1、散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论刘福保 ，李卫国 121 长沙民政职业技术学院 文法系 2 南京航空航天大学 机电学院摘要：本文首先用局部加权最小二乘法将三维空间内任意散乱数据点集均匀，再估计出立方体网格点上的偏导数值及混合偏导数值，最后仅用网格点数据进行快速光滑插值加密计算,从而可得到任意点处的函数值。通过对已知函数的随机数据点集进行计算,取得了令人满意的效果。同时,在最小二乘逼近过程中,本文提供了一种权函数,并与其它二种权函数进行分析比较,给出了各种情况下的误差。关键词:散乱数据,最小二乘 ,权函数,插值The Topic on Choice of Weight
2、ed Functional and Local Weighted Least-mean Square Method for Surface Interpolation to Scattered Data1Liu Fubao ,CHangSha scoclal work collgeg ,ChangSha,410004,China2. Li Weiguo ， Nanjing University of Aeronautics ,)01其中 为参数.对于任一点 ,求出 的值,代入(1)式则可得到函am01, (am01,数值 ,而参数 将从以下最小二乘意义上求得:()01,in(,)(,;,)ak
3、k kNwxyfFxy 012（2）其中, 为权函数, 为指定的点数.逼近函数 可以选择为二次wxyk() (,;,)am01多项式函数 或三次多项式函数yxy0123452本文以二次多项式为例.aaaxy0123452678394、权函数的选择权函数的目的是为了调节 点附近 个点 对其的影响,它应该适当地(,)xyN()k反映这一特点:距离 近的点所占权大,距离远的点所占权小 .并且还具有第三部分中()xy提到的那些性质.本文试用以下三种权函数来作比较:(1) wtt12015().;(2) 23(3) ttdB32exp()max其中, , , ; 曾在dk/ma ykkk()2dmaxm
4、axkN12, wt1()文3中用到, 曾在文2 中用到. 是作者选择的权函数.它们都具有较好的支撑t3)wt性质,当 时,它们的图形分别如下:t01图.1.高斯函数的形状随参数 的变化而变化45、Hermite插值与导数值估计若设定义域上的非均匀网格点为 。则得到一网(,);,.,uwinjmij01 格区域 ,在这个区域内,网格点上的函数值可由最小二乘方法估计出来,uwnm00对于非网格点的任意点上的函数值,同样可以用最小二乘方法估计,然而,那将每求一点都需解一个66阶(二次多项式)或1010阶(三次多项式)的线性方程组,因此,解完所有点后,必将需要大量时间。为减少计算量,则用双三次Her
5、mite基函数来插值 个网格点,n以此所得的函数来表示要估计的函数。即设 , ; , 则uii1jj1huiii1kwjjj1HFwuFGBFkGwii jjT(,)()()()()()()00001（3）其中, uhuGiiiiiiiiiiij2101131312()()()(方向的Hermite基函数 依此构造,而wFwGw001,(),()Bqprijijijijijijijij1111,其中 为函数值, 为 方向偏导数, 为 方向偏导数, 为混合偏导数。Fij ij,uqij,wrij,为了得到角点信息矩阵 中导数值,我们讨论在一维情况下的一阶导数值估计方B法。对于一维三次样条曲线,设
6、自变量 方向的节点为 ,对应的函数值为tttn01,要估计出每个节点上的一次导数值 。文4考虑到三次曲线的sn01 mn,个节点内的三阶导数是呈跳跃状态的,设二阶导数分别为 , Mn01,则 , .为了使三阶导数的变化最小,可由最htiiftMhiii()/1tti1小二乘意义知道,需三阶导数的跳跃值的平方和最小,即Iiiiiiin(1112（4） 取为最小.考虑在 这段区域上, 的Hermite插值表示可写为ti1ft()ftsFstmhGtii i()()()()100其中 是三次Hermite 基函数。求 的二阶导数可得： G, f（5）ftEhiiiiii /)/()(116425其中
7、 ,因为 是三次样条函数,从而在 内Eshiii()/1ft() ,ti1.为了保证二阶导数连续,设ftftfti )(/MftftMii n ,()0因此,将(5)式代入 (4)式,可得 IhEmhmhiiiiiiiiiin 36221212121(/)/()/取 ,从而 最小,即 达到最小。/II联系到三次样条的关系式：iiiimD11（6） 其中 iiiiiiiiihh11 1/(),/()DEn32(,根据(6)式,可以将 写成 与 的表达式,于是 变成关于 与 的二元n21, m0I m0n函数,由最小二乘法可知 Imn0即得一关于 的二元线性方程组,通过这个线性方程组,可把 解出来
8、,于是由n0(6) 也就解出来了。12,对于二维的情况,可以先分别沿着 方向和 方向求出其偏导数值,然后以 方向xyx的偏导数值为函数值,沿 方向求出混合偏导数值。y6、实验结果与结论对于第三部分所给出的六个函数,我们将定义域划分成4141个网格,利用以上介绍的求导方法以及所选的三个权函数,在离散点为25,64,100个点的情况下,得到了它们的RMSE(root-mean-square error)误差,以此来观察各种方法的效果。误差公式为 RMSEHFxyfxykkk1682(,)(,)所得结果列表如下:表1. N25权函数 F1 F2 F3 F4 F5 F6w18.62081023.970
9、4 22.19241022.3421 23.79121025.433 328.3729 3.5465 2.2208 2.0874 3.3390 4.98338.9530 4.0630 2.3331 2.3851 4.0316 5.539表2. 64权函数 F1 F2 F3 F4 F5 F616.11041021.5836 21.75241028.765 33.13891022.690 323.0201 1.3491 1.2335 4.633 1.6765 2.652w36.4571 1.6669 1.7990 9.389 3.3399 2.769表3. N权函数 F1 F2 F3 F4 F5
10、F66w13.03431029.217 33.9261032.559 35.3601032.552 321.9404 8.631 2.947 2.188 4.849 2.31933.1917 9.940 4.352 2.641 5.962 2.623从以上各表可以知道权第二种权函数比其它两种权都要优越。参考文献1R.L.Hardy Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method. Computer Math.applic Vol.19.No.89.PP.163-208. 19902周龙旗等 三维空间距离加权最小二乘插值
11、方法在脑地形图上的应用 数值计算与计算机应用 9月 1994年3T.A.Foley Scattered data interpolation and aproximation with error bounds. Computer AidedGeomertic Design.3PP163-177 19864许有信 关于双三次曲面边界条件的改进. 高等学校计算数学学报 3月1981年5T.A.Foley A shape preserving interpolant with tension controls. Computer Aided Geometric Design.5.PP105-118. 1988.
