种方法，另 2名运动员靶
10、位号与参赛号均不相同的方法有 1 种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 241PA6 分（）由表可知，两人各射击一次，都未击中 9 环的概率为 P=（1-0.3） （1-0.32）=0.476至少有一人命中 9 环的概率为 p=1-0.476=0.524 6.704.13.2.083.70.506.41 EX5252所以 2 号射箭运动员的射箭水平高.12 分19. （满分 12 分）【解】方法一：（1）取 中点 ，连结 ABDPC，APBD，C， 平面 平面 ，P.4 分AB（2） ， ， PAPCB 又 ， C又 ，即 ，且 ，90 平面 取 中点 连结 ， APEB， E
11、AP是 在平面 内的射影， AC是二面角 的平面角P在 中， ， ， ， 90236B 二面角 的大小的正弦值为 .8 分6sin3BCEAPC3（3）由（）知 平面 ，AD平面 平面 P过 作 ，垂足为 H平面 平面 ，BCPACBDPACBEPACBDPH平面 CHAPB的长即为点 到平面 的距离由（1）知 ，又 ，且 ，CABCA平面 平面 ，DPC在 中， ， ， Rt 12AB36PDB2 点 到平面 的距离为 .12 分3PDCHC23方法二：（） ， ，ABP又 ， B， 平面 平面 ，BPC（2）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 则Cxyz(0)(20)()AB， ， ， ，
12、 ， ， ， ，设 ， ， Pt， ， 22t(0)P， ，取 中点 ，连结 EC， ， ， CPEAB是二面角 的平面角BA， ， ，(01)， ， (01)， ， (21)， ， 36cosECB6sin3CBE二面角 的大小的正弦值为 AP（3） ，B在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距APB HCAPB离由（）建立空间直角坐标系 ， 点 的坐标为 Cxyz2E23， ，A C BP z xy HE 点 到平面 的距离为 23CHCAPB2320 （本小题满分 12 分）（本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力）【解】 （1
13、）设 ， ， ),(yxP),(1yA),(2yxB 是线段 的中点， 2 分B12.y 分别是直线 和 上的点， 和 A、 3x3x113yx223yx 4 分12,.3xyy又 ， 5 分AB 12)()(121yx ，动点 的轨迹 的方程为 6 分241yxPC219xy（2）依题意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 7 分l l()k设 、 、 ，),(3M),(4yN),0(5yR则 两点坐标满足方程组 消去 并、 .19,2xky整理，得 ， 22(19)80kx ， 10 分43x234kx ， MQR),(),1),(),( 353 yxy即 与 轴不垂直， ，.)1(3
14、53yyx13xl 1 ，同理 4 431x334()2x将代入上式可得 .12 分921（本小题满分 13）（本题主要考查函数性质、基本不等式、零点存在等、求轨迹方程的方法，以及运算推理论证能力）【解】 （1）当 时，3a 32)1()43()2xxf61)34( 54(2x所以，当 即 时，函数 取得最小值 5 分,3x)(xf;61（2）因为 0，所以欲证当 时，函数 有零点.1)(2)2af a)(xf只需要证明当 时，函数 的最小值小于等于零即可51xf.8 分123)1( 34)()()222axaxaxf令 ，即00)1()(2ax（a）当 有实数根时，此时 时，函数0)(2x
15、3的最小值为 .10 分)51(,31a（b）当 无实数根时，此时 ，因为)(2x 1a11axa所以函数 的最小值是)(f 32)1(213)2(2 aa.12 分,121a 06)()1( 22 a综上可知，当 时，函数 的最小值小于等于零，即当 时，函数 有零5(xf 51a)(xf点.13 分22. （本小题满分 14）（本题综合考查函数性质、数列、不等式及导数的知识考查推理论证能力分析解决问题的能力）【解】 （1）当 0 时， 知， ，a1 nna21)(0Nn故 ，构造函数0),(0nnn bNb),(21l)xxf ，当 x0, 0,故函数(2/ f 11)(2/ xxf在 单调
16、递增. ,j 即 ,所以 4 分)(xf),0)(f0f0nabnb，构造函数 则)1ln(2nn aba ),0()1l()xxg ，当 x0, 0,故函数 在 为减函数. )(/ xxg (/ g, ,j ， ,即 00)1ln(na 221)1lnnnaa所以 综上可知 .82nnab2nb Nbnn,分（2）由 ， 知 ，故数列 是以 为首项，以1nna1an1ana1为公比的等比数列，所以 10 分112)(nn，由（1）知)l(2naabnaab2)l(所以 ，2n)321( )1()ln(l(l(10 222 n nna a)2(221 n又所以 14 分anaABn421(422011 届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）题号 填空题 11-16 17 18 19 20 21 22 总分得分二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。学号
